淺談概率論與數理統計的簡單應用

摘要：概率論的發展歷史悠久，理論高深而清晰，應用廣泛.概率論的發展也為數理統計及其他數學學科的發展和解決有關問題提供了行之有效地方法.本文通過簡述概率論與數理統計的主要特點，概率論與數理統計的思想方法在解決數學問題，著重研究后者.如在代數及數學分析中的一些問題的應用，在金融領域、日常生活及科研等方面所起的作用.從中可以看出概率論與數理統計的思想方法在解決問題中的高效性、簡捷性和實用性.

關鍵詞：概率論 "數理統計 "概率統計思想 "應用

一、概率論與數理統計的主要特點

概率論是用隨機變量及其所伴隨的概率分布描述隨機現象的統計規律，通常認為概率分布及有關的參數是已知的.而大多數情況下，隨機變量所服從的概率可能未知，或者已知概型卻不知道分布函數的參數.數理統計是以概率論為理論基礎，從統計資料中指出解決上述問題，在所考慮的對象的全體中，隨機抽取一部分進行觀察，從觀察所得的資料、數據，對研究對象的某些指標做出某種合理估計和推斷.這是概率論和理統計研究對象的區別，也決定了兩者之間的思維方式也不同[[1]].

二、概率論與數理統計的應用

概率論與數理統計的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業生產和國民經濟的各個部門中.

（一）概率論與數理統計在數學中的應用

1.概率論與數理統計在不等式證明中的應用

不論在初等數學還是在高等數學中，不等式的證明始終是難點，其證明方法往往技巧性很強，若能根據欲證不等式形式上的特點，采用恰當的概率的方法，問題就能迎刃而解了.

例1[[2]]： "已知0≤α≤[π2]，0≤β≤[π2] ，求證

sinαsinβ≤sinα+sinβ≤1+sinαsinβ.

分析：由題目可知涉及三角函數的知識，由0≤α≤[π2]，0≤β≤[π2]可知0≤sinα≤1，0≤sinβ≤1，再由概率的性質：事件A的概率即有非負性，規范性，可列可加性.所以我們可以把[sinα]，[sinβ]看作是兩個獨立事件A與B的概率，即本題的證明如下：

證明：由0≤α≤[π2]，0≤β≤[π2]，得0≤sinα≤1，0≤sinβ≤1，所以，可設 [sinα]，sinβ分別是兩個獨立事件A與B的概率，即P（A）= [sinα]，P（B）=sinβ.根據概率的加法公式和相互獨立性得

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）.

由于0≤P（A∪B）≤1，所以0≤sinα+sinβ≤1， 即

sinαsinβ≤sinα+sinβ≤1+sinαsinβ.

評析：不等式的證明也可以用初等數學的方法求證，也可以直接用數學分析中的方法來求證，但問題將會變得復雜難解決.而初等數學、數學分析作為概率論的基礎，且概率論是具有廣泛應用的數學分支，對一些較難解決的問題利用概率論的方法去解決卻很簡便，上面例子就是通過構造概率模型來解決的，這也顯示概率模型在不等式證明中的妙用.

2.概率論與數理統計在恒等式中的應用

例2[[3]]： "證明：[t=0kCtmCk-tn-m=Ckn].

本題是一個排列組合等式的證明，與古典概率有著密切地聯系，觀察等式的特點，可建立如下模型加以解決.

證明： 設一盒中裝有n個球，其中有m個黑球，n-m個白球，現從中隨機抽取k個球，令“At”表示“取出的k個球中黑球的個數”，令“[As]”表示“取出的k個球中白球的個數”， 則有：

P（At=t）=[CtmCk-tn-mCkn] "其中t=0，1，2，…，k

又事件“At=t”與事件“As=s”是互不相容事件（s≠t），從而有

P（[Ukt=0At=t]）=[t=0kPAt=t=1]

所以 [t=0kCtmCk-tn-mCkn=1]

即 [t=0kCtmCk-tn-m=Ckn]

評析：證明組合恒等式的方法多種多樣，其中不乏代數方法，三角方法、幾何方法等等，但是對某些問題，如果建立恰當的概率模型，如以上例2，就可以用概率方法巧妙地將其解決，從中可以看出概率方法的實用性.

3.概率論與數理統計在極限中的應用

例3[4]： "求證

[Limn-gt;∞][K=0+∞nkk！e-n=12].

解： "設ξ1，…，ξn，…獨立同分布，且都服從參數為λ=1的泊松分布，則ηn=[i=0nξn]服從參數為λ=n的泊松分布，則P（ηn=k）=[nkk！e-n]，k=0，1，2，…

又因為E（ξ）=D（ξ）=1，i=1，2，…所以由獨立同分布中心極限定理可得

[Limn-gt;∞][K=0+∞nkk！e-n=][Limn-gt;∞]P（ηn≤n）=[Limn-gt;∞]P（[ηn-nn]≤[n-nn]）=φ（0）=[12]

評析：此題若是用數學分析中的數列極限問題的方法來證明和計算就顯得比較繁瑣，如上構造某隨機變量的概率分布模型，用概率論的方法來解決，問題就變得簡捷了許多，同時在類似復雜的求證極限問題我們同樣也可以構造相應的概率分布模型來解決，可達到事半功倍的效果.

從以上所舉的例子，反映了概率論與數理統計與數學各分支學科之間的相互交叉和滲透，利用概率統計思想方法，建立適當的概率模型來解決一些表面上看來不屬于概率統計范疇內的問題.

（二）概率論與數理統計在生活中的應用

現實生活中如運用古典概率公式解決“鞋子配對問題”“生日巧合問題”“賭博問題”;運用統計估計與假設檢驗解決“先嘗后買產品促銷問題”、“吸煙與患癌癥的相關性”;用中心極限定理解決“保險公司盈利與虧損的問題”等等.這些都能使我們感覺到概率統計與身邊的許多事情都有一定的聯系，下面可以用幾個實例加以說明.

1.概率統計思想在配對問題中的應用

例4： "從8雙不同的鞋子中任取6只，求取得的6只鞋中至少有2只配成一雙的概率？

解： "設A={取得的6只鞋中至少有2只配成一雙}，[A-] ={取得的6只鞋中沒有配成雙的}. 且有

[P（A-）=C68（C12）6C616=32143]

[P（A）=1-P（A-）=1-32143=111143]

評析：配對問題的應用很多，還可以應用于信和地址的配對，學生入座位置的配對等等.以上的問題我們還可以推廣為更一般化，即“若從n只鞋子中任取2r只（0lt;2rlt;n），求2r只中至少有2只鞋子配成一對的概率？”求法類似上述的求解，即在n雙鞋中任取2r只得總方法數為[C2r2n]而其中2r只均無配對的方法數為[C2rn（C12）2r=4rC2rn]（這表明先從n雙中任取2r雙，再從每雙中任取一只）故所求概率為[P=1-4rC2rnC2r2n].

2.概率統計思想在檢驗問題中的應用

例5：[1]要求一種元件平均使用壽命不得低于800小時，生產者從一批這種元件中隨機抽取16件，測得其壽命的平均值為750小時，已知該種元件壽命服從標準差為[σ=100]小時的正態分布，試在顯著性水平[α=0.05]下判斷這批元件是否合格？設總體均值為[μ]，[μ]未知.即需要檢驗假設[H0]：[μ≥800]，[H1]：[μlt;800].

解： "依題意得檢驗假設

[H0]：[μ≥800].（即假設這批元件合格）

[H1]：[μlt;800].（即假設這批元件不合格）

這是左邊檢驗問題，其拒絕域為[z=x--μ0σn≤-z0.05=-1.645]

又因為[z=750-80010016=-2lt;-1.645].z的值落在拒絕域中，所以我們在顯著性水平[α=0.05]下拒絕[H0]，即這批元件是合格的.

評析：假設檢驗是統計推斷的另一個重要問題，從以上兩個例子我們可以知道在工業生產中我們可以用抽樣的方法檢驗一批產品中抽到次品的概率，從而可以確定產品是否合格.商品檢驗中，對不同商品考慮不同，其策略也不同，如降落傘和救生圈等救生用品，出廠時作質量檢驗，應根據數理統計中的假設檢驗理論，保證出廠的產品幾乎是個個合格.

3.概率統計思想在金融風險中的應用

例6：[1]設某公司擁有三支獲利是獨立的股票，且三種股票獲利的概率分別為0.7、0.6、0.4，

求（1） 任兩種股票至少有一種獲利的概率；

（2）三種股票至少有一種股票獲利的概率.

解： 設A、B、C分別表示三種股票獲利，依題意 A、B、C相互獨立.P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（C）=0.4，則由乘法公式與加法公式：

（1）任兩種股票至少有一種獲利等價于三種股票至少有兩種獲利的概率.

P1=P（AB+AC+BC）=P（AB）+P（AC）+P（BC）-2P（ABC）=P（A）P（B）+P（A）P（C）+P（B）P（C）-2P（A）P（B）P（C） [=0.7×0.6+0.7×0.4+0.6×0.4-2×0.7×0.6×0.4=0.604]

（2）三種股票至少有一種股票獲利的概率.

P2=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） [=0.7+0.6+0.4-0.7×0.6-0.7×0.4-0.6×0.4+0.7×0.6×0.4=0.928]

評析：從以上的計算結果表明： 投資于多只股票獲利的概率大于投資于單只股票獲利的概率這就是投資決策中分散風險的一種策略. 投資者只要稍微注意運用概率的思想來分析對于某希望投資的就可以減少一定的風險，從而也表明了概率與我們的生活息息相關.

4.概率統計思想在工業生產中的應用

例7：某廠每天的產品分4批包裝，規定每批產品的次品率都低于0.01才能出廠，假定產品符合出廠要求，若某日用上述方法抽查到了次品，問該日產品能否出廠？

解：把從4批產品中各抽1件看作4次獨立試驗，于是可把問題歸結為伯努利概型。若產品符合要求，則次品率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99

抽4件產品恰有0件次品的概率為[P4（0）=C04（0.01）0（0.99）4-0=0.96051901].

若產品符合要求，從4批產品中各抽1件，至少抽到1件次品的概率小于[k=14P4（k）=1-P4（0）=1-q4=1-（0.99）4≈0.04]

這是一個概率很小的事件，在概率論中將概率很小（小于0.05）的事件叫做小概率事件.小概率事件原理是[[7]]：如果一個事件發生的概率很小，那么，在一次試驗中，可以把它看成是不可能事件.由這一原理可知，如果在一次試驗中某個小概率事件發生了，那么就可認為這是一種反常現象.本例中從4批產品中各抽1件至少抽到1件次品的概率小于0.04，這是小概率事件.抽到次品的事竟然發生了，這說明該日產品次品率不止0.01，故可判斷該日產品不能出廠.

參考文獻：

[1]韋程東，唐君蘭，陳志強.在概率論與數理統計教學中融入數學建模思想的探索與實踐[J].高教論壇，2008.4：98-100

[2]易艷春.例談概率論在其他數學問題中的應用[J].專題研究，2008.8：97-98

[3]崔永偉，杜聰慧.概率論與數理統計思想的應用[J]. 河南機電高等?？茖W校學報，2004.2：61-63

[4]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].高等教育出版社，1979

[5]王淑玲.概率論與數理統計在經濟生活中的應用[J].科技信息，2009年第21期：224

[6]王幼軍.拉普拉斯概率理論的歷史研究[M].上海交通大學出版社，2007