立足基點，以小見大

摘要： 高三數學第一輪復習是對高中所學的數學知識進行全面梳理和復習，即系統地整理知識，優化知識結構.其指導思想是全面、扎實、系統、靈活.在課程標準的引領之下，每節課立足于主要的知識點和方法，以問題為載體，將有關的知識點和方法聯系起來，通過以點帶面的復習方法，輔助學生織起一張系統的知識網絡，為后續更深層次的復習打好基礎.

關鍵詞： 高三數學；第一輪復習；以點帶面

高三數學第一輪復習是對高中所學的數學知識進行全面梳理和復習，即系統地整理知識，優化知識結構.其指導思想是全面、扎實、系統、靈活.在復習過程中，面對眾多的知識點和方法，很容易面面俱到，一點而過，沒能將一些重點的知識和方法復習透徹，也不能達到預期的復習效果.因此，在高三的第一輪復習中，在課程標準的引領之下，每節課應該立足主要的知識點和方法，以此為基點，把問題作為載體，將有關的知識點和方法聯系起來.通過以小見大、以點帶面的復習方法，輔助學生織起一張系統的知識網絡，為后續更深層次的復習打好基礎.

下面就以筆者在學校高三研討課活動中執教的“圓錐曲線綜合問題——最值與范圍問題”公開課為例，來談談個人對以點帶面復習方法的淺見.

1 教學內容分析

“圓錐曲線的綜合應用”是解析幾何部分的最后一節內容，它是高中階段所有解析幾何知識與方法的綜合應用，具有較強的綜合性.在教輔書上對這節內容安排的是一個課時，提供了三個例題進行復習.但是從近幾年的高考、模擬考的試題中可以得知，這部分內容主要涉及三類問題：①最值與范圍問題；②定點問題；③定值問題.這三類問題一直是高考的熱點，且具有一定的難度.在高考中，對這部分內容的要求是理解和掌握，考查學生數形結合思想及運算求解能力.因此，筆者決定將這三個問題進行分拆，每節課只復習一個小問題，精講精練，切實讓學生理解和掌握相關的知識點和方法.于是，筆者結合之前的復習情況選定了本節課的復習內容為“圓錐曲線綜合應用——最值與范圍問題”.整節課就以最值與范圍問題為基點，進行相關知識點和方法的復習.根據教學內容以及學生的具體情況，制定了本節課的教學目標：①掌握求最值、范圍的兩大基本方法（代數法、幾何法）；②掌握數形結合思想在解題中的應用；③加強運算求解能力.這節課雖然是立足于圓錐曲線背景下的最值與范圍問題的復習，但是它從更高的層次體現了解析幾何的核心思想——將幾何問題代數化，用代數方法解決幾何問題.同時，在這節課的復習過程中所涉及到的思想方法和解題方法也可以遷移到解決其他背景之下的最值與范圍問題的求解，這在解題的思想方法上起到了以點帶面的作用.

2 教學過程設計與評析

問題是數學的心臟.在本節課的教學過程中，通過問題的探究，引導學生站在更高的角度審視和思考數學問題，深度挖掘數學問題背后蘊涵的數學思想［1］.

2.1 問題提出，立足基點

授課時首先通過問題呈現出本節課的復習內容，問題的設置比較基礎、直接，可以讓學生直接看出這節課要復習的知識點和基本方法.

教學設計模塊一： 基本方法——自主學習

學習內容見表1.

評析： 表1中是兩個基礎題，方法單一，班級中等以上的學生可以較為輕松地解決，而基礎薄弱的學生則通過求助他人也可以解決.在解題分享匯報中，學生準確地給出了這兩個題目的解法，并在教師的引導下，明確了解決最值與范圍問題的兩大基本方法，同時歸納出兩個解題思路.這個環節的設計意圖是利用問題提出本節課的復習內容是最值與范圍問題，通過學生解題的分享匯報明確解決這類問題的方法有代數法和幾何法，思路是通過數形結合直接建立不等關系，以及建立關于某個變量的函數解析式，然后用函數的思想來解題.由此讓學生知道，在解決后面的問題時也要用到這些思想方法.

2.2 問題驅動，以點帶面

教學設計模塊二： 學以致用——合作學習

例1 """設M（x0，y0）為拋物線C：y2=8x上一點，F為拋物線C的焦點.若以F為圓心，|MF|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則x0的取值范圍是 """""".

解題情況回顧： 學生通過作圖，把握住題目中的關鍵“以F為圓心，|MF|為半徑的圓和拋物線C的準線相交”，數形結合，利用幾何直觀直接建立不等關系，從而順利求解.

例2 ""已知橢圓C： x2 8 + y2 4 =1，若斜率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A，B，當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍.

解題情況回顧： 學生通過作圖，將題目中“F在以AB為直徑的圓內”這一條件代數化，列出了|FQ|lt; 1 2 |AB|（其中Q為AB的中點）的不等關系，但在后續的計算中發現計算量很大，不好算.于是大家討論，集思廣益，提出了可以用向量來解決問題.將“F在以AB為直徑的圓內”這一條件代數化，列出不等關系AF ·BF lt;0，然后坐標化進行計算，從而解決問題.

例3 ""已知橢圓方程為 x2 4 + y2 2 =1，F為其右焦點，直線l：x=2 2 ，設M，N是直線l的兩個點，且點E與點F關于原點O對稱，若EM ·FN =0，求|MN|的最小值.

解題情況回顧： 學生通過作圖分析，用代數法得出本題的思路是建立某個變量的函數解析式，用函數思想來解題.學生采用的方法主要有兩種.①設直線方程，建立一個關于k的函數；②設點M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標，建立關于y1或y2函數關系式求解.

評析： 例1～3較為典型，帶有一定的綜合性，設計由淺入深，從多個角度復習了最值與范圍問題的求解方法.題目在考查本節重要思想方法的同時，帶動了對一些相關知識的回顧與鞏固，有效地建立了知識之間的相互聯系.在教學過程中，讓學生思維在多角度的認識中不斷地深入和發散，從而有效地拓寬解題思路，優化解題路徑［2］.

3 教學反思

（1）本節課立足于圓錐曲線背景之下的最值與范圍問題，以此為基點展開復習.在復習的過程中，以問題驅動，由淺入深，以點帶面，搭建起知識點之間、思想方法之間和題型之間的橋梁.將解決這類問題的基本方法——代數法和幾何法、基本思路——直接建立不等關系和建立關于某個變量的函數解析式、基本思想——數形結合和函數思想，在問題中體現出來，使學生通過精練精講幾個題可以掌握一類題的解法.

（2）在課堂的學習過程中，教師是學習活動的組織者和引導者，學生是學習活動的主體.因為整節課就是立足于“求最值與范圍”這一個問題，學生將所有的思維都集中在這一點，減少了不同類問題在思維上的干擾，學生覺得這樣的學習輕松了很多.所以，在整節課的學習過程中，學生積極性很高，積極思考和發言.從學生的發言和解題效果來看，學生對“最值與范圍問題”的解法有了更進一步的理解和認識，從而通過以點帶面的方法，將知識點和方法從橫向和縱向有機地聯系起來.

高三第一輪復習任務艱巨，我們應該認真研讀課程標準，仔細鉆研考題，設立好復習的基點，把問題作為載體，以小見大，以點帶面做好全面的復習.

參考文獻：

［1］ 張治才.追尋數學本源 把握數學本質——例談高考一輪復習中把握數學本質的教學策略[J].中國數學教育，2020（6）：48-51.

［2］鞏松.借題發揮，提升能力——例談高三數學復習中試卷講評的探索與思考[J].數學教學通訊，2020（27）：61-62.