“圓的標準方程”教學設計點評

圓的標準方程正如其名，比較標準，既然標準就相對平常，這樣的課相應就很難出彩，但王奎彩老師的名中有彩，這節課還是比較出彩.以下筆者談些體會，不妥之處請同行批評.

1 這是一節數學生態課

所謂數學生態課堂是指數學課堂要尊重數學知識的發生、發展過程，尊重學生的認知規律，同時要把握好兩個度：思想（哲學、數學思想）高度和文化厚度.構建生態課堂是落實核心素養的有效途徑.數學生態課堂說白了就是把教書育人落到實處，“兩個尊重”重在教書，“兩個度”重在育人.

1.1 問題設計尊重知識發展規律

圓是日常生活中的常見圖形，由此引入既尊重學生的認知規律也尊重知識的發生、發展規律，能提高學生的學習興趣又能落實抽象素養.

新課從復習圓的定義、確定圓的要素到提出問題，步步深入，讓學生體會到要求出A2B2的長，需要通過計算才能得到，這就需要確定圓的方程，怎么確定圓的方程——回到定義，在直角坐標系中求出圓的標準方程.在驗證滿足以方程的解為坐標的點都在圓上后，順勢指出點在圓上、圓內、圓外的判斷方法，從外延上加深對圓的標準方程的理解.這一過程自然流暢，簡捷明快.

在一個簡單的練習之后回到開始提出的問題，體現學以致用，而且給出兩種方法;接著求過圓心在原點的圓上一點的切線方程，也給出兩種方法.這些都是尊重知識發生規律的體現.因為教材并沒有給出兩種方法.

問題3讓學生設計適當的條件，使之可以求出圓的標準方程，具有開放性，這是在知識的最近發展區開展教學，從整體上把握教學內容（不囿于課本），展示知識間的相互聯系;特別是問題4將問題推廣到一般情況，有一定難度.這樣從定義到標準方程，再到圓的切線方程（圓心在原點和不在原點，定點在圓上和圓外）的安排，知識結構清楚、層層遞進，形成網絡，有利于培養學生的思維能力，特別是為后面要學習的橢圓和雙曲線提供可以類比的模型.因此，這節課較好地體現了大概念教學和深度學習.

1.2 課堂教學尊重學生認知規律

課堂教學的關鍵在于根據學生的情況以學定教.從教學來看，由于本課施教對象是上海市重點中學的實驗班學生，因此教師在選題上自由度相對較大.盡管如此，在問題2后面的練一練中還是給出了2個基礎題，這是非常必要的，畢竟萬丈高樓平地起.

在解答上課開始提出的問題時運用兩種不同的建系方法，一方面培養學生的發散思維，另一方面通過對比說明標準方程的優勢，在解題過程中廣開思路；求圓的切線方程也同樣如此，向量法比設斜率要簡單.通過這些解答對比，培養學生思維的靈活性和深刻性.

問題3是開放性問題，內容設計也是匠心獨運.對借班上課的教師來說挑戰性很大，王老師還是藝高人膽大.從展示的結果看，達到了預定目標.通過學生獨立思考或者小組討論，由確定圓的兩個要素（圓心和半徑）發散開來，充分發揮學生的想象力，利用平面幾何知識得到答案，提高轉化與化歸的能力.

問題4要求較高.當點（x0，y0）在圓x2+y2=r2上時，求過該點的切線方程難度不大，但圓心不在原點對部分學生可能有困難，而過圓外一點（x0，y0）求圓的切線方程運用探究2的兩種解法都比較困難，應該在設出直線方程的情況下，通過圓心到直線距離等于半徑來求解，這是通法.對于點（x0，y0）在圓外，方程x0x+y0y=r2表示切點弦所在的直線方程.這些內容要在一節課講完有難度，可以布置學生課外研究，為后面講直線和圓的位置關系埋下伏筆.

1.3 思想文化的“兩度”把握還需努力

一節高品位的數學課，除了要關注講什么、怎么講（這也是目前的教學現狀），還要在育人方面有所體現.育人主要體現在思想（哲學或數學思想）高度和文化厚度方面.哲學思想往往隱含在教學內容之中，并不“顯山露水”，通常體現在教學結構安排和例習題的選擇上，數學思想相對顯性.就本課而言，知識構建遵循由舊到新（利于新知識順應原有知識），根據定義得到圓的標準方程，再由方程引出切線等；問題提出由易到難、由內（涵）及外（延），知識邏輯清晰;練習選取也比較符合教學與學生實際情況.教學結構遵循從特殊到一般（螺旋式上升）再回到特殊（解決具體問題及做適當延伸），尤其是延伸的內容最能體現哲學思想的指導——知識緊密聯系且學生可接受.數學思想在教學中的體現這里無需多言.

順便指出，本課延伸內容難度大，對于普通中學這樣安排或許不太合適.他們第一課時安排圓的方程（含一般方程），把切線方程安排到直線和圓的位置關系一節講授比較好.

數學文化在于讓學生理解數學知識的同時感受到學習數學的樂趣.對王老師這節借班上課而言，開始需要“暖場”，可以和學生開開玩笑，比如說，初中我們學過圓，除了數學中的圓，我們還能想到生活中與圓有關的詞語嗎？學生會浮想聯翩有各種答案，先給學生美的享受，拉進與學生的距離再切入正題，這樣更能激發學生的學習熱情.此外，為什么這個圓的方程稱為標準方程？它有何特點？［定心定徑，如果老師再追加一句：把心安定下來就能安靜（與徑諧音）學習了.］還有其他形式的方程嗎？這些都是極具文化含量又緊密聯系教學實際的問題，老師不提，學生嘴上不說心理也會存疑.在小結中也可以融入數學文化，加深學生對所學知識的理解，讓數學文化滋潤學生！

2 建議

2.1 教學目標內容準確、表述精煉

教學目標怎么寫？主要寫本節課要達成的基礎知識、基本能力以及如何達成的方法，還有貫穿這一過程的育人價值.內容要精準、表述要精煉，不要冗長，更不要空話、大話.就本課而言，教學目標如下表述更恰當：

（1）掌握圓的標準方程并能簡單應用；

（2）在曲線和方程思想指導下能推導圓的標準方程并檢驗；

（3）體會由特殊到一般，再由一般到特殊的研究問題的基本方法，感悟圓的幾何之美.

（“由特殊到一般”指引入過程，“再由一般到特殊”指在推導圓標準方程是利用曲線和方程理論.這一過程就有方法論意義.）

2.2 課堂小結重知識技能、思想育人

小結怎么寫？現在流行的做法是下課前老師問學生：這節課有什么收獲？學生把這節課的內容復述一遍就下課.這是必要的，但還不夠.小結包含三方面：知識技能、思想方法與育人.通過小結讓學生對內容的理解更深刻，有一種登高望遠的感覺.

圓的標準方程和過圓上一點的切線方程，運用數形結合、類比思想解決問題，感悟從特殊到一般的認識事物方式，感受圓的幾何之美：

定點定距稱標準，

遵守規則方圓滿.

定動積和半徑方，

類比其他得一串.

注：“定動積和半徑方”指過圓x2+y2=r2上定點（x0，y0）的切線方程x0x+y0y=r2，其左邊是定點橫坐標與動點橫坐標之積，與定點縱坐標與動點縱坐標之積的和，右邊為半徑的平方.