重載列車運行過程的建模與RBFNN滑模控制

摘要：【目的】為解決重載列車在復雜線路條件下難以實現高精度軌跡跟蹤控制的問題，提出了一種重載列車多質點模型和徑向基函數神經網絡滑模控制（RBFNNSMC）方法。【方法】首先，考慮空氣制動和鉤緩裝置約束，建立重載列車多質點模型，并對人為測量誤差和車輛參數差異等導致的模型不確定性問題，利用RBFNN對其進行估計。其次，設計一種非線性干擾觀測器（NDO）對列車運行中受強風、雨雪等外界快時變干擾進行實時估計。然后，設計Lyapunov函數對整個系統進行穩定性證明。【結果】基于大秦線的實際線路數據，進行RBFNNSMC方法、PID方法和SMC方法的速度跟蹤對比實驗。仿真結果表明，RBFNNSMC方法的速度誤差在±0.15 km/h以內，優于其他兩種方法。加入NDO后，RBFNNSMC方法的抗干擾能力也更強。【結論】基于NDO的RBFNNSMC方法的跟蹤精度相較于SMC方法在無干擾和受干擾情況下分別提升27.3 %和28.9 %，魯棒性有所提升。

關鍵詞：重載列車；多質點模型；空氣制動；滑模控制；徑向基函數神經網絡；非線性干擾觀測器

中圖分類號：U239.4 文獻標志碼：A

本文引用格式：李中奇，曾祥泉，余劍烽. 重載列車運行過程的建模與RBFNN滑模控制[J]. 華東交通大學學報，2024，41（5）：94-104.

Modeling and RBFNN Sliding Mode Control for the Operation

Process of Heavy Haul Trains

Li Zhongqi1，2， Zeng Xiangquan1，2， Yu Jianfeng1，2

（1. School of Electrical and Automation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China;

2. State Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure，

East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China）

Abstract： 【Objective】To address the challenge of achieving high-precision trajectory tracking control for heavy haul trains under complex track conditions， this paper proposes a multi-mass model for heavy haul trains and a radial basis function neural network sliding mode control （RBFNNSMC） method. 【Method】First， considering the constraints of air brakes and coupler devices， a multi-mass model of the heavy haul trains was established， and the model uncertainty problems caused by human measurement errors and vehicle parameter differences were estimated by using RBFNN. Second， a nonlinear disturbance observer （NDO） was designed to be utilized for real-time estimation of strong wind， rain， snow， and other external fast time-varying disturbances during the operation of trains. Then， a Lyapunov function was designed to prove the stability of the entire system. 【Result】Based on actual track data from the Daqin Railway， speed tracking comparison experiments were conducted using the RBFNNSMC method， PID method， and SMC method. Simulation results show that the speed error of the RBFNNSMC method is within ±0.15 km/h， which is superior to the other two methods. Furthermore， the inclusion of the NDO significantly enhances the RBFNNSMC method's disturbance rejection capability. 【Conclusion】The tracking accuracy of the RBFNNSMC method based on NDO is improved by 27.3% and 28.9% respectively compared to the SMC method in the absence and presence of disturbances， with enhanced robustness as well.

Key words： heavy haul trains; multi-mass model; air braking; sliding mode control; radial basis function neural network; nonlinear disturbance observer

Citation format： LI Z Q， ZENG X Q， YU J F. Modeling and RBFNN sliding mode control for the operation process of heavy haul trains[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2024， 41（5）： 94-104.

【研究意義】重載列車因其具有貨運量大、運輸經濟性高、適應性強等優勢備受關注[1]。傳統的人工駕駛行車準點率不高，給列車運行控制帶來較大的縱向沖動，駕駛員的疲勞程度也會給行車過程帶來安全隱患[2]，因此研究重載列車安全、平穩的自動駕駛技術勢在必行。自動駕駛技術的關鍵在于確保高精度且穩定的速度跟蹤控制[3]。然而，自動駕駛控制器的設計難度大，這主要是由于列車模型建立的不夠準確，以及復雜多變的線路條件和列車運行過程中受到的外界干擾等因素造成的[1，4]。

【研究進展】設計控制系統首先要建立準確的模型。多質點模型因其能夠準確的表述不同車廂的實時狀態成為當前建立模型的主流方法。Wang等[5]基于多質點模型設計了考慮輸入飽和的魯棒跟蹤控制系統，但其模型中將車鉤裝置簡化為彈簧系統，忽略了車鉤裝置的復雜性。付雅婷等[6]在多質點模型中著重考慮鉤緩裝置的約束問題，但是忽略了電制動和空氣制動的配合，導致其控制力超出合理范圍。Liu等[7]研究了雙機牽引的重載列車在長大下坡過程中差異化協同控制對列車縱向力的影響，其模型中考慮循環空氣制動與電制動的協同作用，從而有效減小列車縱向力。

模型建立之后，需要針對重載列車復雜的運行過程設計控制系統，進而實現高精度的跟蹤控制。PID控制是重載列車控制領域的應用方法之一，但是其參數需要提前設定，且對于復雜環境適應性不強。為了克服這些局限性，更多的學者開始探索其他的控制策略，如李中奇等[1]對重載列車多智能體模型設計了魯棒一致性控制方法，極大的減小了外界干擾的影響。魯棒控制器雖能補償不確定性，但補償能力有限，若系統不確定性超出設計范圍，控制器可能無法維持系統穩定，存在應用局限。孫鵬飛等[4]將迭代學習和模型預測控制方法相結合，減小了列車縱向沖動，保證了列車的平穩運行，其迭代學習增益是利用線性二次型最優控制獲得的，然而，該控制方法具有對模型依賴性強、對外界干擾敏感等缺陷。Liu等[8]針對長陡下坡段的循環空氣制動問題，提出了一種基于深度Q網絡（Deep-Q-Network， DQN）算法的智能控制方法，但是DQN算法具有過擬合、算力消耗較大以及難以處理連續狀態等問題。上述各種控制方法存在的缺陷主要集中于模型依賴性強、對未知干擾敏感、計算復雜度高等。

滑模控制（sliding mode control，SMC）方法對系統參數變化和外界干擾展現出良好的魯棒性而備受矚目。一些學者利用SMC在重載列車、四旋翼無人飛行器和永磁直線同步電機上分別進行了應用，結果表明，SMC增強了控制系統的魯棒性，具有優良的軌跡跟蹤效果[9-11]。然而SMC也存在固有缺陷，如對模型的不確定性和快速時變擾動比較敏感，如果模型參數或者擾動發生較大的變化，會影響控制效果。但值得注意的是，研究表明徑向基函數神經網絡（radial basis function neural network， RBFNN）能夠有效補償模型中的不確定性。例如，文獻[12-13]分別利用RBFNN對列車和雙臂機械手的模型不確定性進行了有效估計和補償。另外，由于RBFNN的映射關系在中心點確定后就固定下來，因此相較于迭代學習和DQN，RBFNN響應更快、計算效率更高。考慮SMC和RBFNN的優勢，劉楊等[14]對二者進行了結合，將其應用于高速列車，實現了不錯的軌跡跟蹤效果，但是他們將列車視為單質點進行考慮，忽略了車輛間的耦合作用，而且抗干擾能力也有待提高。

面對實際工程系統中那些未知的、非線性的快時變干擾，單純的RBFNN與SMC的結合仍顯不足。為此，引入非線性干擾觀測器（nonlinear disturbance observer，NDO）來觀測和補償SMC難以抵消的干擾至關重要，如：Ding等[15]利用NDO有效補償了列車在運行過程中受到外界干擾的影響。

【創新特色】根據以上分析，本文針對重載列車的運行過程提出了一種RBFNN和SMC相結合的控制方法 RBFNNSMC，并在其中加入了NDO，整個系統的控制目標是在模型具有不確定性和快時變擾動的情況下跟蹤期望的軌跡。本文的主要貢獻包括建立一種重載列車多質點模型，該模型不但考慮了每節車廂受到的各種阻力，還將鉤緩裝置和空氣制動加入模型中；針對該模型，提出了一種基于NDO的RBFNNSMC方法，其中，NDO用于精準估計快時變干擾，而RBFNN的引入使得系統能夠實時學習并逼近模型中的復雜非線性關系。

【關鍵問題】本文構建的重載列車模型反映了更為真實的運行狀況，設計的控制方法在面臨模型不確定性和外部擾動時，依然能保證整個控制系統的穩定性，實現對目標軌跡的高精度追蹤。

1 重載列車縱向動力學分析

萬噸重載列車在鐵軌上行駛過程中，不同的車廂所處的坡道位置信息差異較大。因此將重載列車的每一節車廂視為1個質點進行受力分析，以此提高模型的精度。在行駛過程中，重載列車縱向受力情況如圖1所示，圖1中相關參數見后文。

1.1 重載列車縱向作用力計算

1.1.1 機車牽引力/電制動力

重載列車在運行中，其動力與電制動力主要來源于機車的牽引與制動系統，而且列車的縱向沖動很大程度上取決于機車的牽引/制動力大小，尤其是在空氣制動過程中，合理控制牽引/制動力的大小可以防止脫鉤事件的發生，保證列車的安全運行。HXD1機車牽引力及電制動力為[5]

[FT=760， "v∈0， 5779-3.8v， "v∈5， 6534 560/v， "v∈65， 120] （1）

[FB=92.2v， " "v∈0， 5461， " "v∈5， 7534 560/v， " "v∈75， 120] （2）

式中：FT為牽引力，kN； FB為電制動力，kN；v為運行速度，km/h。

從式（1）、式（2）可以看出，HXD1機車的最大牽引力為760 kN，最大電制動力為461 kN。

1.1.2 運行阻力

重載列車在運行時會遇到多種阻力，其中最主要的是基本運行阻力和附加阻力。基本運行阻力是列車與空氣、鋼軌之間的摩擦引起的。附加阻力是列車在坡道、彎道等線路條件下受到的外力。

參考標準《列車牽引計算第1部分：機車牽引式列車》（TB/T 1407.1—2018），基本運行阻力和附加阻力可分別表示為式（3）～式（5）。

[Fw=A+B×v+C×v2] （3）

[Ffp=I] （4）

[Ffq=600R] （5）

式中：[Fw]為單位基本運行阻力，N/kN；[Ffp]為單位坡道附加阻力，N/kN；[Ffq]為單位曲線附加阻力，N/kN；A，B，C為基本阻力系數；I為坡道坡度，上坡為正，下坡為負；R為曲線半徑，m。

1.1.3 車鉤力

車廂之間的緊密連接主要依賴車鉤和緩沖器組成的鉤緩裝置，整個列車只有機車提供前進的原動力，其他車廂前進的動力都是通過鉤緩裝置進行傳遞產生的。HXD1機車使用QKX100型緩沖器，C80貨車采用MT-2型緩沖器。

車鉤力可以利用下面的步驟獲取：首先進行落錘實驗，對兩種緩沖器進行加載和減載測試；然后提取緩沖器耦合點的相對位移與車鉤力，形成緩沖器特性曲線，如圖2所示；最后利用特性曲線表示車鉤力。QKX100緩沖器帶來的車鉤力采用式（6）表示[6]。

[FC=fl " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "Δv≥ve "f3+（fl-f3）Δvvesgn（Δv） "-velt;Δvlt;vefu " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "Δv≤-ve " ] （6）

式中：[FC]為車鉤力，kN；[fl]為加載時的阻抗力，kN；[fu]為減載時的阻抗力，kN；[f3]為阻抗力的均值，kN，[f3=fu+fl2]；[Δv]為相鄰兩車的速度之差，km/h；[ve]為緩沖器轉換速度，km/h。

MT-2緩沖器帶來的車鉤力[FC]利用式（7）～式（9）計算得到[6]。首先獲取當前時刻的[fu]和[fl]，然后利用式（8）計算得到臨時[FC]，再將臨時[FC]代入式（9）進行判定，滿足式（9）時的車鉤力就是臨時[FC]。否則，車鉤力為式（7）計算結果。

[FC（st，vt）=fl（st） " " " nbsp; st≥st-Δtfu（st） " " " " stlt;st-Δt ] （7）

[FC（st，vt）=F（st-△t，vt-Δt）+k（st-st-Δt） ] （8）

[fu（st）≤FC（st，vt）≤fl（st）] （9）

式中：s為車輛行駛位移，下標t、Δt分別為車輛當前時刻和前一時刻；[FC（st，vt）]為車鉤力，kN；[fl（st）]為加載時的阻抗力，kN；[fu（st）]為減載時的阻抗力，kN；[k]為緩沖器的剛度，N/m。

1.1.4 空氣制動力

空氣制動力是通過空氣制動系統產生的，它利用壓縮空氣推動制動裝置與車輪緊密接觸，通過摩擦力使列車減速直至停止。空氣制動力是重載列車實現安全制動的關鍵因素，其計算公式為

[Fa=βcφ?K] （10）

式中：[Fa]為空氣制動力，kN；[βc]為常用制動因數；[φ]為實算摩擦因數；K為一塊閘瓦實算壓力，kN。

HXD1機車合成閘片、C80貨車高磨合成閘瓦的實算摩擦因數[φH，φC]計算公式如下

[φH=0.441K+2004K+200?2v+1503v+150] （11）

[φC=0.481K+2004K+200?2v+1503v+150] （12）

HXD1機車實算閘瓦壓力為

[K'=π4d2z?pz?rz?ηz?10-6] （13）

車輪踏面制動閘片壓力為

[K=rzRc?K'] （14）

C80貨車踏面制動每塊實算閘瓦壓力為

[K=π4d2z?pz?ηz?γz?（nz/nk）?10-6] （15）

式中：[dz]為制動缸直徑，mm；[pz]為制動缸空氣壓力，kPa；[ηz]為制動傳動效率；[rz]為制動盤摩擦半徑，mm；[Rc]為機車車輪半徑，mm；[γz]為制動效率；[nz]為制動缸個數；[nk]為閘瓦個數。

1.2 空氣制動的觸發與緩解

空氣制動觸發與緩解都是根據列車速度和所在位置（坡度、坡長）兩個因素進行判斷的。空氣制動在列車運行速度超過60 km/h，并且前方2.5 km內存在4個坡度大于8‰、長度超過500 m的大下坡路段時才會被觸發。此外，兩次空氣制動的連續觸發之間，必須確保至少160 s的間隔。當列車速度降至比設定速度低10 km/h時，進行空氣制動的緩解。然而，若列車速度低于35 km/h，則不應緩解制動，因為過快的緩解可能導致縱向沖擊過大，存在列車斷鉤的風險。

重載列車實施空氣制動時，機車會先發出相應的制動指令。隨后，這一制動信號會經過制動主管內的空氣傳遞至后續車廂。這意味著不同位置的車廂接收到制動信號的時間不一致，因此，在仿真過程中需要考慮空氣制動延時的影響。

1.3 重載列車縱向動力學模型

本文建立只有一臺機車的列車模型，控制力只作用在機車上，后面的貨車均由鉤緩裝置連接。建模時，盡管考慮了多車廂受力因素，但力的系數受測量與計算誤差、車輛參數差異及外部因素影響，導致模型始終存在不確定性；另外，列車運行中還會受到強風和雨雪等外部干擾。

綜合以上分析，重載列車縱向動力學模型表示為

[m0s0=u0-FC0-FW0-Ff0-Fa0+ΔF0+σ0（t） " " " "?misi=FC，i-1-FCi-FWi-Ffi-Fai+ΔFi+σi（t） " " " "?mnsn=FC，n-1-FWn-Ffn-Fan+ΔFn+σn（t）] "（16）

式中：[mi]為第i節車廂的質量，kg；[si]為第i節車廂的位移，km，[si]為第i節車廂的加速度，m/s2；[FC，i-1]和[FCi]分別為第i節車廂受到的前車鉤力和后車鉤力，kN；u0為機車的控制力，kN；[σi（t）]為第i節車廂受到的外界擾動，kN；令[Fi=FC，i-1-FCi-FWi-Ffi-Fai]，[ΔFi]為Fi的不確定部分，kN，其中i=0， 1， 2， …， n。

2 基于NDO的RBFNN滑模控制

針對第1節建立的重載列車模型，本節設計自適應神經網絡滑模控制系統以實現列車的軌跡跟蹤控制。首先，對非線性系統設計具有良好適用性的滑模控制器，利用一種自適應趨近律來削弱滑模控制中的抖振問題；然后針對模型中存在的不確定性，利用RBFNN的逼近特性對其進行估計，將估計結果反饋給控制器；最后考慮到列車在實際運行過程中受到外界干擾問題，設計NDO對干擾進行觀測，將觀測結果反饋給控制器。

2.1 控制器設計

由式（16），可以得到機車的狀態空間表達式

[x=F（x）+G?u0+H?d（t）y=J（x）] （17）

式中：[x=[x1 v1]T]，[G=[0 "1m0]T]，[H=[0 "1]T]，[F（x）=[v1 "f（x）+Δf]T，f（x）=-FC0+FW0+Ff0+Fa0m0，]

[J（x）=v1]，[x1]是機車的位移，km；[v1]是機車的速度，km/h；[Δf]是[f（x）]的不確定部分；m/s2；[d（t）]為機車受到的干擾，kN。

為了實現跟蹤目標，首先定義機車的位移和速度跟蹤誤差為

[e（t）=x1-x1de（t）=v1-v1d] （18）

式中，[x1d]、[v1d]分別是期望位置、期望速度。然后，設計滑模面為：

[s=e（t）+λ1e（t）+λ20te（τ）dτ] （19）

式中：[λ1、λ2]均為大于零的常數，τ為列車運行時刻，s。對式（19）求導，并將式（17）、（18）代入其中得：

[s=et+λ1et+λ2e（t）= " " " v1-v1d+λ1et+λ2e（t）= " " " "f（x）+Δf+1m0u0+d（t）-v1d+λ1e（t）+λ2e（t）] （20）

傳統的指數趨近律在遠離滑模面時，其趨近速度較慢，而在接近滑模面時，其趨近速度不可調節，使得狀態頻繁且迅速地穿越滑模面，這導致系統發生明顯的抖振問題。為加快機車狀態在遠離滑模面時的趨近速度并減小抖振問題，對傳統趨近律進行改進，提出快速自適應趨近律[16]。

[s=-ξsαsgn（s）-ζsgn（s）] （21）

式中：[ξgt;0]，[αgt;0]，[ζ=κtan（sige（t））]，其中[κgt;0]，[tan（sige（t））=1-e-e（t）1+e-e（t）]。

令式（20）等于式（21），即可導出滑模控制律：

[u1=-m0[f（x）+Δf+d（t）-v1d+λ1e（t）+λ2e（t）+ξsαsgn（s）+ζsgn（s）]] （22）

2.2 RBFNN逼近模型中不確定部分

RBFNN是一種基于徑向基函數的前饋神經網絡，具有簡潔的學習過程和良好的逼近性能，適用于實時控制任務。機車系統式（17）中的不確定部分[Δf]與列車速度、位移相關，是非線性的函數，而對于未知非線性函數可采用RBFNN進行逼近，即用權值和足夠數量的基函數組成的神經網絡表示。令[δ=Δf]，即有

[δ=WTh（χ）+ε] （23）

[W=w1，w2，…，wjT] （24）

[hj（χ）=exp-χ-cj22b2j] （25）

式中：[χ=[e（t） "e（t）]T]為網絡輸入向量；[h（χ）]為高斯基函數的輸出；W表示逼近[δ]的理想權值；[ε]為神經網絡逼近誤差；[cj]表示隱藏層中第j個基函數的中心向量；[bj]表示第j個節點寬度。

假設1 [W]和[ε]均存在上界[WD]，[εD]即[W≤WD]， [ε≤εD]。[WDgt;0]， [εDgt;0]。

實際上，理想的神經網絡權值往往難以直接求得。因此，我們通常采用式（26）對[δ]進行逼近，以達到更好的效果。

[δ=WTh（χ）] （26）

式中，[W]為W的估計值。同時，定義估計誤差為：

[W=W-W] （27）

為了證明控制器的穩定性，設計RBFNN的自適應律為式（28），其中，[γ]為正實數。

[W=γsh（χ）] （28）

結合式（22）、式（23）、式（26）得到基于RBFNN的控制律為

[u2=-m0[f（x）+δ+d（t）-v1d+λ1e（t）+λ2e（t）+ξsαsgn（s）+ζsgn（s）]] （29）

2.3 NDO設計

為在控制器中補償未知的快時變干擾，需設計1個NDO對干擾進行觀測，并將觀測結果及時傳遞給控制器。

針對機車系統式（17），可以設計NDO為

[z=-l（x）H?z-l（x）[H?p（x）+F（x）+G?u0]d=z+p（x）] （30）

式中：z是干擾觀測器式（30）的內部狀態，p（x）是待設計的函數，l（x）為式（31）。

[l（x）=?p（x）?x1 " ?p（x）?v1] （31）

定義觀測器觀測誤差為

[d=d-d] （32）

將式（17）、式（30）代入式（32）的導數得到干擾觀測誤差的動態變化方程式

[ d=d-d= " " " " " z+?p（x）?xx-d= " " " " " -l（x）H?z-l（x）[H?p（x）+F（x）+G?u0]+ " " " " " " l（x）[F（x）+G?u0+H?d]-d= " " " " " -l（x）H?[z+p（x）]+l（x）H?d-d= " " " " " -l（x）H?d+l（x）H?d-d= " " " " " -l（x）H?d-d] （33）

假設2 系統式（17）所受的干擾和干擾的導數存在上界[D1]， [D2]，即[d（t）lt;D1]，[d（t）lt;D2]，[D1gt;0]，[D2gt;0]。

定理1 在假設2得到滿足的情況下，如果l（x）被選擇，使得式（34）漸近穩定

[d+l（x）H?d=0] （34）

則干擾觀測誤差系統式（33）是局部輸入狀態穩定的[17]。

本文設置p（x）=ωv1，其中ωgt;0，則l（x）H=ω，滿足定理1條件。再將NDO式（30）觀測結果反饋給控制律式（29），可以得到基于NDO的自適應神經網絡滑模控制律：

[u3=-m0[f（x）+δ+d-v1d+λ1e（t）+λ2e（t）+ξsαsgn（s）+ζsgn（s）]] （35）

2.4 控制器的穩定性證明

選取Lyapunov函數為式（36）來證明本文設計的控制器的穩定性。

[L=12s2+12γWTW] " " " " "（36）

式中：[γ]是大于0的常數，因此[L≥0]。將式（20）代入式（36）的導數，可得

[L=ss+1γWTW=s[f（x）+Δf+1m0u0+d（t）-v1d+λ1e（t）+λ2e（t）]+1γWTW] （37）

將式（23）代入式（37），并取u0=u3，可得

[L=s[WTh（χ）+ε-WTh（χ）+d-d- " " " ξsαsgn（s）-ζsgn（s）]+1γWTW= " " " s[-WTh（χ）+ε-d-ξsαsgn（s）-ζsgn（s）]+ " " " 1γWTW= " " " -sWTh（χ）+1γWTW+s（ε-d）-ξsα+1-ζs]

（38）

再將式（28）代入式（38），可得

[L=s（ε-d）-ξsα+1-ζs] （39）

由于RBFNN逼近誤差[ε]和觀測器觀測誤差[d]都是很小的實數，[ξ]、[α]均是大于0的實數。因此只要選取[ζ≥ε-d]，則可以滿足[L≤0]。

當[L≡0]時，[s≡0]。根據拉薩爾不變集原理[18]，當[t→∞]時[s→0]，即系統是漸近穩定的。

3 實驗與仿真

3.1 仿真模型及參數介紹

本文采用大秦線HXD1型機車和C80貨車組成的“1+105”編組形式的重載列車進行仿真實驗。HXD1機車的質量和長度分別為184 t和35.222 m，C80貨車的質量和長度分別為100 t和12 m。HXD1機車和C80貨車的基本阻力系數A、B、C分別是1.20、0.006 5、0.000 279和0.92、0.004 8、0.000 125；空氣制動力計算參數見表1，針對該編組的列車，列車管減壓量為50 kPa時，空氣制動波速為200 m/s，緩解波速為36 m/s。全車長1.3 km，列車空氣制動觸發需要6 s左右，空氣制動緩解需要36.1 s；模型不確定部分[δ]設為[f（x）]的1%；控制器參數設置如下：

RBFNNSMC方法：RBFNN結構取為2-5-1，其中2、5、1分別表示網絡的輸入層、隱藏層、輸出層的節點個數，初始權值設為0，[bj=0.005]，λ1=1.0，λ2= 0.1，c1= c2=0.01[×][-1 -0.5 "0 "0.5 "1]，[ξ=0.005]，[κ=0.05]，[α=5]，[γ=0.01]，[ω=1 000]。

SMC方法：λ1=1.0，λ2=0.1，[ξ=0.005]，[κ=0.05]，[α=5]。SMC方法也采用式（21）所示的趨近律。

PID方法：比例、積分、微分系數分別為107， 1， 1。

為了驗證第2節提出的重載列車自動駕駛控制方法在軌跡跟蹤方面的精確性和系統的魯棒性，采集大秦線大同南站到東井集站的實際運行數據進行仿真實驗。該區間內的路況信息以及王牌司機駕駛該列車通過該區段的路況和速度信息如圖3和圖4所示。

假設3 由于獲取的線路數據有限，假設在該路段以前都是平直道，即坡道、彎道均為0。

3.2 控制器性能對比實驗與仿真分析

為驗證本文設計的控制器控制性能優劣，將RBFNNSMC控制方法與PID控制方法和SMC方法對采集的速度曲線進行跟蹤對比實驗。3種控制方法對目標速度曲線的跟蹤效果和跟蹤誤差分別見圖5和圖6。

從圖5和圖6可以看出，RBFNNSMC、SMC兩種方法的速度跟蹤誤差有逐漸收斂的趨勢，RBFNNSMC的速度跟蹤誤差在±0.15 km/h以內，而SMC的速度跟蹤誤差在[±]0.2 km/h以內。但是PID的速度跟蹤誤差曲線卻和控制力曲線（圖9）相似，收斂性較差，速度誤差在-0.15～0.27 km/h以內。由此可知，上述3種方法對于目標速度曲線均有較好的跟蹤效果，其中RBFNNSMC的跟蹤性能最好、SMC次之、PID效果最差。

圖7和圖8分別為RBF對模型不確定部分[δ]的估計效果和估計誤差圖，從中可以看出，RBF對于[δ]的估計效果較好，估計誤差基本保持在[5×10-5]以內。相反，SMC不存在對[δ]的估計功能，因此無法對其進行補償。由此可以推出，RBFNNSMC跟蹤效果優于SMC的原因之一是RBF對[δ]有較好的估計效果。

圖9、圖10分別為3種方法控制力變化的對比圖和部分鉤緩裝置的車鉤力變化圖。從該區段的線路信息（圖3）可以得知：在該區段內的20、34 km和39 km附近有長大下坡路段，空氣制動觸發使得機車的最大電制動力維持在461 kN以內（圖9）。另外，從圖10中可知，車鉤力的變化始終保持在安全范圍內，這一結果驗證了本文研究的鉤緩裝置模型在模擬列車平穩安全運行過程中的有效性。但是，由于車鉤力是通過查表方式得到的，使得相鄰車輛車鉤力產生跳變，從而導致部分控制力出現頻繁變化現象。但是從圖9的局部放大圖可以看出：針對車鉤力的變化，RBFNNSMC和SMC的控制力的變化較為平穩，而PID的控制力卻出現跳變情況，這在工程實際中容易導致執行器發生故障。因此，從控制力和車鉤力變化方面可以看出，RBFNNSMC方法的平穩性優于PID。

3.3 抗干擾性能對比實驗與仿真分析

為了驗證本文設計的控制器抗干擾性能優劣，在不改變模型參數和控制器參數條件下，給上述3種方法加上相同的快速時變干擾，以檢驗它們對于未知擾動的抵抗能力。為反映擾動的時變性、不確定性和隨機性，設計干擾為式（40）[1]。并將干擾施加在列車的機車和第10，20，30，…，100號車廂上。

[σi（t）=mi{0.002+0.001sin（t+1）+0.000 3v3[sin（2t+2）+cos（3t+1）]}] "（40）

加上擾動后，3種方法對目標速度曲線的跟蹤效果和跟蹤誤差如圖11、圖12所示。從圖11可以看出3種方法對于速度曲線仍然具有一定的跟蹤效果，但是從圖12跟蹤誤差對比圖及其局部放大圖可以發現，SMC和PID 2種方法受擾動影響較大，跟蹤誤差呈現出與干擾相似頻率的振蕩，相反，增加了NDO的RBFNNSMC方法的跟蹤誤差基本保持不變。

為了更直觀的分析加干擾前后3種方法的跟蹤精度變化，引入均方根誤差（root mean square error， RMSE）這一性能指標對其進行評價[4]，利用圖6和圖12中的數據帶入式（41）計算出速度跟蹤誤差的RMSE，從而得到表2。

[RMSE=1Nk=1Nv1k-v1dk2] （41）

式中：[v1k、v1dk]分別為k時刻機車的實際速度和期望速度，km/h；N是時間序列。

表2為在加干擾前后， PID、SMC和基于NDO的RBFNNSMC 3種方法的速度跟蹤誤差的RMSE，km/h。從中可以看出，基于NDO的RBFNNSMC在加干擾前后，其RMSE幾乎不變且小于PID和SMC。同時利用此數據也可以計算出，在不受干擾情況下，基于NDO的RBFNNSMC比SMC跟蹤精度提高了27.3%；受干擾情況下，跟蹤精度提高了28.9%。

4 結論

本文考慮列車模型的不確定性和外部擾動問題，建立了包含鉤緩裝置和空氣制動的重載列車模型，研究了基于NDO的RBFNNSMC方法，并設計Lyapunov函數證明其穩定性，最后通過與經典PID方法和SMC方法對目標速度曲線進行對比實驗，得到了以下結論。

1） RBFNNSMC方法實現了比PID、SMC方法對給定的速度曲線更精確的跟蹤控制，速度誤差在±0.15 km/h以內，提高了列車運行的準點率。

2） 針對鉤緩裝置帶來的車鉤力跳變，RBFNNSMC方法的控制力變化更加穩定，保證了列車的安全平穩運行。

3） 基于NDO的RBFNNSMC方法在快時變擾動下觀測效果顯著，較PID和SMC方法魯棒性更強，跟蹤精度相較于SMC方法在無干擾和受干擾情況下分別提升27.3 %和28.9 %。

綜上，基于NDO的RBFNNSMC方法不僅提高了軌跡跟蹤精度，還增強了系統的魯棒性，展示出在復雜線路條件下的應用潛力。

參考文獻：

[1] " "李中奇， 王睿. 重載列車多智能體模型的魯棒一致性控制方法[J]. 控制與決策， 2023， 38（5）： 1448-1456.

LI Z Q， WANG R. Robust consistency control method for multi-agent model of heavy haul train[J]. Control and Decision， 2023， 38（5）： 1448-1456.

[2] " "何聞. 考慮縱向沖動的重載列車自動駕駛操縱研究[D]. 北京： 中國鐵道科學研究院， 2023.

HE W. Research on automatic operation considering longitudinal impulse of heavy haul trains[D]. Beijing： China Academy of Railway Sciences， 2023.

[3] " "李中奇， 周靚， 楊輝， 等. 基于預測控制的動車組迭代學習控制方法[J]. 交通運輸工程學報， 2023， 23（1）： 280-290.

LI Z Q， ZHOU L， YANG H， et al. Iterative learning control method for EMUs based on predictive control[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering， 2023， 23（1）： 280-290.

[4] " "孫鵬飛， 張傳鑫， 蔣春宏， 等. 結合迭代學習和模型預測的重載列車運行控制[J]. 中國鐵道科學， 2023， 44（2）： 111-119.

SUN P F， ZHANG C X， JIANG C H， et al. Operation control of heavy-haul train based on combination of iterative learning and model prediction[J]. China Railway Science， 2023， 44（2）： 111-119.

[5] " "WANG X， SU S， CAO Y， et al. Robust cruise control for the heavy haul train subject to disturbance and actuator saturation[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems， 2023， 24（8）： 8003-8013.

[6] " "付雅婷， 原俊榮， 李中奇， 等. 基于鉤緩約束的重載列車駕駛過程優化[J]. 自動化學報， 2019， 45（12）： 2355-2365.

FU Y T， YUAN J R， LI Z Q， et al. Optimization of heavy haul train operation process based on coupler constraints [J]. Acta Automatica Sinica， 2019， 45（12）： 2355-2365.

[7] " "LIU W， SU S， TANG T， et al. Study on longitudinal dynamics of heavy haul trains running on long and steep downhills[J]. Vehicle System Dynamics， 2022， 60（12）： 4079-4097.

[8] " "LIU W， SU S， TANG T， et al. A DQN-based intelligent control method for heavy haul trains on long steep downhill section[J]. Transportation Research Part C： Emerging Technologies， 2021， 129： 103249.

[9] " "HE J， YANG X， ZHANG C， et al. Sliding mode consistency tracking control of multiple heavy haul trains under input saturation and safety distance constraints[J]. Journal of the Franklin Institute， 2023， 360（12）： 9028-9049.

[10] "BAEK J， KANG M. A synthesized sliding-mode control for attitude trajectory tracking of quadrotor UAV systems[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2023， 28（4）： 2189-2199.

[11] "XU D， DING B， JIANG B， et al. Nonsingular fast terminal sliding mode control for permanent magnet linear synchronous motor via high-order super-twisting observer[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2021， 27（3）： 1651-1659.

[12] "YANG J， ZHANG Y， JIN Y. Optimization of urban rail automatic train operation system based on RBF neural network adaptive terminal sliding mode fault tolerant control[J]. Applied System Innovation， 2021， 4（3）： 51.

[13] "裴香麗， 田穎， 張明路. 水下機械手水動力學分析及控制方法研究[J]. 船舶力學， 2022， 26（5）： 679-690.

PEI X L， TIAN Y， ZHANG M L. Research on hydrodynamic analysis and control method of underwater manipulators[J]. Journal of Ship Mechanics， 2022， 26（5）： 679-690.

[14] "劉楊， 譚志勇， 初憲武， 等. 基于自適應RBF觀測器的列車輸出反饋控制[J]. 控制工程， 2022， 29（6）： 1104-1110.

LIU Y， TAN Z Y， CHU X W， et al. High-speed train output feedback control based on adaptive RBF observer[J]. Control Engineering of China， 2022， 29（6）： 1104-1110.

[15] "DING B， XU D， JIANG B， et al. Disturbance-observer-based terminal sliding mode control for linear traction system with prescribed performance[J]. IEEE Transactions on transportation electrification， 2020， 7（2）： 649-658.

[16] "李永恒， 劉陵順， 胡云安， 等. 基于自適應趨近律的滑模控制方法[J]. 華中科技大學學報（自然科學版）， 2019， 47（1）： 109-113.

LI Y H， LIU L S， HU Y A， et al. Sliding mode control method based on adaptive reaching law[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology （Natural Science Edition）， 2019， 47（1）： 109-113.

[17] "CHEN W H， BALLANCE D J， GAWTHROP P J， et al. A nonlinear disturbance observer for robotic manipulators[J]. IEEE Transactions on industrial Electronics， 2000， 47（4）： 932-938.

[18] "武憲青， 何熊熊. 欠驅動基準系統的約束控制[J]. 控制理論與應用， 2015， 32（12）： 1692-1697.

WU X Q， HE X X. Constrained control for the underactuated benchmark system[J]. Control Theory amp; Applications， 2015， 32（12）： 1692-1697.

通信作者：李中奇（1975—），男，教授，博士，博士生導師，研究方向為軌道交通自動化與運行優化、列車運行過程建模及優化控制。E-mail： lzq0828@163.com。