情境巧創設，概念妙凸現

1 教學分析

1.1 教材地位

“直線的傾斜角與斜率”是《普通高中教科書＼5數學＼5選擇性必修第一冊》（人教A版）第二章“直線和圓的方程”中“2.1直線的傾斜角與斜率”的第一小節內容，是平面解析幾何的開篇之作，也是后續內容學習的基礎.

1.2 學情分析

由于學生首次接觸解析幾何內容，對其研究方法感到很陌生，因此采用啟發、引導、發現探究式教學法.設置小梯度，大密度的問題串，通過引導，啟發學生逐一解決，循序漸進，使學生很自然、很容易達到本節課的學習目標，掌握平面解析幾何的學習方法.通過幾何畫板軟件的動態演示，激發學生對數學的學習興趣和求知欲.

1.3 學習目標

（1）初步了解解析幾何的產生及其意義，認識坐標法思想.

（2）體驗直線的傾斜角和斜率所對應概念的抽象與形成過程，理解相應的概念.

（3）通過對直線斜率公式的推導，掌握直線的斜率公式，并會簡單應用.

2 教學過程

2.1 情境引入，設問啟思

問題1 我們學習過了函數圖象，知道函數圖象是函數的一種表示形式.若從集合的視角來看，函數的圖象是由什么作為基本元素構成的集合呢？（可以選擇性地結合實例中的函數圖象加以分析，這里略.）

問題2 在平面直角坐標系xOy中，是如何表示點的？

師生活動：教師結合實例中的函數圖象進行分析，并提問.學生回答，教師總結完善.

設計意圖：通過回顧直角坐標系中最熟悉的內容——函數圖象，引導學生理解坐標系中的圖形都可以看成是點的集合.同時回顧如何在直角坐標系中確定一個點，向學生講解直角坐標系的一個重要作用——它是一種定位工具.

問題3 在初中，我們是如何確定一條直線的？

問題4 初中我們學習過兩點可以確定一條直線，那么這兩個點的坐標能否反映直線的幾何特征？用這兩個點能否表示這條直線呢？

教師舉例：已知直線經過A（1，2），B（-3，5），那么我們能知道該直線的什么特征？

設計意圖：通過回顧兩點確定一條直線，引導學生了解由兩點坐標不能發現直線的幾何特征，因此要刻畫直線就需要找到確定直線的幾何要素.

2.2 推陳出新，構建新知

問題5 我們一起從一個點出發，研究確定直線的幾何特征.如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點P.那么：

（1）直線l的位置能確定嗎？

（2）過點P的直線有多少條？

（3）問題（2）中所指的直線有什么區別？

（4）如果已知直線l經過點P，那么再加上什么樣的幾何條件，就能確定一條直線？

預設答案：（1）不能；（2）無數條；（3）傾斜角不同；（4）另一個點或直線的方向.

設計意圖：通過幾何畫板的演示，幫助學生了解經過同一點的直線可以用直線的方向來區分，借此可引入直線的方向作為直線的幾何要素.

教師展示：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸的正向與l向上方向之間的夾角α叫做直線的傾斜角.

設計意圖：通過歐式幾何用角度刻畫兩條直線的位置關系，引入角度來刻畫直線的方向，從而得到了直線傾斜角的定義.同時類比任意角的定義，引導學生體會數學教材對傾斜角定義的簡潔性與統一性.

教師強調傾斜角的范圍.一條直線的傾斜角α的取值范圍是0≤αlt;π.規定：與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.

設計意圖：引導學生在自主探索中進一步體會直線傾斜角的定義.在教學中，讓學生結合直角坐標系探究特殊直線的傾斜角，強化學生對傾斜角范圍的認識.

問題6 任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其對應的傾斜角一定不相同嗎？

預設答案：都有；可以相同，可以不同.

設計意圖：進一步強化概念與應用.由直線的傾斜角定義可知，任何一條直線都有對應的傾斜角；不同的直線其對應的傾斜角有可能相同，如相互平行的直線，其對應的傾斜角就是相同的.

2.3 構建模型，深化概念

問題7 我們知道，兩點可以確定一條直線，那么這兩個點的坐標與該直線的傾斜角之間存在怎樣的關系呢？

教師活動：利用幾何畫板，畫出兩個點，并作出過兩點的直線，以及對應直線的傾斜角.（對兩點位置的多種情況加以數形直觀.）

設計意圖：通過數形直觀以及對應的問題，逐步引導學生用直線上兩點的坐標刻畫直線的傾斜角.整個探究過程從具體到抽象，從特殊到一般，教師結合向量方法，引導學生得出直線的斜率公式，以此培養學生的嚴密邏輯性與分類討論能力.

師生活動：學生在觀察與分析中能發現斜率公式對垂直于x軸的直線不適用，其他都適用；并能在討論交談中認識到該公式是通過點的坐標刻畫傾斜角，也就是直線的方向.這正是我們最希望得到的一個量——用點的坐標表示直線的方向，從而引出斜率的定義.

（2）請說一說，如何計算斜坡的坡度？

（3）斜坡的坡度與直線斜率的定義有什么聯系和區別？

設計意圖：與坡度的計算方法相比較，讓學生理解這兩種方法的差異，體會數學自身邏輯表達的完備性，感受數學內部的力量.

問題9 通過以上學習，你能發現一條直線的傾斜角α與其斜率k之間存在哪種關系嗎？請填寫表1.（表1中的第2和第3列留給學生自己填.）

設計意圖：正確區分直線的傾斜角與斜率之間的聯系與區別，進一步準確理解與掌握對應的概念，并為進一步的應用奠定基礎.

2.4 新知應用，鞏固內化

例1 判斷下列說法是否正確：

①平面直角坐標系內的任意一條直線都有對應的斜率；

②一條直線的傾斜角越大，其對應的斜率也越大；

③若k是直線的斜率，那么k∈R；

④若一條直線的斜率存在，則一定有唯一確定的傾斜角與之對應；

⑤若一條直線的傾斜角存在，那么一定有唯一確定的斜率與之對應.

設計意圖：辨析直線傾斜角與斜率的關系，加強對“直線的傾斜角為90°時，該直線的斜率不存在”的理解.

例2 （課本第54頁例1）已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB，AC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.

師生活動：由學生自己完成.請一位學生板書解答過程，然后教師點評.

設計意圖：學生通過兩點坐標計算直線的斜率，以及由斜率的大小判斷傾斜角的范圍，進一步強化對公式的記憶，加深對傾斜角與斜率關系的理解.

例3 己知點A（0，-1），B（-1，0），C（1，0），過點A的直線與線段BC相交，求直線傾斜角α與斜率k的取值范圍.

師生活動：教師利用幾何畫板引導學生思考，并加以合理完善與求解.

設計意圖：在例題教學中滲透數形結合的數學方法，讓學生體會“數”與“形”的完美結合.

2.5 課堂小結，框架構建

問題10 通過本節“直線的傾斜角與斜率”的學習，你學到了哪些基本知識？嘗試加以回憶與敘述.

問題11 通過本小節“傾斜角與斜率”的學習，你主要學到了哪些基本的數學思想方法？

預設答案：分類討論思想以及數形結合思想等.

師生活動：教師提出問題，先由學生梳理，其他同學補充，師生再一起整理出本節課研究問題的基本流程框架.教師再結合研究思路，總結本節課蘊含的主要思想方法.

設計意圖：通過對本節課所學知識，特別是研究過程的梳理，培養學生反思與整理的意識和習慣，讓學生了解解析幾何的起源與坐標法思想，對傾斜角、斜率兩個概念的發現、探究的過程與方法有清晰的認識.

問題12 如何構建本節課的知識網絡或思維導圖？

預設答案如圖2所示：

設計意圖：總結本節課重點內容，深化數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養，讓學生從數學思想方法層面體會本節課的學習內容及簡單應用.

3 教學反思

3.1 設計理念，落實素養

新課程評價關注學生的全面發展以及數學核心素養的落實，不僅僅關注學生的知識和技能的獲得情況，更關注學生學習的過程、思想方法的滲透以及相應的育人價值.所以本節課教學設計的定位是：從兩點確定一條直線入手，明晰直線的幾何要素，然后引入傾斜角以及斜率，最終回歸到圖形，從而實現了解析幾何中數形結合以及坐標法的滲透.

3.2 合理優化，細節完善

本節課不足之處在于教師提問較多，學生思考需要時間，很容易導致課程內容完成不了.另外，從學生學習角度來看，本節課內容比較多且瑣碎，如果教師講解不夠深入，不能夠給學生充分的思考時間，或者是沒有利用課堂小結對探究直線傾斜角、斜率的方法及時總結的話，學生很容易出現知識碎片化，不能把知識串聯起來.