一堂高三試卷評講課的教學片段與反思

［摘 要］高考數學注重核心素養的考查，尤其是在壓軸題的設置上，更能體現出對學生核心素養的考查。壓軸題是培養學生數學學科核心素養的好素材。怎樣結合壓軸題培養學生的數學學科核心素養，是每一個高三數學教師思考的問題。文章通過展示一堂高三試卷評講課“周考試卷評講課——如何突破壓軸題”的教學片段與反思，為高三數學教師利用壓軸題培養學生的數學學科核心素養提供參考。

［關鍵詞］高三；試卷評講課；教學片段；反思

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0021-04

在“三新”背景下，對學生數學學科核心素養的要求越來越高。數學學科核心素養的培養應該貫穿整個高中數學教學。高考是國家為選拔優秀人才而設置的考試，高考數學注重核心素養的考查，尤其是在壓軸題的設置上，更能體現出對學生核心素養的考查。壓軸題是培養學生數學學科核心素養的好素材。怎樣結合壓軸題培養學生的數學學科核心素養，是每一個高三數學教師應深入思考的問題。

筆者在觀摩了以“周考試卷評講課——如何突破壓軸題”為主題的高三試卷評講課后，深受啟發，現對此課的教學片段進行展示說明。

［教學片段］

一、試卷展示

師：考試是與兩類人對話，一類是命題老師，另一類是閱卷老師。在審題時，我們要揣摩命題老師的命題意圖；在答題時，我們要“取悅”閱卷老師。那怎樣才能做到“取悅”閱卷老師呢？首先要解答正確，其次要卷面整潔、書寫規范。接下來，請同學們欣賞三類試卷。

教師用PPT展示三類試卷：

第一類試卷：書寫規范，卷面整潔，沒有一點涂改痕跡，得分高。

第二類試卷：卷面糟糕，涂畫嚴重，書寫很亂，得分低。

第三類：卷面比較整潔，但是個別書寫不注意。比如把4寫得像[φ]；[2]中的根號不出頭；把[45，63]寫成[63，45]。

師：對于上述三類試卷，你們有什么感受？

生A：干凈整潔的試卷讓人賞心悅目，卷面糟糕的試卷，讓人很難受，以后我在答題時要嚴格要求自己，把卷面寫得規范整潔。

師：很好。我們要向優秀學習，讓自己變得更加優秀。

二、試卷整體評價

三、答題情況統計

1.成績分析

高分秘訣1：少犯錯誤。

高分秘訣2：基礎題、中檔題拿滿分，難題爭取步驟分。

2.試卷情況分析（統計人數73人）

[題號 出錯人數 題號 出錯人數 題號 出錯人數 1 6 7 3 13 2 2 0 8 7 14 12 3 1 9 14 15 25 4 2 10 24 16 65 5 7 11 16 6 1 12 58 ]

提示：基礎不牢，地動山搖。

3.錯因分析

審題之錯：由于審題出現失誤，看漏條件、看錯條件或看錯數字等而出錯。如第16題銳角三角形這一條件沒看到，導致角的范圍沒取好。

計算之錯：由于喜歡口算或心算，不愿意在草稿紙上一步一步地計算而出錯。如第20題第（1）問求軌跡方程，結果出錯。

抄寫之錯：由于書寫不工整，上面寫的字，下面換行時抄錯；在草稿紙上寫對了，往試卷上謄抄時錯了，甚至是選擇題涂答案時涂錯了。

表達之錯：解答題在下結論時沒有嚴格按要求寫而出錯。如求最小值，有些考生在求出范圍后不寫最小值；立體幾何中找點的位置，有的考生寫一個坐標，沒有指出具體位置。

“不夠嚴謹”之錯：在對參數進行分類討論時不嚴密、不完整；忘記“解析幾何中直線方程斜率不存在”這一結論。如第21題第（1）問對[a]的討論不完整，忽略[a=0]。

“不會做”之錯：由于存在知識漏洞或新定義理解不到位，而無從下手。

4.學習重點

個人自救：2，3，4，5，6，13，14，18，19。

小組互助：10，11，15。

重點講解：12，16， 21。

四、錯題分析及糾正

本套試卷的第12、16、21題分別為選擇題、填空題和解答題的壓軸題，學生得分非常低，尤其是第16題，全班幾乎“全軍覆沒”。這樣的壓軸題到底該怎么講？是讓學生再做一遍，還是教師直接講解？如果再給學生做，他們會不會還是做不出來，從而浪費時間？如果教師直接講解，學生會不會被動地聽，達不到預期的教學效果？“授人以魚，不如授人以漁?！苯處熆梢圆捎脝l式教學，教學生如何入題、破題，從而達到解題的目的。

A. [-π4，π4] B. [-π2，π4]

C. [-π4，π2] D. [0，π4]

師：題目中設計的[y=sin（ωx+φ）]與[y=cos（ωx+φ）]兩個函數的相位和初相是相同的，請問在三角函數變換的過程中[φ]和[ω]起什么作用？

生B：[ω]影響函數的周期，與伸縮變換有關，可控制圖象的形狀；[φ]與平移變換有關，會影響圖象的位置。

師：很好。既然[φ]只與平移變換有關，不影響圖象的形狀，那么我們可以先看[y=sinωx]和[y=cosωx]的圖象。大家最熟悉的是[y=sinx]和[y=cosx]，不妨先看它們的圖象。（畫[y=sinx]和[y=cosx]的圖象）

師：以上交點的坐標是多少？

生C：[π4，22]，[5π4，-22]，[9π4，22] …

師：將[y=sinx]和[y=cosx]改為[y=sinωx]和[y=cosωx]，則圖象的交點是多少？結合題意，你還能觀察出什么？

生D：交點為[π4ω，22]，[5π4ω，-22]，[9π4ω，22]…，這個三角形為等腰直角三角形，斜邊上的高為[2]，即為斜邊的一半，所以斜邊是[22]，即周期為[22]。

師：非常好。算出了周期，再觀察一下圖形，那三個交點的坐標是多少？

生E：周期是[22]，所以[ω=π2]，于是交點為[24，22]，[524，-22]，[924，22]。

師：現在可以開始平移了，此時 [y=sin（ωx+φ）=sinπ2x+2πφ]，請問根據題意，向左或向右最多能平移幾個單位？

生F：向左或向右最多能平移[24]個單位。

師：為什么？

生F：因為[-π2lt;φlt;π2]，所以[-22lt;2πφlt;22]，為了保證在[x∈0，522]內有三個點，向左或向右最多能平移[24]個單位。

師：很好?，F在[φ]所滿足的關系式是什么？

生F：[-24lt;2πφlt;24]。

師：很好。答案就是A。

總結與反思：解答這類壓軸題，我們要挖掘變量的本質，一步一步地“退”，退到不能再“退”，這樣變量的本質就出來了。三角函數的圖象與變量的關系要清楚；要橫看周期，豎看振幅，特殊點看初相。

師：給大家兩分鐘將此題整理一下，同時再做一下下面的補漏練習。

補漏練習：已知[ωgt;0]，順次連接函數[y=sinωx]與[y=cosωx]的任意三個相鄰的交點都構成一個等邊三角形，則[ω=]（ ）。

A. [π] B. [6π2] C. [4π3] D. [3π]

師：答案是多少？

生G：B。

［案例2］（第五次周考第16題）銳角[△ABC]中，[a、b、c]為角[A、B、C]所對的邊，點[G]為[△ABC]的重心，若[AG⊥BG]，則[cosC]的取值范圍為" " " " " " "。

師：題目中的哪幾個條件比較關鍵？

生H：銳角、重心和垂直。

師：很好。怎么解讀這三個條件？

生H：看到銳角，我會想到三個內角都是銳角，或三條邊中任何兩邊的平方和大于第三邊?？吹街匦?，我會想到重心的性質：（1）重心是三條中線的交點，并把中線分成2比1；（2）重心的坐標是三角形頂點坐標和的三分之一；（3）向量[GA]、[GB]、[GC]的和為零向量?？吹酱怪?，我會想到勾股定理。

師：非常好。根據生H的分析，大家再看看能否解答該題？

生H：延長[AG]、[BG]分別交[BC]、[AC]于[E]、[D]（如圖3），設[GE=x]，[DG=y]，則[c2=4x2+4y2]，[b24=4x2+y2]，[a24=x2+4y2]，所以[5c2=a2+b2]，又[cosC=a2+b2-c22ab=25ba+ab]，又[c2+a2gt;b2]，[c2+b2gt;a2]，所以[23lt;b2a2lt;32]，由雙勾函數的圖象可知[cosC∈45，63]。

師：很好。按照剛才的條件轉化，很快就可以解決問題。

生I：連接[CG]并延長[CG]交[AB]于點[F]，在找三邊關系式時，根據題意可知[CF=32c]，在△[AFC]中[b2=c24+9c24-2×c2×c4cos∠AFC]，在△[BFC]中[a2=c24+9c24-2×c2×c4cos（π-∠AFC）]，兩式相加得[5c2=a2+b2]，下面的同上。

師：能發現[CF=32c]，再利用兩次余弦定理，非常好。

生J：對[CF=12]（[CA+CB]）兩邊平方，再用一次余弦定理，就可以得到[5c2=a2+b2]。

生H：平行四邊形的對角線平方和等于四條邊的平方和，或者根據中線長定理，很容易得到[5c2=a2+b2]。

學生踴躍發言，但都是圍繞[5c2=a2+b2]進行討論，難道就沒有別的辦法了嗎？垂直就不能轉化成別的了嗎？這時，學習委員（生K）站起來發言了。

生K：我的方法跟他們都不一樣。因為[AG⊥BG]，所以我想到的是點[G]的軌跡是以[AB]為直徑的圓。取[AB]的中點為[O]，則[OC=3OG=32AB]，所以點[C]在以[O]為圓心，[32AB]為半徑的圓上。為了保證△[ABC]為銳角三角形，則點[C]只能在[DE]上或對稱的下方（如圖4），由對稱性可知，當點[C]在[D]或[E]時，角[C]最小；當點[C]在[F]時，角[C]最大。根據等量關系可以求出[cosC∈45，63]。

師：非常好。生K跳出了三角形，借助圓得到了答案，為他點贊。你能證明你所求的取值范圍的正確性嗎？

生K：可采用坐標法，以[O]為原點，[AB]所在直線為[x]軸，建立直角坐標系，設[AB=2]，則[C]的軌跡為 [x2+y2=9（-1lt;xlt;1）]，[cosC=CA·CB2CACB=425-x2∈45，63]。

生A：以[GA]、[GB]分別為[x]軸和[y]軸建立直角坐標系，設[A（m，0）][，B（0，n）]，則[C]為（-m，-n），[cosC=CA·CB2CACB]可以表示成[m]、[n]的函數。再利用三個內角都是銳角，等價于向量的數量積大于0，求出[m]、[n]滿足的不等式，進而求出范圍。

師：很棒！建立直角坐標系遵循對稱和垂直的原則，生A做得非常好，希望大家再動手算算。

總結與反思：該類壓軸題條件繁多，要逐個擊破，任何一個單一的條件大家都理解，但是放在一起也要能整合信息，達到解題的目的。三角形與向量是一個很好的結合點，能夠很好地考查學生的數學學科核心素養。

師：請用兩分鐘的時間整理，并解答下面的題目。

題目：如圖5，已知[O]為[△ABC]的重心，[∠BOC=90°]，若[4BC2=AB·AC]，則[A]的大小為" " " " " " " " "。

生B：[π3]。

師：這套試卷的兩道壓軸題恰好都是考查三角，下面我們看看高考重點考查三角的哪些知識和題型。

五、鏈接高考

三角的考查每年都不一樣，題目有易有難，主要考查三角函數公式的熟練運用、平移、圖象性質、化簡求值、解三角形等問題（含應用題）。2024年九省聯考數學試題中考查了兩道三角題，即第7題和第9題，第7題考查恒等變換，第9題考查三角函數性質。下面給出近三年高考及聯考中的部分三角小題。

[年份 " "題目 2024年九省聯考 7.已知[θ∈3π4，π，tan2θ=-4tanθ+π4]，則[1+sin2θ2cos2θ+sin2θ=]（ ）。

A. [14] B. [34] C. 1 D. [32]

9.已知函數[f （x）=sin2x+3π4+cos2x+3π4]，則（ ）。

A. 函數[fx-π4]為偶函數

B. 曲線[y=f（x）]的對稱軸為[x=kπ，k∈Z]

C. [f（x）]在區間[π3，π2]單調遞增

D. [f（x）]的最小值為-2 2023年高考全國甲卷 10. 已知[f（x）]為函數[y=cos2x+π6]向左平移[π6]個單位所得函數，則[y=f（x）]與[y=12x-12]的交點個數為（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2023年高考全國乙卷 6.已知函數[f（x）=sin（ωx+φ）]在區間[π6，2π3]單調遞增，直線[x=π6]和[x=2π3]為函數[y=f（x）]的圖象的兩條對稱軸，則[f-5π12=]（ ）。

A. [-32] B. [-12] C. [12] D. [32] 2023年高考新課標Ⅰ卷 8.已知[sin（α-β）=13，cosαsinβ=16]，則[cos（2α+2β）=]（ ）。

A. [79] B. [19] C. [-19] D. [-79] 2022年新高考Ⅰ卷 6.記函數[f（x）=sinωx+π4+b（ωgt;0）]的最小正周期為[T]。若[2π3lt;Tlt;π]，且[y=f（x）]的圖象關于點[3π2，2]中心對稱，則[fπ2=]（ ）。

A. 1 B. [32] C. [52] D. 3 ]

師：這節課只講這兩道壓軸題，解答題的壓軸題第21題下次再講。由于高考是選拔性考試，每年的高考數學都設有2到3道壓軸題用來考查學生的數學學科核心素養。在高考的備考中，我們要學會突破壓軸題。通過平時的練習，我們應讓自己能夠靜心，淡定地去分析、計算。

［教學反思］

這節課是試卷評講課，就題目評講而言，知識和方法都講清楚了，師生互動較好，體現了以教師為主導、學生為主體。通過兩個案例的教學實現了預期的教學目標，能夠引導學生有效突破壓軸題。通過一題多解，學生學會融會貫通，體會知識的聯系。不足之處是兩個補漏練習的難度小于例題，可以作為解答例題的引例。補漏練習還可以再找一些相近的或難度較大的題目。

（責任編輯" " 黃春香）