“傳球”問題縱橫談

對于數學問題，不能僅滿足于會做或是用了幾種方法解出；對于課堂教學容量也不能只是用“題量”或內容的多少，甚至是交流的多少來體現.課堂教學更重要的是在注重過程的基礎上產生了多少有價值的“思維量”，是否進行了或“追根求源”或“橫縱拓展”的探究活動.下面通過在教學中對一個數學問題的思考和探究來說明這一點.

1 問題呈現

問題 "甲、乙、丙三人傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有多少種？

下面闡述在課堂教學中，如何引領學生從對問題的各種解決方法入手，由特殊到一般、橫向到縱向來進行思考、探究和總結.希望對探究和解決其他數學問題帶來一些啟迪作用，幫助學生更加深刻地認識數學問題的本質，體悟數學思想方法的價值.

2 幾種解法

以下是上述問題的幾種解決方法.

方法一： 樹圖列舉法.

甲第一次傳球是給乙的傳球方式（如圖1所示）， 共5種情況.

同理，甲若第一次傳球是給丙，則同樣有5種方式.故所有傳球方式共10種.

方法二： 分類圖解法.

甲、乙、丙三人按圖2所示位置站立.

下面列出甲第一次傳球是給乙的傳球方式，共5種情況，如圖3-1，3-2，3-3，3-4，3-5所示.

同理，甲若第一次傳球是給丙，則同樣有5種方式.故所有傳球方式共10種.

方法三： 排列組合法

記“乙”與“丙”為“非甲”，則甲開始傳球，經過五次傳球，共有六個位置，如圖4所示.

第①步有兩種可能;后面的x和y可能都沒有甲，也可能只有一個有甲，另一個是丙和乙二選一，所以有C02+C12C12種傳球方式.

故所有傳球方式有2（C02+C12C12）=10種.

3 橫向聯系

排列組合問題的“實際背景”可能會多種多樣，但很多問題的本質是一樣的.關注和探究數學問題的本質，會大大促進數學思維能力、抽象概括能力以及解決問題能力的提高.因此，可利用某些典型問題，引領學生“適當”地進行橫向聯系，探究一些背景不同但本質相同的數學問題.

涂色問題 "在如圖5所示的六個方格里涂上紅、黃、藍三種顏色，要求相鄰兩個方格不同色，第1與第6兩格均為紅色，則涂色方法有多少種？（“第1與第6兩格均為紅色”與“球回到甲手中”本質相同.）

排數問題 "用1，2，3這三個數字排成六位整數，要求首位和末位排1，且任意相鄰的兩個數字不相同，則可以得到多少個不同的六位整數？（“首位和末位排1”與“球回到甲手中”本質相同.）

安排問題 "甲、乙、丙三人值班六天，每天一人值班，每個人值兩天班.其中，第一天和最后一天由甲值班，且相鄰兩天不能是同一人.則共有多少種不同的值班方式？

（“第一天和最后一天由甲值班”與“球回到甲手中”本質相同.）

對于上述問題，既可運用傳球問題中的解法來解決，又可根據此題的情境，生成貼近問題實際的解法.比如涂色問題，可有如下解法：

解析： （1）若 3 涂紅色，則 2 的涂色種數是A12， 4 和 5 的種數是A22， 故有4種方法.

（2）若 4 涂紅色，則 5 的涂色種數是A12， 2 和 3 的種數是A22， 故有4種方法.

（3）若 3 "和 4 "均不涂紅色，則涂色種數只能是A22， 2 和 5 就自然確定了.

綜上可知，共有4+4+2=10種涂色方案.

其他問題，本質相同，就不做詳細解答了.

點評： 上述給出的幾類問題中，有的問題可引導學生編制.這樣做不只是為了解幾個題，更重要的是讓學生通過這個過程，利用不同的背景進一步認識數學知識和數學思想方法的本質，提高數學思維能力、抽象概括能力以及解決問題的能力.

4 縱向拓展

上述傳球問題中只有3人，傳球也只有5次，還應根據學生的實際情況，引領學生將問題“逐步”推廣到一般情況，首先將“5次”傳球推廣到“n次”傳球.

拓展問題1 ""甲、乙、丙三人開始傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經過n次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有多少種？

解析： 設經過n次傳球后，球在甲手中的不同方法有an種，不在甲手中的方法有bn種.

顯然a1=0 ， 并且an+bn=2n.

經過n次傳球后，球在甲手中，此時有an種方法.這說明第n-1次傳球后球沒在甲手中，此時有bn-1種方法，再從不在甲手中傳到甲手中只有一種途徑，即1種方法.

所以bn-1×1=an，

即 an=bn-1.

又因為an-1+bn-1=2n-1，

所以an+an-1=2n-1.

又a1=0 ，則問題轉化為求數列的通項公式.

設an-α·2n=-（an-1-α·2n-1） ，得α= 1 3 .

于是an- 1 3 ·2n=- an-1- 1 3 ·2n-1 .

所以an- 1 3 ·2n=（a1- 2 3 ）（-1）n-1.

故an= 2n+（-1）n×2 3 .

因此，符合題意的傳球方式共[SX（]2n+（-1）n×2[]3[SX）]種.

再把問題中的“3人”推廣到“m人”，就可把問題縱向推廣到更為一般的情況.

拓展問題2 ""有m個人做傳球游戲，每個人可將球傳給任何一人，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經過n次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有多少種？

解析： 設經過n次傳球后，球在甲手中的不同方法有an種，不在甲手中的方法有bn種.

顯然a1=0 ， 并且an+bn=（m-1）n.

經過n次傳球后，球在甲手中，此時有an種方法.這說明第n-1次傳球后球沒在甲手中，此時有bn-1種方法，再從不在甲手中傳到甲手中只有一種途徑，即1種方法.

所以bn-1×1=an，

即 an=bn-1.

又因為an-1+bn-1=（m-1）n-1，所以

an+an-1=（m-1）n-1.

又a1=0，則問題轉化為求數列的通項公式.

設an-α（m-1）n=-［an-1-α（m-1）n-1］，易得 α= 1 m .

所以an- 1 m （m-1）n= a1- m-1 m "（-1）n-1.

故an= （m-1）n+（-1）n×（m-1） m .

通過對三人傳球問題的橫向和縱向的思考和探究，既初步認識到了此類數學問題的本質，又感受到了數學知識之間的廣泛聯系.這對學習數學知識和解決數學問題有較好的啟發(fā)作用，同時讓學生進一步認識到——對待數學“問題”不能只是孤立地去解決，而應該用“聯系”和“運動”的眼光去研究它.退，能得到問題的“本源”；進，可拓展出其“一般性”，從而通過“追根求源”或“橫縱拓展”的探究活動，來體現思維過程和思想方法的“全景”.從這樣的過程中方可體悟出數學的真諦，從而進入神奇的數學世界中——聽數與式奏響的神奇韻律，看圖與形編織的美麗彩虹.