高中數學新教材“小結”的整體性

摘要：以平面向量章節為例，從研究路徑、知識內容、數學思想方法與數學思維三方面對比了2003年與2019年人教A版高中數學教材“小結”中的整體性，并為復習教學提出了部分參考建議，力求引起廣大教師對教材“小結”教學的重視，夯實學生基礎，貫徹落實核心素養的培育，促進學生全面發展.

關鍵詞：數學的整體性；小結；新教材；教學建議

1 對數學整體性的理解

數學的整體性不僅蘊含在數學的知識內容上，還體現在數學邏輯的連貫性、數學思想方法的一致性、數學思維的系統性上［1］.

在知識內容上，主要表現為進一步優化知識內部的系統結構，將碎片化的知識更好地統籌為一個整體.同時，更加注重不同學科之間的聯系以及與實際生活的聯系.例如，2019年新人教A版高中數學教材（以下簡稱新教材）調整了2003年人教A版高中數學教材（以下簡稱舊教材）中部分內容的順序，按照函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四大主題來呈現教學內容，并突出各個主題之間的聯系，將具有內在聯系的不同內容整合起來，從總體框架上體現了數學的整體性.

在數學思想方法與數學思維上，主要表現為研究數學知識時所蘊含的數學思想、方法以及所形成的數學思維，它們都具有內在一致性.例如有些知識點雖各不相同，但其研究路徑大致相同.這些都是高于知識層面數學整體性的體現.

2 基于數學整體性的 “小結”具體內容分析

新舊教材中對于每章末“小結”的編寫都分為兩部分：第一部分是本章知識結構，第二部分是回顧與思考.與舊教材相比，新教材以落實學生核心素養的發展為導向，對具體的主題內容等進行了適當的調整與修改，進一步強調了數學的整體性.

2.1 本章知識結構

“小結”的第一部分是本章的知識結構，它是對本章全部知識內容的一個整體呈現，從結構上簡單地表達出各部分知識之間的聯系.圖1、圖2分別是新教材與舊教材的“小結”知識結構框架圖.對比新舊教材的知識結構，顯然，新教材的知識結構框架圖更為簡潔明了，更加強調對數學整體性的認識和感受［2］.

通過詳細對比新教材與舊教材中的“小結”知識結構框架圖，不難發現：

（1）新教材切合實際，按照傳統的研究脈絡“背景-概念-運算（及幾何意義）-性質-運用”進行結構框架圖的繪制，其所呈現的平面向量的研究思路也更加清晰，這也使其與同一主題的其他內容的研究路徑保持一致，更加突出了同一主題內容在研究方法上的通用性和數學思維的一致性，由外而內地展現出數學的整體性.相較之下，舊教材的知識結構框架圖（圖2）不論是從外觀還是結構層次方面，均稍顯雜亂，對數學整體性的表達較為隱晦.

（2）新教材更加強調知識內部的整體性.從其結構圖中可明顯看出，新教材將平面向量基本定理與坐標表示進行整合，并以“運算”為統領將向量的線性運算和向量的數量積統籌為向量的運算，使得向量的數量積和向量的加、減、數乘運算形成一個聯系緊密的整體，強調了平面向量知識內部的系統性.

（3）新教材通過改善框架圖的繪制細節，使數學內容在思想方法上的整體性得以外顯化.對比圖1與圖2，顯而易見，二者均遵循自上而下的編排順序.然而，相較圖2中的各個標題，除“實際背景”和“向量的應用”外，圖1在每個標題的開頭中均增加了“向量”的字眼，并將“向量的應用”更換為“平面向量的應用”.新教材將“向量”一詞貫徹框架始終，通過此微小細節的改變，增強了學生對于“向量”“幾何”“代數”三個不同主題之間存在密切聯系的感受，同時也為“向量”和“運算”兩大統籌方向的更換奠定基礎，使得數學在思想、方法上的整體性進一步得以突出顯現.

2.2 回顧與思考

繼第一部分“本章知識結構”之后，“回顧與思考”是對本章知識進行更加詳細、深度地回顧、梳理、再思考和再建構的環節.通過對比新舊教材，不難發現，在“回顧與思考”部分二者之間存在非常明顯的差異.舊教材主要通過設置一系列富有彈性的問題，以提問的方式對學習過的數學知識、思想方法等進行回憶、復習，引起學生的思考，偏向于學生對重點知識的掌握.而新教材則站在全局的角度，以數學的整體性為統領，將“回顧與思考”分為“陳述”和“提問”兩部分，其中“陳述”在前，“提問”在后.同時，新教材主要通過新增的“陳述”環節，來影響學生對于整體或局部知識的再理解與再建構過程，增強學生對數學整體性的感受，進而優化對數學知識整體的理解與建構.以平面向量章節為例，新教材“回顧與思考”的具體表現為：

2.2.1 突出研究路徑的整體性

對于平面向量的研究學習，新教材“回顧與思考”的編寫最大的特色之一就是站在全局的角度，將平面向量視作一個一般的數學研究對象，通過陳述，對其整體的研究過程進行了詳細的回顧.首先，從“類比數的運算”即研究方法入手，簡要回顧平面向量的整體研究內容.其次，依照向量的“實際背景-概念-運算（及其幾何意義）-性質-應用”分別展開，呈現具體的研究思路.同時，在整個過程中，以連貫的邏輯和諸如“明確數學對象的內涵及表示是定義一個數學對象的基本要求”等客觀的解釋，增強了對研究對象和研究方法不同，但研究路徑和思路保持一致的數學思維整體性的認識.

2.2.2 加強研究內容的整體性

基于數學的整體性，新教材“小結”注重優化平面向量知識內部的結構，將具有內在聯系的同一主題和不同主題的內容、其他學科的內容整合在一起，以此加強學生內化知識時的結構意識和整體意識.例如：在舊教材中，“平面向量”與“解三角形”處于兩個不同的單元，然而在新教材平面向量的知識結尾，教材設置了用平面向量的方法研究三角形的邊角關系即正弦定理和余弦定理，并在“小結”中進行簡單回顧［3］.此外，“小結”將平面向量與空間向量、實數、力等相關知識的聯系以思維導圖的形式呈現出來，并將其放置在“陳述”環節的最后，恰到好處地銜接“提問”環節，以此來進一步強化對知識整體的認知與內化.總體來說，新教材“小結”不僅將新舊知識內容進行了實質性整合，突出了各個部分的重點知識、結論，同時還兼顧知識的延展性，增強了對知識的整體性認識和感受.

2.2.3 突出數學思維、數學思想方法上的整體性

新教材“小結”中的“陳述”環節對每一小節知識的學習過程均進行了簡明扼要的陳述，以此很好地打開了學生的數學思維，進而使學生可以清晰地感知數學知識與學習所帶來的數學思維的一致性.此外，向量是一種數學工具，新教材“回顧與思考”主要借助向量與幾何、代數之間的聯系來滲透平面向量研究中所蘊含的數學思想方法.例如：“類比數a的整數倍na是n個a相加的總和……”“向量運算與實數運算既有差別又有共性，在定義向量的運算法則，探索其相應的運算律時，我們總是類比數及其運算來發現和提出問題……”，以此來突出代數、幾何、向量之間的相互融合，同時也總結出向量問題所涉及的類比和轉化思想，加強對不同的思想、方法之間以及思想方法與知識之間存在著內部聯系的整體性認識.

3 基于數學整體性的“小結”教學

復習課的教學并不是對知識的簡單回顧，更不能盲目地搞題海戰術，教師應深度鉆研教材、讀懂教材，加強對數學整體性的認識，這樣才能發揮出教材“小結”最大的教育價值，做好小結教學，提高復習課的課堂效果.以下是從數學的整體性出發，合理利用教材“小結”的一些教學建議.

3.1 提高“小結”的使用意識

通過查閱文獻和對實際情況的調查發現，大部分教師對高中數學教材“小結”的使用情況不容樂觀.高中學習節奏快、效率高，大部分教師為追求高效率，通常在章末小結時會選擇以填空的方式對知識進行簡單的回顧，并針對典型例題以及重點知識進行練習，以此來幫助學生掌握知識、歸納解題方法［4］.如此，不僅忽略了教材“小結”的教育價值，同時也對學生的整體性學習策略造成不利影響.從“小結”的作用來看，基于數學的整體性“小結”不僅是對知識的回顧，更起到了促進學生整體內化知識、檢測知識掌握情況的重要作用.同時，其內容也對教師的復習教學有著非常重要的參考價值.因此，廣大教師必須提高對新教材“小結”的認識水平與重視程度.

3.2 自主與引導相結合，多次構建框架

首先，在進行具體的知識復習之前，教師應合理利用“小結”的第一部分——本章知識結構框架，使學生先從整體上對本章知識結構有一定的認識，即積極鼓勵學生脫離課本，獨立構建本章內容的知識結構框架.在學生初步了解了自身的知識掌握情況和系統構建能力之后，再給學生留下適當思考時間，使其結合課本“小結”的知識結構框架進行自主完善.其次，借助“小結”中“回顧與思考”部分的“陳述”素材，帶領學生以整體性視角再度理解所學知識，通過對本章知識內容的整體性梳理，引導學生共同對本章知識結構框架進行再建構，得到“整體性結構框架圖”，即處于“陳述”環節末尾位置的框架圖.通過多次構建和完善知識框架圖，逐漸深化學生對數學整體性的感知，幫助學生從整體上掌握知識［5］.

3.3 會用“提問”小結

為保證復習的效率和效果，使學生真正掌握數學內容，教師應有意識使用或補充 “小結”中覆蓋本章全部內容的問題鏈，并通過循序漸進的提問，促使學生能夠主動回憶起知識，從而在潛移默化中滲透數學整體性思想的同時使學生能夠真正內化所學的知識.最后，在結合教材“小結”設計或使用問題串時，教師需注意以下幾點：（1）設計的問題要能夠體現出本章數學內容的整體性、邏輯性；（2）對于具有拓展聯系性的問題，要在學生的最近發展區內，不能一味為了整合而忽略學生的感知能力；（3）問題的提出要以知識的產生與發展順序為主線，不能太過跳脫.

3.4 設計“綜合與實踐”類整合性練習

秉承理論與實踐相結合的理念，在“小結”教學中，必須輔以適當的練習題進行檢驗.“綜合與實踐”類習題是將知識與操作相結合，并融合學科內部與學科之間以及現實生活為一體的整合性極強的一類習題，同時情境性與開放性也尤為突出，這對滲透數學的整體性思想和優化“小結”教學起到了很好的推動作用［6］.因此，教師應根據本章的中心內容，通過查找資料等途徑，[JP+1]設計出與本章數學知識、思想方法、數學技能等相匹配的“綜合與實踐”類習題.比如，以閱讀理解的形式變相檢驗學生的知識應用能力，設計“拓展應用”以建立起新知識與舊知識之間的聯系，等等.這樣不僅可以進一步夯實學生的基礎，還能夠使學生在實踐活動中真切地感受到數學的綜合性、整體性與趣味性.

4 總結

從落實核心素養角度出發，新教材中的“小結”強化了數學的整體性且主要表現在數學知識的呈現方式、內容的設置以及數學思想方法與思維三方面上.教師應及時更新教育理念，提高基于數學的整體性反復鉆研教材的意識與能力.通過教材“小結”的整體性分析與教學，提高學生整合和內化知識的能力，深化學生對數學整體性的理解，同時適當結合 “綜合與實踐”類整合性練習題，及時檢驗學生的知識掌握情況和聯系整合能力，將學生的核心素養發展落到實處.

參考文獻：

[1]章建躍.數學學科核心素養導向的“單元—課時”教學設計[J].中學數學教學參考，2020（13）：5-12.

[2]張爽.高中數學教材“小結”欄目的教學研究——以人教A版教材為例[D].福州：福建師范大學，2018.

[3]章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（16）：6-10.

[4]楊小玉，陳捷.高中數學新教材“小結”的調查與分析[J].數學通報，2010，49（6）：31-35.

[5]郭君.高中數學復習課教學中培養學生整體性學習策略的探究與實踐[D].濟南：山東師范大學，2018.

[6]陳美娟.高中師生對數學教材小結的認識與分析[D].長沙：湖南師范大學，2016.