對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土柱N_u-M_u曲線特性及數(shù)值分析

摘要：為分析截面面積、配筋率、鋼筋強度、混凝土強度等參數(shù)對對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土（reinforced concrete，RC）柱的極限彎矩M_u與極限軸力N_u（N_u-M_u）曲線的影響，推導對稱配筋偏心受壓RC柱的M_u與N_u的函數(shù)關系式并繪制N_u-M_u曲線。采用軟件ANSYS對RC柱進行數(shù)值分析，分析柱底截面的最大極限彎矩與最大極限軸力數(shù)值分析結果與理論計算結果的相對差。研究表明：極限軸力隨截面面積、配筋率、鋼筋強度、混凝土強度的增大而增大，截面面積對其影響最大，混凝土強度、配筋率對其影響較小，鋼筋強度對其影響最小；最大極限軸力、最大極限彎矩的理論計算結果均大于數(shù)值分析結果；最大極限彎矩的理論計算結果與數(shù)值分析結果的相對差大于最大極限軸力，前者約為10%，后者約為5%。

關鍵詞：偏心受壓RC柱；對稱配筋；N_u-M_u曲線；參數(shù)分析；數(shù)值分析

中圖分類號：U448.35; U663.9⁺3; TU312文獻標志碼：A文章編號：1672-0032（2024）03-0091-08

引用格式：周清，國偉，齊麟.對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土柱N_u-M_u曲線特性及數(shù)值分析［J］.山東交通學院學報，2024，32（3）：91-98.

ZHOU Qing， GUO Wei， QI Lin. The characteristics of N_u-M_u curve and numerical analysis of eccentrically loaded RC columns with symmetric reinforcement［J］.Journal of Shandong Jiaotong University，2024，32（3）：91-98.

0 引言

橋墩是橋梁工程的主要受力構件，受到自重、上部荷載傳來的豎向作用力和由橋面水平力引起的彎矩作用，通常按偏心受壓構件設計結構^[1-3]。采用對稱配筋形式時，偏心受壓構件的極限軸力N_u與極限彎矩M_u存在一定的函數(shù)關系，根據(jù)函數(shù)關系可繪制N_u-M_u曲線，此曲線在橋梁工程的橋墩設計與加固改造中有重要的應用價值^[4-5]。

從對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土（reinforced concrete，RC）柱大、小偏心受壓構件的判定方法與承載力計算角度考慮，張波等^[6]推導HRB600級鋼筋的對稱配筋大、小偏心受壓柱的基本公式及偏心受壓類型的判別公式，并給出矩形截面偏心受壓構件的截面設計方法，討論配筋率、鋼筋強度等級對N_u-M_u曲線的影響；張海濤等^[7]針對鋼筋混凝土偏心受壓構件提出判定大、小偏心破壞的準則和標準化承載力的計算方法；高麗等^[8]通過算例、數(shù)值分析、圖解等方法分析判斷對稱配筋偏心受壓柱大、小偏心破壞形態(tài)的2種判斷方法；曾亮等^[9]研究對稱配置HRB500級高強鋼筋的偏心受壓構件大、小偏心受壓的判定條件及截面配筋的計算方法。已有研究中對稱配筋大、小受壓構件的判定方法及承載力計算公式均存在一定差異，大多數(shù)僅考慮單個參數(shù)對N_u-M_u曲線的影響^[10-11]。

本文根據(jù)鋼筋混凝土結構基本理論和大、小偏心受壓構件的判定方法，基于力與力矩平衡的條件，推導對稱配筋大、小偏心受壓構件的承載力計算公式，并繪制N_u-M_u曲線，討論鋼筋強度、混凝土強度、截面面積、配筋率等相關參數(shù)對N_u-M_u曲線的影響，根據(jù)各參數(shù)的影響程度排序，采用軟件ANSYS對偏心受壓構件進行數(shù)值分析并研究軸力和彎矩的數(shù)值分析結果與理論計算結果間的誤差，以期為同類結構設計提供理論依據(jù)。

1 對稱配筋偏心受壓RC柱M_u-N_u函數(shù)關系

1.1 對稱配筋大偏心受壓RC柱M_u-N_u的函數(shù)關系

作用在RC柱截面上的彎矩較大、軸力較小時，RC柱處于大偏心受壓狀態(tài)^[12-14]。受壓區(qū)域的混凝土達到設計強度f_c，受拉區(qū)域的鋼筋達到設計強度f_y。RC柱截面的有效受壓區(qū)高度x滿足

x≤ξ_bh₀，

式中：ξ_b為相對界限受壓區(qū)高度，h₀為截面的有效高度。

設混凝土極限壓應變?yōu)棣?sub>cu，混凝土界限受壓區(qū)高度為x_n，受壓鋼筋面積為A_s′，柱截面高度為h，受拉鋼筋面積為A_s，鋼筋合力點到柱受拉邊緣的距離為a_s，鋼筋彈性模量為E_s，鋼筋應變?yōu)棣?sub>s，受壓區(qū)鋼筋設計強度為f_y′，偏心距為e_i，混凝土強度折減系數(shù)為α，軸向壓力為N，未達到設計強度的受拉鋼筋應力為σ_s，柱截面寬度為b。對稱配筋偏心受壓RC柱應變及受力分析示意圖如圖1、2所示。

大偏心受壓RC柱截面破壞時，因鋼筋屈服呈受拉破壞特征。大偏心受壓RC柱同時滿足力與力矩（對下部受力鋼筋取力矩）平衡的2個基本方程^[15-19]，力平衡方程為：

N=αf_cbx+f_y′A_s′－f_yA_s，（1）

力矩平衡方程為：

N（e_i+h/2－a_s）=αf_cbx（h₀－x/2）+f_y′A_s′（h₀－a_s′）， （2）

式中a_s′為鋼筋合力點到RC柱受壓邊緣的距離。

偏心受壓構件滿足彎矩M＝Ne_i。

將對稱配筋滿足的條件A_s＝A_s′、 f_y＝f_y′代入式（1）（2）并消去未知數(shù)x，將N、M替換為極限軸力N_u、極限彎矩M_u，得到M_u-N_u的函數(shù)關系為：

M_u=N_ue_i=-0.5N_u²/（αf_cb）+0.5N_uh+f_y′A_s′（h₀-a_s′），（3）

對稱配筋的大偏心受壓RC柱的M_u為N_u的二次函數(shù)。

1.2 對稱配筋小偏心受壓RC柱M_u-N_u的函數(shù)關系

作用在RC柱截面上的軸力較大、彎矩較小時，RC柱處于小偏心受壓狀態(tài)^[20-22]。受壓區(qū)域的混凝土達到設計強度f_c，但受拉區(qū)域的鋼筋還未達到設計強度f_y，RC柱截面的有效受壓區(qū)高度x滿足x＞ξ_bh₀。小偏心受壓柱破壞時混凝土首先被壓碎，呈受壓破壞特征，如圖1a）所示。小偏心受壓RC柱同樣滿足力與力矩（對下部受力鋼筋取矩）平衡的2個基本方程，力平衡方程為：

N=αf_cbx+f_y′A_s′－σ_sA_s，（4）

式中：σ_s=f_y（ξ-β）/ （ξ_b-β） ^[15]，其中ξ為混凝土相對受壓區(qū)高度，滿足x＝ξh₀，β為混凝土強度系數(shù)，當混凝土強度不大于C50時，β=0.8。將σ_s代入式（4）得到

N=αf_cbξh₀+f_y′A_s′－f_yA_s（ξ-β）/ （ξ_b-β）。（5）

將式（5）進行數(shù)學變換，得到ξ與N的函數(shù)關系為：

ξ＝β－ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_sN＋f_y′A_s′ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s。（6）

由式（6）可知，ξ為N的一次函數(shù)，為簡化計算定義

λ₁＝β－ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s， λ₂＝f_y′A_s′ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s，

式（6）可簡化為

ξ＝λ₁N＋λ₂。（7）

對稱配筋滿足條件A_s＝A_s′、 f_y＝f_y′，將式（7）與x＝ξh₀代入式（2），最終得到對稱配筋小偏心受壓柱M_u-N_u的函數(shù)關系為：

M_u=-0.5αf_cbh₀²λ₁²N_u²+（αf_cbh₀²λ₁-αf_cbh₀²λ₁λ₂-0.5h+a_s） N_u+

αf_cbh₀²λ₂-0.5αf_cbh₀²λ₂²+f_y′A_s′（h₀-a_s′），（8）

可知，對稱配筋的小偏心受壓RC柱的M_u為N_u的二次函數(shù)。

2 對稱配筋偏心受壓RC柱N_u-M_u曲線與影響因素分析

由對稱配筋偏心受壓RC柱的M_u-N_u函數(shù)關系可知，已知材料強度與柱截面尺寸時，任意給定的N_u均存在唯一對應的M_u。令N_u連續(xù)取值直至M_u=0，可得到偏心受壓RC柱的M_u-N_u曲線。實際工程中應用對稱配筋偏心受壓RC柱的M_u-N_u曲線時，通常將自變量N_u與因變量M_u對換，形成偏心受壓RC柱的N_u-M_u曲線。由式（3）（8）可知，影響對稱配筋偏心受壓RC柱承載力的參數(shù)主要為f_y、 f_c、b、h與配筋率ρ。為研究各參數(shù)下偏心受壓RC柱的N_u-M_u曲線，定義1個標準柱作為參考基準，假設該標準柱截面面積為0.25 m²（截面為正方形，邊長為0.5 m），鋼筋等級為HRB400，混凝土等級為C30，單側配筋面積為15 cm²，ρ＝1.2%。N_u-M_u曲線理論計算所得最大極限彎矩為M_umax，最大極限軸力為N_umax。按理論公式計算得到標準柱的M_umax＝456 kN·m，N_umax＝4.6 MN。在標準柱的基礎上，通過變換參數(shù)可得到4組不同鋼筋強度、截面面積、配筋率、混凝土強度的對稱配筋偏心受壓RC柱N_u-M_u曲線，如圖3所示。

由圖3可知：1）M_u＝0時，取得最大軸力，N_u＝0時，未取得最大極限彎矩；ξ＝ξ_b，N_u＝αf_cξ_bh₀時取得最大極限彎矩。2）大偏心受壓，N_u隨M_u的增大而增大；小偏心受壓，N_u隨M_u的增大而減小。3）對任意N_u，均有唯一的M_u與其對應，部分M_u會出現(xiàn)大、小偏心2個對應的N_u。

由圖3可知不同參數(shù)下RC柱的最大極限彎矩M_umax和最大極限軸力N_umax，如表1～4所示。

圖3a）為3條RC柱N_u-M_u曲線，鋼筋強度不同，其他條件與標準柱相同。軸力隨鋼筋強度的減小而減小，HPB300、HRB335、HRB400的相對界限受壓區(qū)高度ξ_b分別為0.576、0.550、0.518，分別在N_u＝1.9、1.8、1.7 MN時取得3條曲線的最大極限彎矩。由表1可知：鋼筋強度分別為HRB300、HPB335時，最大極限彎矩分別比標準柱減小21.27%、8.55%，最大極限軸力分別比標準柱減小8.70%、4.35%。

圖3b）為不同截面面積的4條RC柱N_u-M_u曲線，除截面面積外，其他條件與標準柱完全相同。由表2可知：截面面積為0.16 m²時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱減小50.22%、39.13%；截面面積為0.36 m²時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大75.00 %、43.48%；截面面積為0.49 m²時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大180.48 %、95.65%。

圖3c）為5條RC柱N_u-M_u曲線，配筋率不同，其他條件與標準柱相同。由表3可知：ρ＝0.8%時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱減小17.10%、8.70%；ρ＝1.6%時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大16.89 %、13.64%；ρ＝2.0%時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大33.77 %、18.18%；ρ＝2.4%時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大50.88%、27.27%。

圖3d）為5條RC柱N_u-M_u曲線，混凝土強度等級不同，其他條件與標準柱相同。N_u＝0時各曲線M_u=232 kN·m，M_u隨N_u的增大而增大，直至ξ＝ξ_b時取得M_umax。由表4可知：混凝土強度等級為C25時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱減小8.55%、13.04%；混凝土強度等級為C35時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大8.11%、13.04%；混凝土強度等級為C40時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大16.45%、26.09%；混凝土強度等級為C45時，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標準柱增大23.46%、39.13%。

增大材料強度、截面面積、配筋率中的任一項，均可不同程度地提高偏心受壓柱的M_umax與N_umax，按對M_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強度、混凝土強度、配筋率、截面面積，按對N_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強度、配筋率、混凝土強度、截面面積。

3 對稱配筋偏心受壓RC柱的數(shù)值分析

3.1 數(shù)值分析模型

標準柱的受力簡圖如圖4所示，對應的數(shù)值分析模型及應變云圖如圖5所示。

標準柱柱底為固定端約束，設置柱頂為可豎向滑動的支座以傳遞軸向壓力N。水平均布荷載q產生固定端負彎矩M^-與跨中正彎矩M⁺，標準柱柱頂、柱底與柱中均處于偏心受壓狀態(tài)。標準柱底截面的彎矩與軸向壓力均大于柱中截面，柱底截面為控制截面。

采用軟件ANSYS進行數(shù)值模擬^[23-25]，對標準柱同時施加軸力N與均布荷載q，荷載形式為持續(xù)靜力荷載，持續(xù)100 ms。其中，C30混凝土采用SOILD單元，密度為2 500 kg/m³，彈性模量為30 GPa，泊松比為0.2，極限抗拉、抗壓強度分別為30、3 MPa。HRB400鋼筋采用BEAM單元，鋼筋密度為7 850 kg/m³，彈性模量為206 GPa，剪切模量為7 900 GPa，泊松比為0.3。鋼筋的設計抗拉強度、屈服抗拉強度分別為360、400 MPa。

3.2 理論計算結果與數(shù)值分析結果的對比分析

標準柱鋼筋應達到設計抗拉強度f_y＝360 MPa。相同情況下，標準柱的數(shù)值分析結果如圖6所示。

由圖6可知：持續(xù)靜力荷載作用下，受拉鋼筋的最大應力、柱底截面最大極限軸力和最大極限彎矩均在第4毫秒時出現(xiàn)并基本保持不變，數(shù)值分析的最大極限軸力N′_umax＝4 400 kN，與理論計算結果的相對差E₁=4.35%（E₁=100%×（N′_umax-N_umax）/N_umax）；數(shù)值分析的最大極限彎矩M′_umax＝408 kN·m，與理論計算結果的相對差E₂=10.53%（E₂=100%×（M′_umax-M_umax）/M_umax）；數(shù)值分析的受拉鋼筋應力為f_y′＝350 MPa，與理論計算結果的相對差E₃=2.78%（E₃=100%×（f_y′- f_y）/f_y）。標準柱的數(shù)值分析結果與理論計算結果相差不大。

不同鋼筋強度、混凝土強度、截面面積、配筋率下最大極限軸力、最大極限彎矩的理論計算結果與數(shù)值分析結果對比如表5～8所示。

由表5～8可知：1）理論計算的最大極限軸力、最大極限彎矩分別大于數(shù)值分析的最大極限軸力、最大極限彎矩，理論計算的最大極限彎矩與數(shù)值分析的E₂大于理論計算的最大極限軸力與數(shù)值分析的E₁；2）各參數(shù)對E₁影響較小，E₁≈5%；3）E₂隨鋼筋強度、配筋率的增大而增大，配筋率對E₂的影響最大。4）混凝土強度、截面面積對E₂的影響較小，混凝土強度、截面面積變化時E₂≈10%。

E₁、E₂產生的原因為：1）數(shù)值分析中網(wǎng)格尺寸、邊界條件、材料模型及參數(shù)選取等因素均會對計算結果產生一定影響，而理論計算中各參數(shù)均為理想狀態(tài)，數(shù)值分析結果小于理論計算結果；2）數(shù)值分析的柱頂軸力直接通過混凝土單元的節(jié)點傳遞至柱底截面，鋼筋單元對軸力產生的影響較小，E₁較小。與最大極限軸力不同，最大極限彎矩是由鋼筋與混凝土單元共同作用的結果，鋼筋與混凝土單元間的接觸等因素會對最大極限彎矩的數(shù)值分析結果產生一定誤差，E₂gt;E₁，E₂與鋼筋強度、配筋率間存在密切關系。鋼筋抗拉強度越大、配筋率越高，其與混凝土單元間的接觸越復雜，E₂越大。

4 結論

1）推導對稱配筋偏心受壓RC柱極限彎矩M_u與極限軸力N_u滿足的函數(shù)關系式，并根據(jù)函數(shù)關系式繪制N_u-M_u曲線。N_u-M_u曲線受配筋率、截面尺寸、材料強度等因素影響。按對M_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強度、混凝土強度、配筋率、截面面積；按對N_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強度、配筋率、混凝土強度、截面面積。

2）采用軟件ANSYS建立不同參數(shù)對稱配筋偏心受壓RC柱的數(shù)值分析模型，研究柱底截面的最大極限軸力、最大極限彎矩的理論計算結果與數(shù)值分析結果間的相對差。研究發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)均對最大極限軸力的相對差影響較小，隨各參數(shù)的改變，最大極限軸力的相對差約為5%。因鋼筋與混凝土單元間的相互作用，最大極限彎矩的相對差大于最大極限軸力。混凝土強度、截面面積對最大極限彎矩相對差的影響較小，鋼筋強度、配筋率影響較大，配筋率影響最大。

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The characteristics of N_u-M_u curve and numerical analysis of

eccentrically loaded RC columns with symmetric reinforcement

ZHOU Qing¹， GUO Wei¹， QI Lin²

1.Binzhou Planning amp; Design Research Institute Co.， Ltd.， Binzhou 256600， China;

2.College of Transportation Science and Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China

Abstract：To analyze the influence of parameters such as cross-sectional area， reinforcement ratio， steel bar strength， and concrete strength etc.， the relationship between the ultimate bending moment M_u and the ultimate axial force N_u（N_u-M_u） curve of eccentrically loaded reinforced concrete （RC） columns with symmetrical reinforcement， the functional relationship between M_u and N_u for symmetrically reinforced eccentrically loaded RC columns is derived and the N_u-M_u curve is plotted. Software ANSYS for numerical analysis of RC columns is used to analyze the errors between the numerical analysis results of the maximum ultimate bending moment and the maximum ultimate axial force of the column base section and the theoretical calculation results. The study finds that the ultimate axial force increases with the increase of cross-sectional area， reinforcement ratio， rebar strength， and concrete strength， with the cross-sectional area having the greatest influence， concrete strength"and reinforcement ratio having a smaller influence， and steel bar strength having the smallest influence; the theoretical calculation results of the maximum ultimate axial force and maximum ultimate bending moment are both greater than the numerical analysis results; the error between the theoretical calculation results and the numerical analysis results of the maximum ultimate bending moment is bigger than that of maximum axial force， the former is approximately 10%， while the latter is approximately 5%.

Keywords：eccentrically loaded RC column; symmetric reinforcement; N_u-M_u curve; parameter analysis;" numerical analysis

（責任編輯：王惠）