例析二次函數與幾何綜合題的最值問題

摘要：二次函數與幾何綜合題中的最值問題難度較大，需要對這類題型進行歸納.此類題能較好地考查學生的綜合能力，解決這類題型最好方法是厘清題意，借助相關的概念、性質與思想，對線段最值問題、周長最值問題及圖形面積最值問題進行分析，最終解決問題.

關鍵字：二次函數；幾何綜合題；最值

二次函數的最值問題，主要涉及線段長度、圖形周長及圖形面積等最值問題.線段長度最值及圖形周長最值問題主要是要尋找何時線段最短，通常是找出線段一個端點關于直線的對稱點，將對稱點與線段的另一個端點連接，然后利用“兩點之間，線段最短”來求值；圖形面積最值問題通常要先根據題意列出圖形面積的函數表達式，再利用函數知識求出最值；然后根據最值求出相應點的坐標.下面是筆者總結出來的有關求解二次函數與幾何綜合題中最值問題的兩種方法.

1 二次函數中線段最短及周長最小問題

二次函數的綜合題中經常出現線段和的最小值、圖形周長的最小值、以及線段差的最大值問題， 解決這類題型所用的基本事實就是“兩點之間，線段最短”.該類題型通常是已知一條直線和直線同旁的兩個點，要在直線上尋找一點，使得直線同旁的兩個點與該直線上的點之間連線段之和最小或者之差最大.解決該類問題的方法往往是通過作其中一個點關于直線的對稱點來解決.

1.1 二次函數中線段最短問題

例1 如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（1-6，0）， B（1+6，0），直線y=x-1與拋物線交于C，D兩點．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PA+PC最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

分析：要在對稱軸上找點P，使得PA+PC最小，則要作出點A關于對稱軸的對稱點，而點A和點B剛好關于對稱軸對稱，因此只需連接BC交對稱軸于點P即可.

解：（1）設拋物線表達式為y=a（x-x1）（x-x2），

則y=-（x-1-6）（x-1+6）=-x2+2x+5.

（2）存在，理由如下：

由（1）易知，拋物線的對稱軸為直線x=1，點A關于對稱軸的對稱點即為點B，連接CB交對稱軸直線x=1于點P，則點P即為所求.

連接PA，因為PA=PB，所以PA+PC=PB+PC≥BC，當P，B，C三點共線時，PA+PC最小，且最小值為線段BC的長度.

聯立y=-x2+2x+5和y=x-1求得點C的坐標為（-2，-3）.

設直線BC的表達式為y=kx+b，

把B（1+6，0），C（-2，-3）代入y=kx+b求得直線BC的表達式為

y=（3-6）（x-1-6）.

當x=1時，y=（3-6）（x-1-6）=6-36.

故點P的坐標為（1，6-36）.

解決此類問題的關鍵是通過軸對稱在二次函數對稱軸上找一個點，利用“兩點之間，線段最短”確定何時取得最值，然后聯立直線與對稱軸所在直線的方程，求出交點坐標即可.

1.2 二次函數中圖形周長的最值問題

例2 如圖2，已知拋物線y=-x2-4x+5與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．直線l與拋物線交于B，D兩點，且點D的坐標為（-4，5）．直線m是拋物線的對稱軸，與直線l交于點M．

（1）求A，C兩點的坐標及直線l的表達式；

（2）點E，F是直線m上的兩個動點（點F在點E下方），且EF=2，連接AD，DE，AF．求四邊形ADEF周長的最小值.

分析：求四邊形ADEF的周長時，可以看出線段AD和線段EF的長度是固定值，因此只需求出AF+DE的最小值即可.由圖可知，點D與點C關于拋物線的對稱軸m對稱，所以DE=EC，而對稱軸與y軸是平行的，因此只需要構造一個平行四邊形EFQC即可.由圖可得AQ與對稱軸m有一個交點，當點F移動到這個交點時，AF+DE=AF+EC=AF+FQ=AQ即為最小值.

解：（1）由題意求出A（-5，0），C（0，5），直線l的表達式為y=-x+1.

（2）拋物線y=-x2-4x+5的對稱軸為直線m=-2，連接CE，過點F作FQ∥CE交y軸于點Q，連接AQ.

因為點C的坐標為（0，5），點D的坐標為（-4，5），所以點C，D關于直線m對稱，則CE=DE.

因為EF∥CQ，CE∥FQ，

所以四邊形CEFQ是平行四邊形．

于是FQ=CE，CQ=EF=2，

則AF+DE=AF+FQ．

當點F運動到AQ與直線m的交點時，AF+DE最小，且最小值為線段AQ的長．

在Rt△AOQ中，AO=5，OQ=CO-CQ=3，

由勾股定理得AQ=AO2+OQ2=52+32=34.

因為A（-5，0），D（-4，5），

所以AD=26.

故四邊形ADEF周長的最小值為26+34+2.

此類二次函數的最值問題，一般都有共同的特征，即有兩條邊是變化的，其余邊長是固定值；因此，要通過作對稱點在直線上尋找一個交點，從而把變化的兩條邊轉換在一條線段上，利用“兩點之間，線段最短”確定周長最小的動點位置.

2 二次函數中圖形面積的最值問題

解決二次函數中圖形面積的最值問題，關鍵是求幾何圖形的面積，通常是將幾何圖形的面積轉化為三角形面積的和或差，而三角形面積的求法常有以下幾種方法.

法1：當三角形有一條邊在坐標軸上時，通常以坐標軸所在的邊為底，過頂點作底邊的垂線，而頂點的橫坐標或者縱坐標的絕對值就是此三角形的高.如圖4，AB在x軸上，過點C作三角形的高線CD，即可表示出三角形面積的函數表達式.

法2：當三角形沒有邊在坐標軸上時，則作輔助線將三角形的面積轉化為其他三角形面積的和或差進行求解.通常作平行于坐標軸的直線，轉化為兩個同底的三角形.此時三角形的面積等于兩個同底的三角形的面積和或差.

如圖5，過點B作BE平行于y軸交AC于點E，過點C作CG平行于x軸交BE的延長線于點G，過點A作AD平行于x軸交BE于點D.則得到以BE為底的兩個三角形△BEC和△BEA，線段CG是△BEC的高，線段AD是△BEA的高，

則S△ABC=S△BEA+S△BEC=12·BE·AD+12·BE·CG=12·BE·（xC-xA）.

例3 如圖6，拋物線y=ax2+53x+c的圖象經過點C（0，2）和點D（4，-2），

E是直線y=-13x+2與拋物線圖象在第一象限內的交點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若M是拋物線圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME.求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標.

分析：四邊形COEM的面積等于△CEM和△CEO的面積之和.△CEO的一條邊在坐標軸上，而△CEM的所有邊都不在坐標軸上，根據法1和法2即可列出四邊形COEM面積的函數表達式.

解：（1）根據題意，把C（0，2），D（4，-2）代入y=ax2+53x+c中，

解得a=-23，c=2，

故y=-23x2+53x+2.

（2）如圖7，過點M作y軸的平行線交CE于點H，設Mm，-23m2+53m+2，則Hm，-13m+2.

所以MH=-23m2+53m+2--13m+2

=-23m2+2m.

聯立y=-23x2+53x+2和y=-13x+2，

得點E的坐標為（3，1），點C的坐標為（0，2）.

所以S四邊形COEM=S△CEO+S△CME=12×2×3+12MH×3=-m2+3m+3=-m-322+214.

故當m=32時，S四邊形COEM有最大值214，此時點M的坐標為32，3.

解決此類二次函數與幾何圖形面積的最值問題，關鍵是將幾何圖形的面積轉化為三角形面積的和或差，求出其表達式，然后利用三角形的邊在坐標軸上及邊不在坐標軸上的方法進行求解.當邊在坐標軸上時，以坐標軸上的邊為底，此時三角形的高就是另一個頂點坐標的橫坐標或縱坐標的絕對值；當三角形的邊不在坐標軸上時，過一個頂點作平行于x軸或y軸的直線，此時的三角形被分成兩個同底的三角形，高為另外兩個頂點的橫（縱）坐標的絕對值之和或者絕對值之差，然后只需根據坐標特征表示出底，就可以列出幾何圖形面積的函數表達式，進而利用函數求出最大值即可.

3 總結

求線段和、差、圖形周長的最值問題，通常通過作對稱點來解決；求圖形面積的最值問題，將幾何圖形的面積轉化為三角形面積的和或差后，針對三角形是否有邊在坐標軸上進行相應處理.