基于廣義傳遞函數的非線性碰撞數據模態分析

摘要：研究機械系統各部件間隙導致的碰撞現象，設計單邊約束懸臂梁施加正弦激勵的碰撞試驗，根據實測的懸臂梁各離散點加速度響應與碰撞力構造廣義傳遞函數，仿真分析混沌響應和周期響應下該廣義傳遞函數的模態分布。結果表明：混沌響應下的傳遞函數包含準確的模態頻率信息，且該廣義傳遞函數與系統所受水平激勵的振幅無關；將仿照ERA-NExT法辨識出的模態參數與懸臂梁模態振型進行比較，發現由混沌響應得到的模態振型與懸臂梁模型的模態振型整體一致，前4階振型的吻合程度很好。

關鍵詞：非線性振動；懸臂梁；單邊碰撞；混沌運動；模態辨識

中圖分類號：TH113文獻標志碼：A文章編號：1673-6397（2024）03-0001-08

引用格式：秦真山，陸史浩，阮軍武，等.基于廣義傳遞函數的非線性碰撞數據模態分析［J］.內燃機與動力裝置，2024，41（3）：1-8.

QIN Zhenshan， LU Shihao， RUAN Junwu， et al. Modal analysis of nonlinear collision data based on generalized transfer function［J］.Internal Combustion Engine amp; Powerplant， 2024，41（3）：1-8.

DOI：10.19471/j.cnki.1673-6397.2024.03.001

收稿日期：2024-02-17

基金項目：廣西科技重大專項項目（2023AA11002）

第一作者簡介：秦真山 （1980—），男，江蘇徐州人，工學碩士，工程師，主要研究方向為發動機振動與噪聲控制，E-mail： 93666082@qq.com。

*第一通信作者簡介：李思遠（1991—），男，山東棗莊人，工學博士，實驗師，主要研究方向為內燃機燃燒和振動控制、燃料電池技術，E-mail： lisiyuan@sdu.edu.cn。

*第二通信作者簡介：宋漢文（1961—），男，山西文水人，工學博士，教授，主要研究方向為結構動力學，E-mail： hwsong@tongji.edu.cn。

0" 引言

機械系統中各個零部件之間難免發生碰撞，各部件連接處的間隙也會導致碰撞，并表現出復雜的非線性動力學行為。間隙可能是由于過度磨損，例如旋轉機械［1］、打樁機［2］，也有可能是設計時為了組裝或熱擴散等原因在支撐點預留的空隙［3］。在外力作用下，這些間隙導致組件之間發生碰撞，影響機械系統的壽命甚至發生事故，研究碰撞問題具有重要的現實意義。

從20世紀80年代開始，眾多學者對振動碰撞問題開展了試驗研究［4-6］。張磊等［7］利用受正弦激勵的單邊碰撞懸臂梁系統，發現了混沌運動和周期運動，并采用Runge-Kutt法進行數值模擬，仿真結果與試驗結果具有高度一致性。傳遞函數或頻率響應函數通常作為結構輸入和輸出之間的頻域關系，能夠在很寬的頻率范圍內表征結構的動態特性，可用于機械和土木結構的設計、識別、監測和控制［8-9］。在模態辨識方法方面，韓建平等［10］使用自然激勵技術對橋梁結構阻尼比進行識別，結果表明該方法可以減輕噪聲影響，提高識別精度；Wang等［11］提出了一種基于經驗模態分解算法的特征系統實現算法，用于識別低頻振蕩中的頻率、阻尼和振動，證明了該方法在區分振蕩頻率、阻尼比和振型的有效性。

基于上述研究，本文中利用單邊約束懸臂梁施加正弦激勵的碰撞試驗，構造廣義傳遞函數，對系統模態信息進行辨識，研究系統的間隙碰撞，揭示機械組件的碰撞機理，對延長機械系統壽命具有重要意義。

1" 試驗設計與試驗現象

設計非線性碰撞試驗對單邊約束懸臂梁施加穩態正弦基礎激勵，由于傳感器質量相比懸臂梁總質量不可忽略，此處將其作為自由端的附加集中質量處理。試驗裝置及其示意圖如圖1所示，圖中δ為力傳感器與碰撞點的水平間隙，d為力傳感器和懸臂梁發生碰撞位置的距離。懸臂梁尺寸及材料屬性如表1所示。

為模擬單邊碰撞，用螺栓將力傳感器固定在試驗臺豎直底板上的左側預留孔中，保證懸臂梁與力傳感器相對位移為0時發生碰撞；在限位器上安裝力傳感器記錄每次碰撞時的碰撞力，進行頻域與時域分析；

螺栓固定位置可以水平調節，改變限位器與碰撞點水平間隙δ，也可以選擇不同預留孔改變力傳感器和懸臂梁發生碰撞位置的距離d。本次試驗中δ=0，d=60 mm，使該懸臂梁在平衡位置與限位器發生正碰。在對系統施加正弦激勵前，運用錘擊法對懸臂梁系統進行模態試驗，得到帶集中質量懸臂梁系統的模態參數，對比懸臂梁不同激勵頻率下廣義傳遞函數，其前4階模態頻率和阻尼比如表2所示。

試驗中使用水平激振器作用于系統豎直底板，進而對固定于豎直底板上的懸臂梁系統施加穩態正弦基礎激勵，因此，懸臂梁系統的輸入是系統豎直底板受到的基礎運動。試驗中水平激振器的振幅為0.2g（g為自由落體加速度）。

懸臂梁正弦激勵的位移

y=Asin（ωt），

式中：A為激勵幅值，ω為激勵頻率，t為激勵時間。

懸臂梁正弦激勵頻率間隔為1 Hz。由于試驗系統為非線性系統，碰撞點上測得的力與自由端的振動加速度響應不是線性系統輸入輸出的關系，二者的頻率比并非一般模態分析意義下的頻率響應函數，本文中稱為廣義傳遞函數，根據該廣義傳遞函數發現和辨識系統的模態參數。

廣義傳遞函數

Ha（ω）=1（jω）2Y··（ω）F（ω），（1）

式中：ω為激勵頻率，Y··（ω）為振動加速度，F（ω）為系統輸入力。

文獻［12］分析結果表明：在振動臺基礎激勵下，基礎激勵頻率為11、22、34、45 Hz時，系統響應為周期響應；當基礎激勵頻率為6、16、30、52 Hz時，系統響應為混沌響應。

傳遞函數通常用幅頻特性曲線表示，即傳遞函數的幅值對輸入信號不同頻率分量的響應。不同基礎激勵頻率下，周期響應和混沌響應時的廣義傳遞函數如圖2、3所示，圖中紅色虛線從左到右依次為表2中懸臂梁的1～4階固有頻率。

由圖2、3可知：廣義傳遞函數的峰值與懸臂梁固有頻率吻合程度較好，基礎頻率為34、30 Hz處的峰值與懸臂梁的1～4階固有頻率的幅值接近；此外，周期響應和混沌響應時的廣義傳遞函數有截然不同的特征，混沌響應對應的廣義傳遞函數曲線十分光滑，周期運動頻率對應的廣義傳遞函數毛刺非常多，雖有類似于前者的輪廓，但峰值信息難以準確讀取。

2" 初始條件對廣義傳遞函數的影響

由于試驗條件限制，未改變試驗初始條件，在MATLAB仿真模型中對碰撞模型施加幅值為0.2g、0.5g、0.6g、1.0g的正弦激勵，獲得各離散點的位移、加速度響應與碰撞力。由于圖2中基礎激勵頻率為34 Hz處與圖3中基礎激勵頻率為30 Hz處的峰值分別與系統固有頻率接近，以混沌響應的頻率為30 Hz和周期響應的頻率為34 Hz為例，對時間進行無量綱處理，僅比較不同振幅下懸臂梁自由端的位移響應的形狀及幅值變化情況，隨機選取懸臂梁振動一段時間的位移，不同基礎激勵頻率下的變振幅位移響應曲線如圖4所示；根據懸臂梁自由端加速度響應與碰撞力求得其廣義傳遞函數曲線如圖5所示。

由圖4可知：在混沌頻率下，不僅懸臂梁自由端的響應幅值成比例變化，形狀也發生了變化；非混沌頻率下，響應幅值按比例變化，形狀也保持一致。由圖5可知：在不同基礎激勵幅值下計算得到的廣義傳遞函數高度一致，4條曲線幾乎完全重合。

不同頻率、不同振動加速度下懸臂梁的自由端加速度響應與碰撞力的廣義傳遞函數如圖6、7所示。

由圖6、7可知：在混沌區頻率下，所有廣義傳遞函數曲線均吻合較好，只在基礎激勵頻率（6、16、30、52 Hz）附近有著差別，其余部分幾乎完全相同；在非混沌區頻率（11、22、34、45 Hz）下，不同基礎激勵頻率廣義傳遞函數曲線之間的吻合度較差，在全頻率上均不能很好地吻合，同一頻率點上各基礎頻率幅值差別較大，難以用來辨識信息；與試驗結果相一致，混沌區對應的廣義傳遞函數曲線光滑，非混沌區對應的廣義傳遞函數曲線粗糙。

3" 廣義傳遞函數與頻響函數對比

混沌運動（基礎激勵頻率為30 Hz）與周期運動（基礎激勵頻率為11 Hz）下，將懸臂梁均勻簡化為10個離散點，第8點無碰撞懸臂梁的頻響函數Ha（10，8）與懸臂梁的仿真廣義傳遞函數及試驗廣義傳遞函數如圖8所示。將懸臂梁離散為8個自由度，混沌運動下第8點無碰撞懸臂梁的頻響函數Ha（8，8）與懸臂梁的仿真廣義傳遞函數如圖9所示。

由圖8可知：基礎激勵頻率位于混沌區時，3條曲線在懸臂梁振動響應頻率為0～400 Hz時吻合很好，特別是仿真廣義傳遞函數曲線與頻響函數曲線幾乎完全重合，試驗廣義傳遞曲線與前二者之間的誤差是由測量誤差引起的；在信號的高頻段，3條曲線的吻合程度比低頻段降低，這是由于本文中將懸臂梁離散為10個自由度只能保證前4階精度造成的；在非混沌區，三者之間的吻合相對較差；10個離散點的仿真廣義傳遞函數與頻響函數較好的吻合。

由圖9可知：混沌區激勵頻率下，第8點的廣義傳遞函數與相應頻響函數在形狀上不完全匹配，但二者在共振峰處吻合較好，峰值幾乎完全一致。

4" 模態參數辨識

表3" 頻域法固有頻率辨識結果對比

在混沌區激勵頻率下，加速度響應與碰撞力廣義傳遞函數曲線與頻響函數曲線幾乎相同。鑒于本文中懸臂梁模型模態分布不密集，各階模態之間距離較大，廣義傳遞函數不受初始條件影響，可以很方便地獲取傳遞函數的實頻與虛頻部分，因此可從傳遞函數中辨識固有頻率和振型。將辨識結果與懸臂梁固有模態參數進行對比，并計算二者的相對誤差，頻域法固有頻率辨識結果如表3所示。由表3可知：頻域法對模型各階固有頻率均有良好的辨識能力。

自然激勵法（natural excitation technique， NExT）［13］是將隨機響應轉化為自由衰減響應的一種數據處理方法，是使用系統在零均值的平穩高斯白噪聲激勵下隨機響應的相關函數代替自由衰減代入后續的辨識算法。特征系統實現算法（eigen-system realization algorithm， ERA）利用N自由度線性系統的狀態方程和系統最小實現理論，采用奇異值分解技術，求解系統矩陣的特征值得到系統的模態參數［14-15］。由于本文中非線性懸臂梁碰撞系統的混沌響應與無限位線性懸臂梁系統的脈沖響應在統計上具有一定的相似性，因此

將各離散點的混沌響應信號作互相關函數，用該互相關函數代替ERA法中Hankel矩陣中的脈沖響應函數求解系統的模態參數［16-17］，并與NExT法結合，稱為仿ERA-NExT法。利用仿ERA-NExT法辨識懸臂梁模型固有頻率與振型，固有頻率與模態辨識結果對比如表4所示。由表4可知：仿ERA-NExT法也能夠有效辨識模型固有頻率，僅在1階時相對誤差較大。

通過測量廣義傳遞函數的虛頻曲線的峰值可以確定留數，從而獲得該碰撞模型的各階振型，利用仿ERA-NExT法與頻域法求得基礎激勵頻率為30 Hz時辨識的第1～4階振型，與模型理論振型對比，各階振型如圖10所示。

由圖10可知：利用頻域法求得的振型與模型理論振型僅在第1階振型有偏差，其余的各階振型吻合程度較好；除第8點外，第1階振型中由混沌響應計算得到的碰撞模型與懸臂梁模態振型的整體輪廓十分相似，證明非線性懸臂梁碰撞系統的混沌響應與無限位線性懸臂梁系統的脈沖響應在統計上具有一定的相似性。

仿ERA-NExT法辨識出來的模態參數與理論參模態參數吻合的非常好，不論是形狀還是數值都幾乎一致，說明非線性懸臂梁碰撞系統在基礎激勵下的混沌響應在統計學上類似于無限位懸臂梁系統在隨機激勵下的響應。

5" 結論

為研究機械系統各部件間隙導致的碰撞現象，設計了單側懸臂梁碰撞試驗，分析了不同基礎激勵頻率下系統的廣義傳遞函數；利用該系統廣義傳遞函數，結合頻響函數、仿ERA-NExT法，辨識了系統模態參數。

1）在混沌響應下，離散點加速度響應與碰撞點力之間的廣義傳遞函數十分光滑；在非混沌響應下，該廣義傳遞函數毛刺較多。

2）混沌響應下，離散點加速度響應與碰撞點力之間的廣義傳遞函數與無碰撞懸臂梁模態試驗獲得的頻響函數類似，且驗證了該廣義傳遞函數不受系統水平激勵振幅的影響。

3）運用頻域法，利用仿ERA-NExT法辨識模態參數，將辨識的模態參數與懸臂梁系統的各階模態振型進行比較，發現由混沌響應得到的模態振型與懸臂梁模型的模態振型整體一致，前4階振型的吻合程度很好，說明非線性懸臂梁碰撞系統在基礎激勵下的混沌響應在統計學上類似于無限位懸臂梁系統在隨機激勵下的響應。

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Modal analysis of nonlinear collision data based on

generalized transfer function

QIN Zhenshan1， LU Shihao1， RUAN Junwu1， LI Siyuan2*， SONG Hanwen3*

1.Engineering Ramp;D Institute， Guangxi Yuchai Machinery Co.， Ltd.， Yulin 537000， China;

2.School of Energy and Power Engineering，Shandong University， Jinan 250061， China;

3.School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092，China

Abstract：In order to investigate the collision phenomenon caused by the gap between various parts of the mechanical system， a collision test with sinusoidal excitation is designed for an unilaterally constrained cantilever beam. The generalized transfer function is constructed based on the measured acceleration response of each discrete point of the cantilever beam and the collision internal force. Meanwhile， the modal distributions of the generalized transfer function under chaotic response and cyclic response are analyzed by simulation. The results show that the transfer function under chaotic response contains accurate modal frequency information， and this generalized transfer function is independent of the amplitude of the horizontal excitation to the system. Comparing the identified modal parameters modeled after the ERA-NExT method with the cantilever beam modal shapes， it is found that the modal shapes obtained from the chaotic response are in overall consistency with those of the cantilever beam model， and the first four orders of the modal shapes are in good accordance with each other.

Keywords：nonlinear vibration; cantilever beam; unilateral collision; chaotic motion; modal identification

（責任編輯：劉麗君）