巧借特殊值法，妙解高考真題

摘要： 巧妙利用特殊值法，借助特殊值的選取，有時可以更加簡捷地求解客觀題．本文中結(jié)合2022年高考真題，剖析特殊值法的巧妙應(yīng)用，總結(jié)特殊值法的解題技巧與規(guī)律．

關(guān)鍵詞： 高考；特殊值；客觀題；函數(shù)；三角；不等式

特殊值法破解數(shù)學(xué)客觀題，有其特殊的優(yōu)勢與美妙的體驗(yàn)，它是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)等“四基”落實(shí)并上升到一定高度的特殊“產(chǎn)物”，是特殊與一般思維的升華．特別在解決一些函數(shù)或方程、數(shù)列、三角函數(shù)或不等式等的選擇題時，利用特殊值法，解題過程簡潔明了，很好地提升解題速度與解題效益．下面結(jié)合2022年高考數(shù)學(xué)真題中一些客觀題特殊值法的合理選用與巧妙應(yīng)用加以剖析．

1 巧判函數(shù)圖象

例1 ""（ 2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科·5 ）函數(shù)y=（3x－3－x）cos x在區(qū)間 -[SX（]π[]2[SX）]，[SX（]π[]2[SX）] 的圖象大致為（ "）.

A.

B.

C.

D.

分析： 解決此類題的常用思維就是先根據(jù)函數(shù)的解析式判定函數(shù)的奇偶性，再借助特殊值的選取合理排除錯誤的選項(xiàng)．而此題兩次利用函數(shù)特殊值的選取，即可將不滿足函數(shù)值取值情況的圖象完美地排除，實(shí)現(xiàn)巧妙判定函數(shù)圖象的目的．

解析： "選取特殊值x=1，可得f（1）=（31－3－1）·cos 1 gt;0，由此排除選項(xiàng)C，D；

再選取特殊值x=－1，得f（－1）=（3－1－31）·cos（－1）lt;0，由此排除選項(xiàng)B.

故選擇答案：A．

點(diǎn)評： 巧妙選取特殊值來判斷函數(shù)或方程所對應(yīng)的函數(shù)圖象問題，將特殊值所對應(yīng)的函數(shù)值情況與點(diǎn)的位置特征加以聯(lián)系與對比，排除不合理的圖象選項(xiàng)．對于單選題，在利用特殊值法巧判函數(shù)或方程所對應(yīng)的函數(shù)圖象問題時，經(jīng)常要多次利用特殊值的巧妙選取來合理排除，直到剩下最后一個正確答案為止．

2 判定函數(shù)關(guān)系式

例2 ""（ 2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·4 ）已知函數(shù)f（x）= 1[]1+2x[SX）]，則對任意實(shí)數(shù)x，有（ "）.

A．f（－x）+f（x）=0

B．f（－x）－f（x）=0

C．f（－x）+f（x）=1

D．f（－x）－f（x）=[SX（]1[]3[SX）]

分析： 解決此類題的常用思維就是利用題設(shè)給出的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合選項(xiàng)中對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式代入，通過指數(shù)運(yùn)算與變形來轉(zhuǎn)化與驗(yàn)證，進(jìn)而得以正確判定．而此題選取特殊值加以驗(yàn)證即可正確判定，從而減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量，這也是一種不錯的技巧方法．

解析： 由函數(shù)f（x）=[SX（]1[]1+2x[SX）]，選取特殊值x=0，可得f（0）=[SX（]1[]1+20[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]，代入各選項(xiàng)中進(jìn)行驗(yàn)證，選項(xiàng)B，C成立；

又選取特殊值x=1，可得f（1）=[SX（]1[]1+21[SX）]=[SX（]1[]3[SX）]，f（－1）=[SX（]1[]1+2-1[SX）]=[SX（]2[]3[SX）]，只有選項(xiàng)C成立.

故選擇答案：C．

點(diǎn)評： 在判定一些復(fù)雜函數(shù)關(guān)系式的成立問題時，為避免復(fù)雜的邏輯推理與繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，經(jīng)常借助一些特殊值的選取，代入函數(shù)關(guān)系式加以化簡與求值，可以很好地優(yōu)化解題過程，同時對于函數(shù)關(guān)系式的判定更加直接、有效．

3 求解相應(yīng)函數(shù)值

例3 ""（ 2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·6 ）角α，β滿足sin（α+β）+cos（α+β）=2[KF（]2[KF）]cos α+[SX（]π[]4[SX）] sin β，則（ "）.

A．tan（α+β）=1

B．tan（α+β）=－1

C．tan（α－β）=1

D．tan（α－β）=－1

分析： 解決此類題的常用思維就是利用三角恒等變換公式對題設(shè)的三角函數(shù)方程加以變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而結(jié)合化簡的結(jié)果來分析與求解對應(yīng)的三角函數(shù)值問題．而此題結(jié)合兩次特殊值的選取，即可合理排除不滿足條件的選取，簡化公式變形與推理過程，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算．

解析： "sin（α+β）+cos（α+β）=2[KF（]2[KF）]cos α+[SX（]π[]4[SX）] · sin β. ①

選取特殊值β=0，代入①式，得sin α+cos α=0，即tan α=-1;再將β=0分別代入四個選項(xiàng)，由此可以排除選項(xiàng)A，C.

選取特殊值α=0，代入①式，可得sin β－cos β=0，即tan β=1;再將α=0分別代入四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，由此可以排除選項(xiàng)B.

故選擇答案：D．

點(diǎn)評： 這里很好地通過三角函數(shù)關(guān)系式中角的變化以及對應(yīng)選項(xiàng)中的三角函數(shù)值不變的特征，利用兩次特殊值的選取，結(jié)合選項(xiàng)中的三角函數(shù)值進(jìn)行排除．借助特殊值法處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時，有時一次特殊值的選取不能直接達(dá)到目的，可以進(jìn)行第二次特殊值的選取，直至剩下最后一個選項(xiàng)為止．

4 確定參數(shù)取值范圍

例4 ""（ 2022年高考數(shù)學(xué)浙江卷·9 ）已知a，b∈ R ，若對任意x∈ R ，a|x－b|+|x－4|－|2x－5|≥0，則（ "）.

A．a(chǎn)≤1，b≥3

B．a(chǎn)≤1，b≤3

C．a(chǎn)≥1，b≥3

D．a(chǎn)≥1，b≤3

分析： 解決此類題的常用思維就是絕對值不等式的函數(shù)圖象化處理思維、參數(shù)的分類討論思維等，過程復(fù)雜，討論繁多．而此題利用特殊值的選取，代入題設(shè)的絕對值不等式加以化簡，利用含參不等式恒成立的條件確定參數(shù)的取值情況，結(jié)合各選項(xiàng)中的參數(shù)取值范圍即可驗(yàn)證與確定．

解析： 選取特殊值x=4，由a|x－b|+|x－4|－|2x－5|≥0，可得a|4－b|－3≥0.

顯然a≠0且b≠4，觀察各選項(xiàng)可知，只有a≥1，b≤3符合這個結(jié)論.

故選擇答案：D．

點(diǎn)評： "借助含參絕對值不等式中特殊值的選取，簡化不等式，減少變量，借助不等式恒成立等相關(guān)知識確定相關(guān)參數(shù)的取值情況，再結(jié)合選項(xiàng)合理驗(yàn)證．在具體借助特殊值法確定參數(shù)取值范圍的問題時，經(jīng)常不能直接得到對應(yīng)參數(shù)的取值范圍，而是借助選項(xiàng)中參數(shù)不同取值范圍加以驗(yàn)證與判斷，合理排除，巧妙確定．

5 判斷不等式成立

例5 ""（ 2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·12 ）（ 多選題 ）對任意x，y，x2+y2－xy=1，則（ "）.

A．x+y≤1

B．x+y≥－2

C．x2+y2≤2

D．x2+y2≥1

分析： 解決此類題的常用思維就是不等式思維、配方思維或換元思維等，利用條件中的二元方程，結(jié)合基本不等式、完全平方公式或三角換元等方法來處理，解題過程較為繁瑣．而此題利用特殊值法，根據(jù)滿足二元方程條件下的特殊值的兩次合理選取，即可正確排除對應(yīng)的選項(xiàng)來達(dá)到正確判斷的目的，簡單快捷．

解析： 選取特殊值x=y=1，其滿足方程x2+y2－ xy=1，則有x+y=2≤1不成立，故選項(xiàng)A錯誤；

再選取特殊值x=－y=[SX（][KF（]3[KF）][]3[SX）]，其滿足方程x2+y2－ xy=1，則有x2+y2=[SX（]2[]3[SX）]≥1不成立，故選項(xiàng)D錯誤；

根據(jù)多選題“至少有兩個選項(xiàng)是正確”的特征，故選擇答案：BC．

點(diǎn)評： 利用特殊值法破解一些數(shù)學(xué)的綜合與創(chuàng)新問題時，有一定的“秒殺”效果，但要注意一般“可遇而不可求”，不具有可推廣性與普及性.如果一定要花大量時間去配湊特殊值，往往得不償失．這里借助二元方程的結(jié)構(gòu)特征，可以快速選取相應(yīng)的特殊值來驗(yàn)證，綜合多選題的特征，當(dāng)確定其中兩個選項(xiàng)為錯誤時，則另外兩個選項(xiàng)肯定是正確答案．

巧借特殊值法，可以在很大程度上簡化繁雜的邏輯推理過程與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程，但也不能盲目任意選取特殊值，要吻合數(shù)學(xué)問題中特殊與一般思維之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到正確使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法，能很好降低知識復(fù)雜層次，弱化基礎(chǔ)知識難度，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過程，提升數(shù)學(xué)解題效益，節(jié)省寶貴考試時間，真正達(dá)到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”等良好解題效益．