關注過程 提升素養

摘要：在數學教學中，教師除了知識的講授，還應引導學生關注知識的形成過程，讓學生通過經歷知識的演進過程來感悟數學背后的人文價值，激發學習數學的熱情.本文中以“函數的概念”教學為例，通過融入數學史引領學生親歷函數概念的演進過程，有效地培養學生的學習自信心，提高數學教學有效性.

關鍵詞：過程；數學史；教學有效性

眾所周知，函數是初中數學教學的重點內容之一.學生對函數概念的理解影響著后期函數相關內容的學習，因此，教師應重視函數概念的教學.從內容上看，函數所研究的是兩個變量之間的依賴關系，是由常量到變量認識上的一次質的飛躍.在具體教學中，大多教師以教材為依托，借助具體例子讓學生理解兩個變量間的依賴關系，然后直接引出概念讓學生記憶.從教學過程來看，直接讓學生面對一些變化過程似乎超出了他們的最近發展區，因此學生在概念的理解上難免會遇到障礙，繼而影響后續的應用.那么，在實際教學中，如何以生為本，讓學生真正理解概念呢？筆者認為，在數學教學中，教師應以學生的認知為出發點，適當地融入數學史，讓學生經歷知識形成和發展的過程，以此讓學生深刻地理解知識，形成正確的數學觀.現將“函數的概念”教學過程整理成文，以期拋磚引玉.

1 新課引入

教師以學生已有知識為起點，借助具體實例讓學生回憶“字母表示數”.具體問題如下：

（1）比x的3倍大1的數；

（2）x平方的倒數減2；

（3）8減x的13的差；

（4）媽媽的年齡是小紅年齡的3倍大2歲，設小紅的年齡為x歲，則媽媽的年齡是多少？

以上問題比較簡單，學生可以輕松地給出答案.接下來，教師讓學生觀察以上關系式的特征，由此得到以上代數式為“含有x的代數式”.最后，教師引入歷史材料，讓學生了解函數名稱，從而引出本節課的學習內容.

師：數學家李善蘭將含有x的代數式稱為函數，那么上面給出的4個代數式可以稱為什么呢？

生齊聲答：函數.

設計意圖：教師以學生的已有認知為出發點，運用歷史材料對函數名稱的來歷進行講解，以此豐富學生的認知.另外，學生經歷以上過程可能會形成這樣的疑問——直接叫代數式不就可以了嗎？為什么要起個新名字呢？函數與代數式有何不同嗎？由此為深入探究埋下伏筆.

2 概念生成

為了讓學生體驗一個變量隨著另一個變量而變化的關系，教師引導學生為x賦值，通過經歷過程獲得感悟，為概念生成作鋪墊.具體過程如下：

師：問題（4）的代數式為3x+2，小紅的年齡x可以取何值？

生1：小紅的年齡x應該是整數.

師：很好，也就是說x允許的范圍是整數.

師：為了便于表達，小紅媽媽的年齡用字母y來代替，即y=3x+2，請給x賦以不同的值，看看y有何變化？（學生積極參與.）

生2：媽媽的年齡y隨著小紅年齡x的變化而變化，如果小紅的年齡x確定了，那么小紅媽媽的年齡y也就確定了.

師：說得很好！這里我們就稱y是x的函數.

設計意圖：從具體實例出發，引導學生通過賦值體驗變量間的依賴關系，由此給出函數的“依賴關系”定義.

3 概念辨析

師：以下關系式中，變量y是否為x的函數呢？（教師PPT給出關系式.）

①y=x2； ②y=2x； ③y2=x.

問題給出后，教師預留時間讓學生思考與交流，以此深化概念理解.問題①研究片斷如下.

師：誰來說一說問題①？

生3：y不是x的函數.

師：說說你的理由.

生3：當x=1時，y=1；當x=-1時，y=1，可見當x由1變成-1時，y沒有發生變化.

可見，根據函數依賴關系的定義并不能解決學生的困惑，該定義存在一定的局限性.

師：其實德國數學家狄利克雷也遇到過同樣的困惑，認為歐拉給出的“依賴關系”定義存在一定的局限性，于是進行了進一步修正.如果你是狄利克雷，你會如何修正呢？

問題給出后，學生一時不知如何入手.基于此，教師以歷史材料為依托，在原有基礎上作出修正，引出“對應關系”的定義，并引導學生根據新定義進行辨析，從而確定y=x2是一個函數.

設計意圖：創設認知沖突，讓學生知曉數學知識存在一定的局限性，需要在應用中不斷修正與完善，由此啟發學生用發展的眼光看待數學學習，培養學生創新意識.

接下來，為了讓學生進一步體驗這種對應關系，突破代數式的局限，教師給出圖象和表格讓學生辨析.問題如下：

問題1 如圖1中的心電圖，橫坐標x表示時間，縱坐標y表示生物電流.那么，y是x的函數嗎？

生4：我感覺不是，看不出規律，沒有規律也就無法用代數式來表達，所以不是函數.

師：是嗎？我們結合函數的定義思考一下，是不是沒有代數式就一定不是函數呢？

生5：結合圖象及函數的定義可知，此時y隨x的變化而變化，且對于每一個確定的x，都有唯一確定的y值與之對應，所以它們之間存在著確定的對應關系，因此y是x的函數.

師：很好！由此我們知道了什么？

生6：除了代數式，圖象也能表示兩個變量之間的函數關系.

問題2 表1是我國人口統計表，年份記作變量x，人口數記作變量y，那么y是x的函數嗎？

問題2給出后，學生根據前面的經驗很快得出人口數隨著年份的變化而變化，確定它們之間存在對應關系，所以y是x的函數.

設計意圖：通過問題1和問題2幫助學生突破代數式的局限，引導學生總結函數的三種表示方法，即代數式、圖象和表格，以此完善學生的認知，深化對概念的理解.

4 練習鞏固

練習1 判斷以下兩個變量是否存在依賴關系，哪個變量是另一個變量的函數？

（1）學生成績與學生的體重；

（2）正常嬰兒的體重與出生月數；

（3）汽車加油的費用與加油量；

（4）汽車速度與駕駛員的身高.

練習2 判斷以下問題中兩個變量之間是否存在確定的對應關系，如果存在，請寫出它的函數解析式.

（1）圓的面積S與圓的半徑r；

（2）等腰三角形的頂角y與底角x；

（3）已知筆的單價為5元，購買n支筆的價格與總價S.

從練習的反饋來看，學生可以結合已有知識輕松地判斷兩個變量間是否存在依賴關系，不過在判斷哪一個變量是另一個變量的函數時遇到障礙.在教師的啟發下，學生發現對于同一個變化過程，兩個變量可以分別作為自變量，如對于練習1中的問題（3），若描述成加油量隨著加油費用的變化而變化，此時加油量是加油費用的函數；反之，若將其描述成加油費用隨著加油量的變化而變化，此時加油量是加油費用的函數.

設計意圖：根據練習反饋發現學生在概念理解上存在的問題，以便通過針對性的啟發，引導學生全面、系統地理解概念，掌握概念的本質，提高學生解決問題的能力.

5 課堂小結

課堂小結環節教師將主動權交給學生，讓學生通過小結進一步理解函數概念.當然，在此過程中，教師也要進行一定的啟發，讓學生通過回顧函數概念的發展過程，感悟數學的博大精深，體會數學知識的形成需要經歷一個長期的過程，幫助學生樹立正確的學習觀和價值觀.