破解利器“三板斧”，參數方程最優(yōu)越

摘要： 高中數學教材例（習）題都是歷年高考數學命題之源，方法之根.結合教材中一道橢圓的習題，展示破解問題的三種常見技巧方法，合理分析與對比，體現(xiàn)圓錐曲線參數方程的應用的優(yōu)越性，鏈接真題，指導與引領平時的實際數學教學與數學學習.

關鍵詞： 橢圓；直線；距離；數形結合；參數方程

源于高中數學教材的數學思想方法與技巧策略是課堂教學與學習的關鍵，合理對比不同的數學思想方法與技巧策略之間的優(yōu)劣，正確區(qū)別并應用優(yōu)越的技巧方法來破解問題，可以很大程度上減少數學運算，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

1 源于教材

習題 """（人教版數學選擇性必修第一冊第三章第116頁第13題） 已知橢圓 x2 25 + y2 9 =1，直線l：4x－5y+40=0.橢圓上是否存在一點，使得：

（1）它到直線l的距離最小？最小距離是多少？

（2）它到直線l的距離最大？最大距離是多少？

解決此類涉及橢圓上的點到與橢圓相離的直線（直線與橢圓無公共點）的距離的最小距離與最大距離問題，常用的解法有切線平移法——數形結合、判別式法——代數方程、三角換元法——參數方程等技巧與方法.

2 習題破解

方法1： "切線平移法——數形結合.

解析： 由直線l的方程與橢圓的方程可知，直線l與橢圓無公共點.設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x－5y+t=0.

由方程組 4x－5y+t=0， x2 25 + y2 9 =1， 消去y，得

25x2+8tx+t2－225=0.

由判別式Δ=0，得64t2－4×25（t2－225）=0，解得t1=25或t2=－25.

數形結合，由圖1可知，當t=25時，直線4x－5y+25=0與橢圓的公共點到直線l的距離最小，且最小距離為

d= |40－25| "42+（－5）2 "= 15 41 "41 ；

當t=－25時，直線4x－5y－25=0與橢圓的公共點到直線l的距離最大，且最大距離為

d= |40+25| "42+（－5）2 "= "65 41 "41 .

解后反思： 切線平移法的本質就是利用直線平移確定直線與曲線相切的位置，將橢圓上的點到直線的距離的最小值（或最大值）轉化為兩平行線間的距離問題來分析與求解.利用兩直線平行的性質合理設置平行線方程，并通過直線與橢圓的方程聯(lián)立，借助判別式為零來確定對應的參數值.數形結合分別求出不同場景下的參數值以及對應的最值關系是破解問題的關鍵.

方法2： "判別式法——代數方程.

解析： 設P（x，y）是橢圓 x2 25 + y2 9 =1上的點，則點P到直線l：4x－5y+40=0的距離為

d= |4x－5y+40| "42+（－5）2 "= |4x－5y+40| "41 ".

因此，問題轉化為求代數式4x－5y的最小（大）值問題.

令t=4x－5y，則y= 4 5 x－ t 5 ，代入橢圓 x2 25 + y2 9 = 1，化簡可得25x2－8tx+t2－225=0.

因為以上關于x的一元二次方程有實數根，

所以Δ= 64t2－4×25（t2－225）≥0，解得－25≤t≤25.

當t=－25時，可得最小距離d= |－25+40| "42+（－5）2 "= ""15 41 "41 ；當t=25時，可得最大距離d= |25+40| "42+（－5）2 "= 65 41 "41 .

解后反思： 判別式法的本質就是將（解析）幾何問題轉化為代數問題，通過整體化思維，引入參數并轉化對應的直線與橢圓的方程之間的關系；利用函數與方程思想，結合代數方程的構建，借助一元二次方程有實數根來合理構建對應的不等式達到確定對應參數取值范圍的目的，結合參數的端點取值情況來確定對應的最值.

方法3： "三角換元法——參數方程.

解析： 不妨設橢圓 x2 25 + y2 9 =1的參數方程為 x=5cos θ，y=3sin θ （θ為參數），

則橢圓上的點P的坐標可表示為（5cos θ，3sin θ）.

點P到直線l：4x-5y+40=0的距離為d= |20cos θ-15sin θ+40| "41 "= |25cos （θ+φ）+40| "41 "，其中，銳角φ滿足tan φ= 3 4 .

所以，當cos（θ+φ）=-1時，可得最小距離d= |-25+40| "42+（-5）2 "= 15 41 "41 ；當cos（θ+φ）=1時，可得最大距離d= |25+40| "42+（-5）2 "= 65 41 "41 .

解后反思： 三角換元法的本質就是依據曲線的參數方程的等價轉化，合理進行三角換元并變形，將平面解析幾何問題并轉化為對應的三角函數問題；結合橢圓上的點到直線距離的確定，借助三角函數中的三角恒等變換公式，特別是輔助角公式的應用，為利用三角函數的有界性來確定最值問題提供條件.借助平面解析幾何中圓錐曲線參數方程的三角換元，利用參數方程來處理此類問題，更加簡捷有效.

3 鏈接高考

涉及橢圓上的點到其他點、直線等的距離的最值問題，也是高考中常見的一類熱點問題.借助橢圓參數方程的構建與轉化，將平面解析幾何問題轉化為對應的三角函數問題，結合三角函數來分析與處理，簡單快捷.

高考真題1 """（2021年高考數學新高考Ⅰ卷·5） 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： x2 9 + y2 4 =1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為（ "）.

A.13

B.12

C.9

D.6

參考答案：C.

高考真題2 """（2021年高考數學全國乙卷文科·11） 設B是橢圓C： x2 5 +y2=1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為（ "）.

A. 5 2

B. 6

C. 5

D.2

參考答案為：A.

高考真題3 """［2022年高考數學浙江卷·21（1）］ 已知橢圓 x2 12 +y2=1，求點P（0，1）到橢圓上點的距離的最大值.

參考答案為： 12 11 "11 .

高考真題4 """（2023年高考數學全國乙卷文科·11） 已知實數x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則x－y的最大值是（ "）.

A.1+ 3 2 "2

B.4

C.1+3 2

D.7

解析： 由x2+y2－4x－2y－4=0，配方可得

（x－2）2+（y－1）2=9.

設圓心C（2，1），半徑r=3的圓對應的參數方程為 x=2+3cos θ，y=1+3sin θ （θ為參數，θ∈［0，2π））.

于是x－y=3cos θ－3sin θ+1=3 2 cos θ+ π 4 "+1≤3 2 +1，當且僅當cos θ+ π 4 "=1，即θ+ π 4 =2π，亦即θ= 7π 4 時，等號成立.

所以x－y的最大值是1+3 2 .故選擇答案：C.

總評： 引入圓的參數方程進行三角換元，構建對應的三角函數關系式，利用三角函數的有界性來確定對應的最值問題.參數方程背景下的三角換元法處理是破解圓錐曲線問題中比較常用的一類技巧方法，特別是將最值問題轉化為三角函數的相關問題來處理，更加有效.

4 教學啟示

4.1 方法總結，技巧歸納

解決一些涉及圓錐曲線上的點所對應的代數關系式的最值或取值范圍問題，常見的呈現(xiàn)方式有線段的長度、點到直線的距離、直接代數關系式等，常見的破解方法有切線平移法——數形結合、判別式法——代數方程、三角換元法——參數方程等.

特別地，可以巧妙引入圓錐曲線的參數方程，利用參數方程表示有時比用普通方程更簡捷方便，巧妙將（解析）幾何問題轉化為三角函數問題，借助三角函數知識，靈活求解相應的最值或取值范圍等問題.

4.2 回歸教材，挖掘內涵

高中數學教材中的例（習）題等，都是幾代教育與教研工作者在不同時代、不同崗位下智慧與教研的精華沉淀與傳承積累，具有良好的典型示范與引領作用.借助教材例（習）題，充分挖掘基礎知識、基本內涵，剖析知識的展示、應用以及思維方法的技巧與綜合，延續(xù)良好的傳承與發(fā)展.

在平時數學教學與學習過程中，不要脫離高中數學教材，應以教材為藍本，以本為本，全面吃準吃透教材中的例（習）題、探究、思考、閱讀等各方面的內容，合理挖掘本源，為知識的理解與掌握、能力的鞏固與提升提供強有力的基礎與動力.