“圓的標準方程”教學設計

摘要：本文中呈現了“圓的標準方程”的教學設計，并對教學實踐中的具體過程和問題進行總結和反思，針對教學環節的目標和設計方法進行詳細闡述，同時在多次設計學生提出問題的環節，初步嘗試學生提出問題的教學方式.

關鍵詞：教學設計；圓的標準方程；問題提出

1 單元整體分析

解析幾何的本質是利用代數的方法研究幾何圖形的性質，體現數形結合的思想.基于“平面直角坐標系中的直線”

的學習，體會了平面直角坐標系中直線方程的意義和求法，進一步通過直線方程研究了直線有關性質以及直線與直線的位置關系，初步了解了平面直角坐標系中曲線方程的意義.圓作為本單元的第二課時，起著承上啟下的作用.而本節課立足于學生的“最近發展區”，通過探究圓的標準方程，實現研究曲線與方程方法的延伸，并初步體驗用代數方法研究曲線的相關內容，構建研究方法，形成解析幾何的基本研究框架并用于解決相關問題，進而為后續橢圓、雙曲線和拋物線等的研究方法奠定基礎.

2 教學內容分析

圓作為平面內相對比較簡單的曲線，能充分體現解析幾何研究的兩大問題.在本節課中進一步體會求曲線方程的本質是尋求曲線上動點的橫、縱坐標所滿足的關系式；用代數的方法研究圓的性質時，形成用代數方法研究幾何性質的思維模式，提高發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，為后續研究直線與圓及其他二次曲線的位置關系和性質提供方法和思路.因此，本節課有著承上啟下、展示研究思路、滲透研究方法的作用，能夠提升學生的數學抽象、數學運算及數學建模等核心素養.

3 教學目標

（1）通過回顧圓的定義，探求并掌握圓的標準方程，進一步鞏固求曲線方程的方法，并會用代數方程刻畫圓的圓心和半徑；

（2）通過探究過圓上一點的圓的切線方程，體會解析幾何的研究思路和方法，形成用代數方法研究幾何問題的基本思想，滲透轉化的觀念；

（3）通過用圓的標準方程解決實際問題，增強數學的應用意識，滲透數形結合思想，認識到數學從實際生活中來，到實際生活中去，增強數學研究和應用意識，提高數學學習興趣.

教學重點：圓的標準方程及其推導過程.

教學難點：圓的標準方程的應用.

4 學情分析

本節課是在上海市某重點中學的高二實驗班借班上課，學生的數學基礎較好.在學習本節課之前，學生已經有了一定的知識和方法儲備：如初中學習過圓的定義以及圓的一些簡單性質；上一章學習了直線方程的求法（直接法和待定系數法）；前一節學習了曲線與方程的概念，知道曲線上的點的坐標與方程的解之間的關系，知道求曲線方程的基本方法和步驟；初步體會了用代數的手段研究曲線性質的方法.因此，可以引導學生自主完成圓的標準方程的推導.

在初中平面幾何中，學生已經學習過圓的定義及簡單的幾何性質.如：圓內一點到圓心的距離小于圓的半徑，圓的切線垂直于過切點的半徑，垂徑定理，等等.本節課之前還學習了向量及直線方程的有關知識.因此，學生可以在教師的引導下解決過圓上一點求圓的切線方程的問題.[BP）]

4 教學過程

4.1 導入新課

我們先來回顧一下圓的定義.

（1）圓的定義

定義：平面內到一個定點的距離等于定長（大于零）的點的軌跡就是圓，這個定點就是圓心，定長就是半徑.

（2）圓的幾何要素

問題1 確定一個圓的條件有哪些？

學生思考：圓心定位置，半徑定大小.得到圓的兩個幾何要素：圓心、半徑.

設計意圖：通過初中圓的定義回顧及問題1，強化對圓的幾何要素的認識，為研究圓的標準方程作鋪墊.

欣賞四張形狀各異、大小不同的圓拱形吊橋圖片，拱橋造型優美，曲線圓潤，富有動態感.通過圖片發現拱形橋需要立柱支撐，請同學們思考：在已知圓拱橋的一些條件下，如何知道每根立柱的高度？

提出問題 圓拱橋的圓拱如圖1所示，該圓拱的跨度AB=20 m，拱高CP=4 m，在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐，求出支柱A2B2的長度（精確到0.01 m）.

設計意圖：通過情境引導學生體會數學來源于實際生活，是具體事物的抽象與概括；利用圖片展示提出問題，進而抽象出數學問題，引發學生思考如何借助代數方法研究圓的問題，激發學習興趣，引出本節課的基本內容，提升學生的數學抽象和邏輯思維素養.

4.2 自主探究推導

4.2.1 圓的標準方程

5 教學體會

本節課通過具體的實例引出學習圓的方程的必要性，在學生已有曲線和方程的知識和方法儲備的條件下，引導學生自主探究圓的標準方程，并自然過渡到利用方程判斷點與圓的位置關系，通過具體的實例進一步體會用代數的手段研究曲線性質的方法.由于教材中本節內容相對簡單，教學方法又比較單一，因此在設計過程中思考怎樣才能使這節課簡單而又不平凡，所以突出了學生在課堂中的主體作用，讓問題提出貫穿于整節課堂.

課堂中，通過特殊問題的解決，多次引導學生提出一般性問題并對問題進行歸納、猜測及證明，將教師提出的問題與學生的問題提出進行融合，既能豐富課堂形式，又能調動學生積極性，引導學生深入思考不同的問題，了解和發現學生對概念的理解深度，在交流、討論及教師引導和辨析過程中完善所提問題，共同提高.

由于問題提出的發散性，因此本節課對教師和學生都帶來了極大的挑戰.同時，本節課知識容量大，同時利用標準方程研究了點與圓、直線與圓，對于多數學生來講，在一節內充分理解和吸收這些內容確實存在困難.這也為不同的學生提供了課后拓展和延伸的問題，使學生的學習不僅僅停留在課堂上，課后也能夠延續.