一道高考參數方程題的解法分析及教學反思

摘要： 參數方程是高考數學考查的重要模塊，本文中結合一道高考參數方程題解法的深入研究，依托高考試題反思教師日常教學，總結不同題型的解法特點，以在教學時真正做到因材施教，進一步落實對學生數學學科核心素養的培養.

關鍵詞： 參數方程;解法研究;教學反思

知過去，才能謀未來.我們的高中生從來都不缺乏練習題、高考題的訓煉，但大多都淺嘗輒止，缺乏上下求索的學習態度，導致各個數學知識點之間的聯系沒有得到很好的構建，知識的外延也沒能得到很好的拓展.實際上，很多高考題具有很強的教學意義和研究價值.筆者曾參與海南省2018年高考閱卷工作，現試著從2018年全國Ⅱ卷第22題關于參數方程問題的研究出發，剖析該參數方程題的不同解法，歸納解該類題目的思想方法.首先介紹考生的常見解題思路，并分析不同考生解法的思維特點，然后進一步研究不同的解法，最后揭示不同數學思維水平的考生該如何在考場中“揚長避短”，以及教師在教學中如何做到“因材施教”，落實新課標提出的高中數學學科六大核心素養［1］.

1 試題呈現

（2018年全國Ⅱ卷第22題） 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 x=2cos θ，y=4sin θ （θ為參數），直線l的參數方程為 x=1+tcos α，y=2+tsin α （t為參數）.

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）若曲線C截直線l所得線段中點的坐標為（1，2），求l的斜率.

答案： （1）C： x2 4 + y2 16 =1.

當cos α≠0時，l：y=tan α·x+2－tan α；當cos α=0時，l：x=1.

（2）直線l的斜率為-2.

2 參數方程問題的解題策略分析

該題在高考中屬于選考題，因為其主要考查的內容是三角函數和解析幾何，屬學生較為熟悉的知識點，故而在高考考場上選擇的考生頗多.第（1）問主要考查學生將極坐標方程轉化為直角坐標方程、參數方程轉化為普通方程的能力，盡管該問較為簡單，但是直線l的轉換出錯較多.對于第（2）問，學生的解法主要是將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程中去求解，思維的切入點不同，解題的方法往往就大相徑庭［2］.

解析： （1）由 x=2cos θ，y=4sin θ， 得 "x 2 =cos θ， y 4 =sin θ， [JP3]將兩式分別平方再相加，得曲線C的直角坐標方程為 x2 4 + y2 16 =1.[JP]

當cos α≠0時，直線l的直角坐標方程為y=tan α·x+2－tan α；當cos α=0時，直線l的直角坐標方程為x=1.

第（1）問總體來說較簡單，失分的同學往往是因為忽略了cos α=0這種特殊情況.當然，如果考生將直線l的直角坐標方程寫為ycos α=sin α·x+2cos α－sin α，閱卷時也可以得滿分，但是如果l的直角坐標方程寫為 x－1 cos α = y－2 sin α ，則至少扣一分.

（2） "解法1： "把 x=1+tcos α，y=2+tsin α 代入 x2 4 + y2 16 =1，得 （1+tcos α）2 4 + （2+tsin α）2 16 =1，整理為

（1+3cos2α）t2+4（2cos α+sin α）t－8=0. "①

因為曲線C截得直線l所得線段的中點（1，2）在C內，所以方程①有兩解，設為t1，t2，根據參數t的含義，有t1+t2=0.又t1+t2=- 4（2cos α+sin α） 1+3cos 2α ，所以2cos α+sin α=0，故直線l的斜率為k=tan α=－2.

具體策略分析： 解法1在閱卷中屬于司空見慣的，由于其解題思路清晰及步驟操作偏模式化，因此有很多考生青睞這種解法，也體現了這類考生數學運算素養較強.因此，在教學中針對這類學生，教師應當著重加強計算能力和運算技巧的訓練，這樣才能做到有的放矢地教學，這應該也算是數學學科的“因材施教”吧！

解法2： "（ⅰ）當cos α=0時，曲線C截直線l所得線段的中點為（1，0），不合題意.

（ⅱ）當cos α≠0時，由 "x2 4 + y2 16 =1，y=xtan α+2－tan α， 得

x2 4 + （xtan α+2－tan α）2 16 =1.

整理得（4+tan 2α）x2+2tan α（2－tan α）x+tan 2α－4tan α－12=0.

設方程的兩個根分別為x1，x2，則由韋達定理可得x1+x2=－ 2tan α（2－tan α） 4+tan 2α .

又曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），所以 x1+x2 2 =1，于是- tan α·（2－tan α） 4+tan 2α =1，解得tan α=－2.

故直線l的斜率為-2.

具體策略分析： 解法2較之解法1，在思維上走的彎路較少，聯立后整理得到的方程的解本身就是題目所求，沒必要牽涉到參數t的含義，所以考場上運用解法2的考生也較多.但是，很多學生運用該解法總是拿不到滿分，原因是沒有考慮cos α=0的情況，即直線l的斜率不存在的情況.針對這類學生，課堂上教師應該有意識地培養他們的數學抽象素養.

解法3： "設直線l與橢圓 x2 4 + y2 16 =1相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），則有 "x21 4 + y21 16 =1， x22 4 + y22 16 =1， 兩式相減，得 （x1+x2）（x1－x2） 4 + （y1+y2）（y1－y2） 16 =0.因為AB的中點坐標為（1，2），所以x1+x2=2，y1+y2=4，則 x1－x2 2 + y1－y2 4 =0.當x1≠x2時，線段AB的斜率k= y1－y2 x1－x2 =－2；當x1=x2時，線段AB的中點坐標為（1，0），不符合題意.故直線l的斜率為－2.

具體策略分析： 解法3是常用于解圓錐曲線問題的點差法，思想就是未知參量設而不求，最后直接整理得斜率的表達式并求解.考場上運用該解法的學生思路清晰，基本都能拿滿分，不過也有部分學生忽略了x1=x2時斜率不存在的情況，導致被扣兩分.從側面來看，用解法3還出錯的學生表現出其邏輯推理及直觀想象素養不夠強，教師在教學中應當見微知著，有目的地補齊這類學生的短板.

解法4： "（ⅰ）當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－2=k（x－1）.聯立 "x2 4 + y2 16 =1，y=k（x－1）+2， 整理可得（4+k2）x2+2k（2－k）x+k2－4k－12=0.設該方程的兩個根分別為x1，x2，則由韋達定理可得x1+x2=－ 2k（2－k） 4+k2 .又曲線C截直線l所得線段中點坐標為（1，2），則 x1+x2 2 =1，即- k（2－k） 4+k2 =1，解得k=－2.

（ⅱ）當直線l垂直于x軸，即直線l的斜率不存在時，曲線C截得直線l所得線段的中點坐標為（1，0），不符合題意.

具體策略分析： 解法4與解法2有著異曲同工之妙，都是將兩方程聯立并整理，再應用韋達定理和線段的中點坐標求解.這類解法在考場上較為罕見，主要原因是設直線方程再聯立求解，其中的運算量較大，很多考生都望而卻步.因此，在日常教學中，教師要有意識地強化學生的數學運算素養，只有夯實基礎才能更上一層樓.

解法5： "如圖1，曲線C是中心在原點、焦點在y軸上、長軸長2a=8、短軸長2b=4的橢圓，上頂點為A（0，4），右頂點為B（2，0），線段AB的中點為（1，2），所以直線AB滿足題目要求.故直線l的斜率為-2.

具體策略分析： "解法5鮮為考生所知，能用該法解決第（2）問的考生體現了其較強的數學抽象和直觀想象素養，在爭分奪秒的高考考場上思維仍能做到簡明扼要、抽絲剝繭，的確令人激賞.

總之，參數方程問題的求解不僅要掌握參數方程中參數的含義，有時還需運用數形結合思想來思考和解答問題.通過這道參數方程題來審視我們的教學效果，確實還有很多需要改進的地方，很多素養需要加強.教師只有終身學習才能站好三尺講臺的崗，對以往高考題解法的回顧，能讓思維得到鍛煉和發散，能厘清知識間千絲萬縷的聯系.作為人民教師的我們，應生命不息教與學不止.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］汪生芳.“極坐標系與參數方程”的教學研究［D］.武漢：華中師范大學，2018.