抓住軌跡意識，優化解題應用

軌跡意識是平面解析幾何中的一種重要行為意識，也是平面解析幾何中的重要思想方法.除在解析幾何中熟練應用外，在解三角形、平面向量以及立體幾何等其他場合，也經常借助軌跡意識來解決相應的數學問題，直觀形象.

1 解析幾何中的軌跡意識

解析幾何中的軌跡問題，其實質就是由曲線上的動點變化規律，按照一個條件的變化引起其他相關新動點的變化情況，利用對圖形結構的理解、探索與聯想，構建“形”與“數”之間的聯系，進而探究新動點的軌跡.

例1 ""（ 2022年高三全國卷專題數學練習卷 ）已知F1，F2是橢圓 x2 4 + y2 3 =1的兩個焦點，P是橢圓上的動點（不在x軸上），O為原點，G是△OPF2的重心，則直線GF1斜率的最大值是 """"".

分析： 根據條件設出重心的坐標，通過相關點法構建重心的軌跡方程，同時引入直線的斜率參數構建對應的直線方程；通過聯立方程組，轉化為相應的方程有根的情況，利用判別式法來構建不等式，確定斜率的最值問題.

解析： 由題可得a=2，b= 3 ，c=1，F1（－1，0），F2（1，0）.

設P（x，y），G（m，n）.由三角形的重心公式，可得 "x+0+1 3 =m， y+0+0 3 =n， 即 x=3m－1，y=3n.

代入橢圓方程，可得點G的軌跡方程為

（3m－1）2 4 + （3n）2 3 =1.

而直線GF1的斜率為k= n m+1 ，則n=k（m+1）.

于是，問題可以轉化為求關于m，n的方程組 "（3m－1）2 4 + （3n）2 3 =1，n=k（m+1） 有解時參數k的取值范圍.

消去n并整理，得（3+4k2）m2+（8k2－2）m+4k2－1=0.由

Δ=（8k2－2）2－4（3+4k2）（4k2－1）=16－64k2≥0，即k2≤ 1 4 ，

解得－ 1 2 ≤k≤ 1 2 .

所以直線GF1斜率的最大值是 1 2 .故填答案： 1 2 .

2 解三角形中的軌跡意識

解三角形中的軌跡問題，其實質就是將三角形問題轉化為對應的代數問題，合理構建數學模型，利用代數問題所對應的軌跡，反過來數形結合，直觀應用，往往可以出奇制勝，簡捷有效.

例2 ""（ 創新題 ）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，記△ABC的面積為S.

（1）若a=2，cos A= 1 2 ，求S的最大值；

（2）若a=2，c= 2 b，求S的最大值.

分析： （1）以條件中對應邊與角的關系確定三角形的外接圓半徑，根據動點A的軌跡，結合平面幾何圖形的直觀來確定△ABC的面積最大時動點A的位置，進而求解相應的面積.

（2）結合三角形中一邊為定值，另兩邊涉及倍數關系，根據平面直角坐標系的構建，將解三角形問題轉化為平面解析幾何中的動點軌跡問題，數形結合確定動點A的位置，進而求解面積的最大值.

解析： （1）由cos A= 1 2 ，可得A= π 3 .

設△ABC的外接圓⊙O的半徑為R，結合正弦定理，可得 a sin A = 4 "3 "=2R，解得R= 2 3 "3 .

如圖1所示，頂點A的軌跡是半徑為R= 2 3 "3 的優弧BC（不包括兩端點）.

數形結合，易知當頂點A位于優弧BC的中點D處時，△ABC的面積S最大.

此時，△ABC是正三角形，所以

Smax= 1 2 ×2×2×sin A= 3 .

（2）如圖2所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，則B（－1，0），C（1，0）.

設A（x，y），由c= 2 b，可得c2=2b2，即

（x+1）2+y2=2[（x－1）2+y2].

整理并化簡，可得（x－3）2+y2=8（y≠0），此即為頂點A的軌跡方程.

數形結合可知，當頂點A到BC邊的距離的最大值為2 2 時，△ABC的面積S最大.

此時，Smax= 1 2 ×2×2 2 "=2 2 .

點評： 借助解三角形中對應三角形的邊或角的某種定量關系，從平面幾何視角或平面解析幾何視角來確定動點的軌跡，合理構建平面幾何或平面解析幾何模型，借助“形”的直觀去分析與處理一些相關的最值或綜合應用問題，更加直觀形象，簡捷有效.

3 平面向量中的軌跡意識

平面向量中的軌跡問題，其實質就是抽象出平面向量中相關關系式的幾何意義，或將線性運算轉化為坐標運算等，有效確定動點的軌跡，進而利用動點的變化規律與運動軌跡，依題解答.

例3 """"（2022屆浙江重點中學高三模擬數學試卷） 已知向量 a，b 滿足| b |=3 2 ，且對任意t∈ R ，恒有 |b －t a|≥|b－a|，則|a－b|+|a| 的最大值是 """".

分析： 根據題意，構建平面幾何圖形加以數形結合，利用條件中t∈ R 確定點A1的軌跡，結合不等式恒成立的條件確定AB⊥OA;通過勾股定理的轉化，結合關系式的特征進行三角換元處理，將所求平面向量模的和式轉化為三角函數的最值問題.

解析： 如圖3所示，設OA = a ，OB = b ，OA1 =t a ，則有| b －t a |=|A1B|，| b － a |=|AB|.

根據題意，對任意t∈ R ，恒有| b －t a |≥| b － a |，可得|A1B|≥|AB|.

由t∈ R ，可知點A1的軌跡是直線OA，數形結合可知AB⊥OA.

由于| b |=|OB|=3 2 ，因此|AB|2+|OA|2=|OB|2=18.

由三角換元，設|AB|=3 2 cos θ，|OA|=3 2 sin θ ，θ∈[0， π 2 ]，

則| a － b |+| a |=|AB|+|OA|=3 2 ·cos θ+3 2 sin θ=6sin（θ+ π 4 ）.

所以當sin（θ+ π 4 ）=1，即θ= π 4 ，亦即| a |=3，向量 a，b 的夾角為 π 4 時， |a－b|+|a| =6.

所以 |a－b|+|a| 的最大值是6.故填答案：6.

點評： 借助平面幾何圖形的直觀分析，綜合平面向量的幾何意義與相關運算，直觀形象來確定對應動點的軌跡以及相應的變化規律，數形結合，從而破解起來更加直觀，處理起來更加快捷.

4 立體幾何中的軌跡問題

立體幾何中的軌跡問題，其實質就是合理進行“降維”處理，將將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，結合動點的軌跡，綜合利用平面幾何或解析幾何等相關知識來分析與求解.

例4 ""（ 2022年高考數學北京卷·9 ）已知正三棱錐P＼|ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區域的面積為（ nbsp;）.

A. 3π 4

B.π

C.2π

D.3π

分析： 根據題設條件，結合立體幾何性質，合理構建點P在底面△ABC內的射影點O；結合集合的創新設置進行合理轉化，將空間中的距離問題轉化為平面內的距離問題，進而利用圓的定義與正三棱錐的性質來確定動點Q的軌跡，進而得以分析與求解.

解析： 設點P在底面三角形ABC內的射影為點O.由PA=PB=PC，可知O為△ABC的外心.

由△ABC是邊長為6的正三角形，可得AO=BO=CO=2 3 .

由PA=PB=PC=6，得

PO= 62-（2 3 ）2 =2 6 .

若PQ=5，則OQ= 52－（2 6 ）2 =1.

所以，動點Q的軌跡是△ABC內以O為圓心，1為半徑的圓及其內部，

則其對應的面積為π.

故選擇答案：B.

以上通過四類典型問題與實例，從不同視角加以剖析，合理引導學生在解題過程中抓住軌跡意識，對圖形變化要有動態認識，學會作圖、構圖、識圖；結合對圖形結構的理解，創新構建起良好的“數”與“形”之間的聯系，并借助問題破解中的軌跡意識，循序漸進地領悟數形結合核心素養.