代數與幾何比翼，技能和素養齊飛

摘要： 數學中的“一題多解”，對于構建數學知識網絡，挖掘題設隱含條件，開拓數學解題思路，確定數學解題方向等方面的靈活性、創新性與應用等都有很好的幫助.利用一道解三角形問題中三角形面積最值的解析，從代數與幾何思維視角切入，多技巧方法應用與展示，充分體現“一題多解”的巧妙應用，引領并指導解題研究與應用.

關鍵詞： 解三角形；面積；最大值；函數；坐標

解三角形作為高中數學中一個重要基礎知識點，也是高考數學解答題重點考查的題型之一，形式各樣，變化多端，難度中等.此類解三角形問題，可以有效聯系初中平面幾何與高中三角函數等相關知識，結合創新場景的創設，構建一個合適的橋梁，形成數學基礎知識的延續、深入與拓展，是集數學基礎知識、數學思想方法、數學能力技巧、數學核心素養等多方面的一類題型.

1 問題呈現

問題 """［光大教育廣東2023屆高三綜合能力測試（三）數學試卷·19］ △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c= 3 a.

（1）若bcos C= 3 ，csin B=3，求A；

（2）若b=4，求△ABC面積的最大值.

2 問題分析

2.1 標準答案

命題者提供的標準答案如下：

（1）利用正弦定理 b sin B = c sin C ，可得csin B=bsin C=3.

又bcos C= 3 ，所以tan C= 3 .

結合C∈（0，π），可得C= π 3 .

由c= 3 a，結合正弦定理有sin C= 3 sin A，從而sin A= 1 2 .

由c= 3 agt;a，得Cgt;A，則A= π 6 .

（2） "方法1： "二次函數法.

設a=xgt;0，則c= 3 a= 3 x，結合三角形的幾何性質，可得2（ 3 －1）lt;xlt;2（ 3 +1）.

利用余弦定理，有cos C= a2+b2－c2 2ab = 8－x2 4x .結合同角三角函數基本關系式，有

sin C= 1－cos2C = "－x4+32x2－64 "4x .

所以，可得△ABC面積S= 1 2 absin C= 1 2 × －x4+32x2－64 = 1 2 "－（x2－16）2+192 ，則當x2=16，即x=4時，△ABC的面積取得最大值，且最大值為4 3 .

2.2 問題剖析

根據三角形問題背景創設，以兩邊長的線性關系為條件，第（1）問中結合兩個邊與角的關系式的確定，進而求解相關內角，考查了正弦定理、同角三角函數基本關系式以及三角形的基本性質等；

第（2）問結合三角形另一邊長的確定，進而求解三角形面積的最大值，考查了三角形的面積公式、余弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形的基本性質以及二次函數的圖象與性質等.

3 多解賞析

以上解三角形問題中的第（2）問，除了上述方法1中的二次函數法這一代數思維方法，還可以在代數層面利用其他的一些方法（如坐標法、三角函數法、海倫公式法等）來分析處理與數學運算；也可以在幾何層面通過構建平面幾何圖形，借助軌跡法等來直觀分析與邏輯推理等.

3.1 代數思維

方法2： "坐標法.

以AC所在直線為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系xOy，則A（－2，0），C（2，0）.

設B（x，y）.由c= 3 a，得c2=3a2，即（x+2）2+y2=3[（x－2）2+y2]，整理化簡，得（x－4）2+y2=12（y≠0），

則知|y|≤2 3 .所以，可得△ABC面積S= 1 2 b|y|≤ 1 2 ×4×2 3 =4 3 ，即△ABC面積的最大值為4 3 .

解后反思： 解決解三角形中的最值問題，經常通過平面直角坐標系的構建，利用三角形中的已知條件來確定對應動點的變化規律，結合平面解析幾何中的軌跡或曲線的確定，進而借助代數運算與圖形直觀來綜合分析與解決問題.

方法3： "三角函數法.

利用余弦定理，有b2=a2+c2－2accos B=16，結合c= 3 a，整理得（2－ 3 cos B）a2=8，則

a2= 8 2－ 3 cos B .

而sin B+ 3 cos B=2sin（B+ π 3 ）≤2，所以可得2－ 3 cos B≥sin B，

當且僅當B= π 6 時，等號成立.

所以，△ABC面積S= 1 2 acsin B= "3 "2 a2sin B= 4 3 sin B 2－ 3 cos B ≤ 4 3 sin B sin B =4 3 ，當且僅當B= π 6 時，等號成立，即△ABC面積的最大值為4 3 .

解后反思： 解決解三角形中的最值問題，經常可以借助三角形的內角以及正弦定理與余弦定理、面積公式等的應用，將對應的問題轉化為三角函數問題，借助三角函數的公式、圖象與性質等的巧妙轉化，得以解決對應的最值.

方法4： "海倫公式法.

由c= 3 a，b=4，利用海倫公式，可知p= a+ 3 a+4 2 = 1+ 3 "2 a+2.

故△ABC面積S= p（p－a）（p－b）（p－c）

= """"1+ 3 "2 a+2 """3 －1 2 a+2 ""1+ 3 "2 a－2 ""1－ 3 "2 a+2 "，

可得S= """1+ 3 "2 a 2－4 "4－ ""3 －1 2 a 2 "= 1 2 × －a4+32a2－64 = 1 2 "－（a2－16）2+192 ，當a2=16，即a=4時，△ABC的面積取得最大值，且最大值為4 3 .

解后反思： 解決解三角形中與面積有關的最值問題，可以利用海倫公式來構建對應的表達式，這也是解決與面積有關的問題經常用來合理構建關系式的一種基本思維方式.在構建關系式的基礎上，或利用函數性質，或利用不等式性質等來確定最值.

3.2 幾何思維

方法5： "軌跡法.

如圖1所示，在線段AC上取點B1，使得AB1= 3 ×B1C，在線段AC的延長線上取點B2，使得AB2= 3 B2C.

根據AC=a=4，可求得B1C=2 3 －2，B2C=2 3 +2，從而B1B2=4 3 .

易知點B在以B1B2為直徑的阿波羅尼斯圓O上運動，此時OB0⊥AC，OB0=2 3 .

設△ABC底邊AC上的高為h，則可知△ABC面積S= 1 2 bh=2h≤2OB0=4 3 .

故△ABC面積的最大值為4 3 .

解后反思： 解決解三角形中的最值問題，經常回歸到平面幾何圖形的本質，結合動點的變化規律或軌跡的確定，利用數形結合，直觀分析與邏輯推理，進而得以確定最值問題.

4 解后總結

4.1 規律總結，思考方向

根據以上問題及其解析，解決解三角形中最值問題的常規思考方向有：

（1）用靜止的眼光看圖形.根據解三角形思維、坐標思維、三角函數思維、公式思維等合理構建相關幾何量的解析式，根據函數或方程、三角函數、不等式等思想（或動態）來求解對應的最值問題.

（2）用動態的眼光看圖形.根據三角形中的數量關系，合理構建幾何圖形，關注相關動點的軌跡，結合對應動點、動直線等運動的軌跡與圖形，數形結合，“形”看最值的條件，進而得以確定對應的最值問題.

4.2 發散思維，創新意識

解數學題時，要有探究意識、推廣意識、拓展意識和創新意識等.如探究問題的解法能否多思維、多方法，問題的特殊場景能否推廣到一般形式，問題的變量能否拓展到更多個或一般形式的變量問題，問題的應用能否更加創新與綜合，等等.教學中合理引導，開啟一個更加多元、更加廣闊的平臺，進而引導學生利用數學的思維與方法來解決問題，探究現實世界.