高中物理習(xí)題命制應(yīng)注意數(shù)據(jù)的科學(xué)性

福州市教育科學(xué)研究規(guī)劃2023年度課題：突出學(xué)科核心素養(yǎng)的高中物理校本習(xí)題編制的實(shí)踐研究（FZ2023GH094）研究成果

摘" "要：恒定功率機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題是高中物理教學(xué)中的重要模型和重點(diǎn)內(nèi)容，但由于高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的局限性，與該模型有關(guān)的習(xí)題會(huì)出現(xiàn)條件冗余的情況，因此此類習(xí)題常出現(xiàn)數(shù)據(jù)編制不科學(xué)的問(wèn)題。該研究通過(guò)求解微分方程來(lái)討論恒定功率機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題，得到恒定功率機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題中速度隨時(shí)間變化的關(guān)系和位移隨時(shí)間變化的關(guān)系分別為t=-ln-（vt-v0）和s=-ln-（vt-v0）+-，為編制此類習(xí)題提供一個(gè)科學(xué)的命題依據(jù)，同時(shí)給出編制此類習(xí)題的建議。

關(guān)鍵詞：恒定功率機(jī)車啟動(dòng)；數(shù)據(jù)科學(xué)性；微分方程；習(xí)題命制

恒定功率機(jī)車啟動(dòng)是高中物理教學(xué)中的重要模型和重點(diǎn)內(nèi)容，但在一線教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到相關(guān)習(xí)題數(shù)據(jù)不科學(xué)的情況，讓學(xué)生和教師都感到困惑。如下面的例子，此題為筆者為學(xué)生答疑輔導(dǎo)時(shí)接觸到的，原題來(lái)自一本教輔書。

1" 問(wèn)題緣起

例1：（節(jié)選）質(zhì)量m=3×103 kg的汽車由靜止開(kāi)始沿平直公路行駛，達(dá)到的最大速度為40 m/s，此過(guò)程中不同時(shí)刻該汽車的牽引力F與對(duì)應(yīng)速度v的關(guān)系可用如圖1所示的F-圖象表示（圖線ABC為汽車由靜止到達(dá)到最大速度的全過(guò)程，AB、BO均為直線）。該汽車行駛中所受的阻力恒定，該汽車由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)35 s達(dá)到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移。

圖 1

以下為題給解析：

由圖1可知，當(dāng)速度等于最大速度時(shí)，牽引力最小，此時(shí)加速度為零。

故恒定阻力：

f=Fmin{1}

又額定功率：

P=Fminvmax{2}

代入數(shù)據(jù)可得P=80 kW

又勻加速運(yùn)動(dòng)階段的末速度：

v={3}

根據(jù)牛頓第二定律有：

F-f=ma {4}

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知：

v=at1 {5}

代入數(shù)據(jù)可得勻加速階段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1=5 s

BC段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：

t=t-t1{6}

在BC段根據(jù)動(dòng)能定理有：

Pt-fs=mv2max-mv2 {7}

代入數(shù)據(jù)可解得：s=75 m

2" 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

根據(jù)解析可知，BC段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為30 s，B點(diǎn)的速度為10 m/s，且BC段機(jī)車處于加速過(guò)程，則BC段的位移肯定大于300 m，然而答案給出的卻是75 m。通過(guò)檢查解析的思路和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)解析的思路是正確的，也是高中物理解決恒定功率機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題的常規(guī)思路，并且計(jì)算也沒(méi)有問(wèn)題。但是，很明顯可以看出BC段的位移不可能是答案給出的75 m。問(wèn)題出現(xiàn)在哪里？對(duì)于高中學(xué)生，這是一個(gè)無(wú)法解釋的困境，因?yàn)樗麄冋也坏浇馕鲋写嬖诘膯?wèn)題，從而陷入無(wú)解的狀態(tài)，這必然會(huì)影響學(xué)生對(duì)物理學(xué)習(xí)的興趣和信心，從而失去了習(xí)題應(yīng)有的促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用，還會(huì)起到反作用。

3" 分析問(wèn)題

恒定功率機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題中，如果題目中給定了功率P、阻力f、質(zhì)量m、初速度v0等條件，任意時(shí)刻根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律都有：

-f=ma{8}

根據(jù)該式可知，速度會(huì)影響加速度，加速度又會(huì)影響速度，這就導(dǎo)致速度與加速度循環(huán)影響，正是這個(gè)原因，高中階段只能定性地分析這個(gè)過(guò)程中加速度與速度的變化，不能僅僅根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解出任意時(shí)刻的速度與位置，這主要是由于高中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)有限，并不是因?yàn)槿鄙僖阎獥l件[ 1 ]。

求解這個(gè)牛頓運(yùn)動(dòng)定律需要利用到微分方程的知識(shí)，這超出了高中生的能力范圍。也正是由于高中階段的這個(gè)局限性，在這類問(wèn)題中，常常將功率P、阻力f、質(zhì)量m、初速度v0、末速度vt、時(shí)間t（或位移s）作為已知條件，讓學(xué)生求解位移s（或時(shí)間t），這就會(huì)導(dǎo)致這類題出現(xiàn)條件冗余。因?yàn)闀r(shí)間t（或位移s）已知，則末速度是唯一確定的，是可以通過(guò)求解微分方程得到的，不能由命題人主觀給定，而命題人主觀給定數(shù)據(jù)是高中物理命題中經(jīng)常遇到的情況。并且正是基于高中階段的局限性，此類習(xí)題命制中必須要給定冗余的已知條件才可以解答，那么就要求命題教師在編制數(shù)據(jù)的時(shí)候確保數(shù)據(jù)的科學(xué)性[ 2 ]。

在實(shí)際的一線教學(xué)中，由于廣大高中學(xué)生沒(méi)有能力從微分方程的角度分析問(wèn)題，或者無(wú)法求解微分方程從而不可能發(fā)現(xiàn)此類習(xí)題中可能存在的問(wèn)題。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，很多一線高中物理教師也忽視了這個(gè)問(wèn)題，常常會(huì)遇到隨意捏造數(shù)據(jù)的題目卻無(wú)法辨別，甚至有的一線教師在命制試題的過(guò)程中在沒(méi)有解微分方程的情況下隨意捏造數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致數(shù)據(jù)不科學(xué)的習(xí)題出現(xiàn)。

下面以兩道高考真題為例，通過(guò)解微分方程來(lái)檢驗(yàn)題給數(shù)據(jù)的科學(xué)性。

3.1" 速度隨時(shí)間變化的規(guī)律

例2：（2009 上海 節(jié)選）質(zhì)量m=5×103 kg的汽車在t＝0時(shí)刻速度v0＝10 m/s，此后以P＝6×104 W的恒定功率沿平直公路前進(jìn)，經(jīng)72 s達(dá)最大速度，設(shè)汽車受到的阻力恒為2.5×103 N。

本題中給出汽車經(jīng)過(guò)72 s達(dá)最大速度，這個(gè)數(shù)據(jù)正確嗎？按照前面的討論，可以知道72 s時(shí)刻的速度是可以通過(guò)解微分方程求解出來(lái)的。

求解過(guò)程如下。

對(duì)汽車，根據(jù)牛頓第二定律有：

-f=m " {9}

對(duì)上式分離變量，可得：

dt=m= m{10}

又

v=-（P-fv）{11}

則有：

dt=m=mdv{12}

整理可得：

dt=mdv-dv=-dv

=--dv{13}

對(duì)t積分：

t=dt=--dv

即：

t=-ln-（vt-v0）{14}

代入數(shù)據(jù)可得：

t=-48ln-2（vt-10）{15}

通過(guò)計(jì)算，得到如表1。

表 1" 例2中機(jī)車速度隨時(shí)間的變化關(guān)系

通過(guò)求解微分方程，可得到任意時(shí)刻t與對(duì)應(yīng)速度vt的函數(shù)關(guān)系。可以發(fā)現(xiàn)，要達(dá)到最大速度即vm==24 m/s，需要無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間，這就是常說(shuō)的收尾速度，原則上只能無(wú)限的接近vm。從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，速度從23.9 m/s增加到23.99 m/s再增加到23.999 m/s再增加到23.9999 m/s，速度增加的越來(lái)越少，所花的時(shí)間卻差不多，因?yàn)楹竺婕铀俣仍絹?lái)越小，加速越來(lái)越困難。那么，在實(shí)際處理中，沒(méi)有必要要求達(dá)到24 m/s，在一定的精確范圍內(nèi)，就可以認(rèn)為速度達(dá)到23.9 m/s就達(dá)到收尾狀態(tài)，有的時(shí)候甚至23.5 m/s也可以（誤差約為2%）。可是通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，t=72 s時(shí)對(duì)應(yīng)的速度應(yīng)該介于22.1-22.2 m/s之間，那這個(gè)與24 m/s相差接近10%，顯然是有問(wèn)題的。這說(shuō)明在例2中，數(shù)據(jù)的編制是不科學(xué)的。筆者建議將原題中的“經(jīng)72 s達(dá)最大速度”改成“經(jīng)300 s達(dá)最大速度”，這樣的數(shù)據(jù)就具有科學(xué)性，本題才能成為一道有選拔價(jià)值的高考題。

3.2" 位移隨時(shí)間變化的規(guī)律

例3：（2011 浙江 節(jié)選）質(zhì)量m＝1000 kg的汽車，在平直公路上以v1＝90 km/h勻速行駛，汽車的功率為P＝50 kW。當(dāng)司機(jī)看到限速標(biāo)志時(shí)，立即剎車使汽車做減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)L＝72 m后，速度變?yōu)関2＝72 km/h。設(shè)汽車在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受阻力恒定不變，汽車功率不變。

本題關(guān)注另外一個(gè)物理量——位移s。

由題目已知條件可知汽車從90 km/h減速到72 km/h總共運(yùn)動(dòng)了72 m，按照文章前面的討論，機(jī)車運(yùn)動(dòng)的位移是確定的，這個(gè)確定的位移是不是72 m呢？也通過(guò)求解微分方程得到。

對(duì)機(jī)車，根據(jù)牛頓第二定律有：

-f=m{9}

同例2整理可得：

t=-ln-（vt-v0）{14}

對(duì)汽車，根據(jù)動(dòng)能定理有：

Pt-fs=mvt2-mv02{16}

整理可得：

s=+-{17}

即：

s=-ln-（vt-v0）+-{18}

代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得s=72.346 m

通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，本題中所給數(shù)據(jù)在一定的精確范圍內(nèi)是科學(xué)的（誤差小于1%），本題所給數(shù)據(jù)具有科學(xué)性。

通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)高考真題的分析與討論可以得到了此類問(wèn)題中，機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)后機(jī)車的速度與時(shí)間，位移與時(shí)間的關(guān)系，即：

t=-ln-（vt-v0）{14}

s=-ln-（vt-v0）+-{18}

以上兩式可用來(lái)檢驗(yàn)機(jī)車啟動(dòng)類問(wèn)題數(shù)據(jù)是否具有科學(xué)性。

4" 解決問(wèn)題

根據(jù)上面得到的函數(shù)關(guān)系式，下面來(lái)討論例1中的問(wèn)題。

在例1中應(yīng)有從B狀態(tài)開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t后機(jī)車的速度vt與t的關(guān)系如下：

t=-ln-（vt-v0）{14}

代入相關(guān)數(shù)據(jù)有：

t=-120ln-（vt-10）{19}

通過(guò)計(jì)算，可以得到如表2。

表 2" 例1中機(jī)車速度隨時(shí)間的變化關(guān)系

計(jì)算發(fā)現(xiàn)速度從10 m/s增加到20 m/s所需時(shí)間為t=33.6558 s，速度從10 m/s增加到30 m/s所需時(shí)間為t=101.8335 s，速度從10 m/s增加到39 m/s所需時(shí)間為t=364.6437 s，顯然，題給條件：經(jīng)過(guò)35 s達(dá)到最大速度40 m/s有科學(xué)性錯(cuò)誤。說(shuō)明例1中數(shù)據(jù)編制的不科學(xué)，建議將例1中的“經(jīng)過(guò)35 s達(dá)到最大速度40 m/s”改成“經(jīng)過(guò)900 s達(dá)到最大速度40 m/s”，這樣修改后此題就是一道科學(xué)的有教學(xué)價(jià)值的習(xí)題。

5" 總結(jié)與啟示

在恒定功率機(jī)車啟動(dòng)的習(xí)題命制過(guò)程中，命題人應(yīng)該注意數(shù)據(jù)的科學(xué)性，要通過(guò)解微分方程來(lái)驗(yàn)證數(shù)據(jù)是否科學(xué)，而不能憑空捏造數(shù)據(jù)。可以通過(guò)文章中給出的方法來(lái)避免題給數(shù)據(jù)不科學(xué)。另一種避免方法是在命制試題時(shí)，題給已知條件中不出現(xiàn)具體的數(shù)值而只出現(xiàn)字母符號(hào)，字母符號(hào)的運(yùn)算不會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)不科學(xué)的問(wèn)題。

高中階段除恒定功率機(jī)車啟動(dòng)類問(wèn)題外，在電磁感應(yīng)中的桿棒模型的習(xí)題編制中也經(jīng)常出現(xiàn)題給數(shù)據(jù)不科學(xué)。因?yàn)樵搯?wèn)題中安培力通常與導(dǎo)體棒的速度有關(guān)系，安培力影響加速度，加速度影響速度，從而又形成速度與加速度循環(huán)影響的問(wèn)題，這種循環(huán)影響導(dǎo)致高中階段的學(xué)生只能定性分析其變化過(guò)程，無(wú)法僅僅通過(guò)牛頓運(yùn)動(dòng)定律進(jìn)行定量求解。同樣的道理，要避免此類問(wèn)題的出現(xiàn)，就必須在編制數(shù)據(jù)時(shí)求解相關(guān)的微分方程，或者在命制試題時(shí)已知條件用字母符號(hào)表示，不出現(xiàn)具體的數(shù)值。

總之，高中物理習(xí)題命制中，當(dāng)習(xí)題中出現(xiàn)速度與加速度循環(huán)影響的情況時(shí)，就要特別注意數(shù)據(jù)編制的科學(xué)性，需通過(guò)求解微分方程檢查數(shù)據(jù)是否科學(xué)，或者題給條件用字母符號(hào)表示。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉彬?qū)W. 教師命題“機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題”時(shí)常犯的科學(xué)性錯(cuò)誤[J]. 數(shù)理化解題研究，2020 （16）： 70-71.

［2］ 彭華超. 淺談機(jī)車恒定功率運(yùn)動(dòng)模型的科學(xué)性與自洽性[J]. 湖南中學(xué)物理，2015 （3）： 83-93.