例析二次函數(shù)中常見的角度問題

［摘 要］二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)考試的高頻考點(diǎn)。其中，二次函數(shù)中的角度問題是一類常見題型。文章結(jié)合實(shí)際問題，對(duì)初中數(shù)學(xué)考試中常出現(xiàn)的特殊角問題、角的和差問題、角倍數(shù)問題、相等角度問題等進(jìn)行總結(jié)歸納，以期提高學(xué)生的解題效率。

［關(guān)鍵詞］二次函數(shù)；角度問題；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）17-0032-03

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)考試的高頻考點(diǎn)，其中一些二次函數(shù)問題會(huì)考查二次函數(shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)，但更多的是以二次函數(shù)為背景，聯(lián)合其他知識(shí)（如一次函數(shù)、幾何圖象、動(dòng)點(diǎn)等）進(jìn)行考查?？荚囍谐３?huì)遇到以二次函數(shù)為背景探索角度關(guān)系的問題。本文結(jié)合實(shí)際問題，對(duì)二次函數(shù)中常見的幾類角度問題進(jìn)行總結(jié)。

一、特殊角問題

特殊角問題是一類較為常見的問題，也是難度較低的一類問題。這類問題的常見考查方法為在已知二次函數(shù)的條件下，求與已知線段成某一特殊角時(shí)，角的一邊與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)。在實(shí)際的解題過程中，需要挖掘題目的已知信息，將直線的解析式與二次函數(shù)的解析式進(jìn)行聯(lián)立求解。

［例1］如圖1所示，拋物線[y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）]與[x]軸交于點(diǎn)[A、B]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，已知[B（3，0）]。

（1）求[m]與直線[BC]的解析式；

（2）[Q]為拋物線上一點(diǎn)，若[∠ACQ=45°]，求點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)。

解析：（1）將[B（3，0）]代入[y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）]，化簡(jiǎn)得[m2+m=0]，則[m1=-1]或[m2=0]（舍去），

令[x=0]，可得[y=-3]，則[C（0，-3）]，

則直線[BC]的解析式為[yBC=x-3]。

（2）取點(diǎn)[Q]使[∠ACQ=45°]，過點(diǎn)[A]作[AD⊥CQ]于點(diǎn)[D]，過點(diǎn)[D]作[DF⊥AB]于點(diǎn)[F]，過點(diǎn)[C]作[CE⊥FD]交[FD]延長(zhǎng)線于點(diǎn)[E]（如圖2），可判斷[△CDE]與[△DAF]全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可得[AF=DE]，[CE=DF]，

設(shè)[AF=DE=a]，

則[CE=FD=a+1]，

因?yàn)閇OC=3]，

所以[FD=3-a]，

所以[a+1=3-a]，可得[a=1]，

所以[D（2，-2）]。

又[C（0，-3）]，

所以[yCD=12x-3]，

聯(lián)立[y=12x-3，y=-x2+4x-3，]

解得[x1=72，y1=-54]和[x2=0，y2=-3，]

所以點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)為[72，-54]。

評(píng)注：（1）通過代入法，可以直接求得[m]的值，進(jìn)而可得點(diǎn)[C]的坐標(biāo)，從而求得直線[BC]的解析式為[yBC=x-3]。（2）中已知[∠ACQ=45°]，可知本題重點(diǎn)在于求直線[CD]的解析式，此時(shí)需要添加輔助線，根據(jù)[△CDE ]≌[△DAF]求點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，進(jìn)而聯(lián)立兩個(gè)解析式，便可以確定點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)。

二、角的和差問題

角的和差問題主要涉及角度間的加減關(guān)系，既有運(yùn)算求解題，也有證明題。角的和差問題主要借助幾何性質(zhì)，將題目中所涉及的角度和差轉(zhuǎn)換為具體的角，而后進(jìn)行解題。解題時(shí)需要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、外角定理等知識(shí)點(diǎn)。

［例2］如圖3所示，拋物線[y=13x2-2x]交[x]正半軸于點(diǎn)[A]，頂點(diǎn)為[M]，直線[y=-12x+b]過點(diǎn)[A]，交[y]軸于點(diǎn)[B]，連接[OM]。

（1）求[b]與點(diǎn)[M]的坐標(biāo)；

（2）直線[AB]向下平移至過點(diǎn)[M]，得直線[y=mx+n]，交[x]軸負(fù)半軸于點(diǎn)[C]，取點(diǎn)[D（2，0）]，連接[DM]，求證：[∠ADM-∠ACM=45°]。

解析：（1）拋物線[y=13x2-2x]經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)[A]，令[y=0]，則點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（6，0）]，可得頂點(diǎn)[M（3，-3）]，將點(diǎn)[A]坐標(biāo)代入[y=-12x+b]，可得[b=3]。

（2）如圖4所示，直線[AB]向下平移，過點(diǎn)[M（3，-3）]，

此時(shí)直線與[y=-12x+3]斜率相同，即[k=-12]，

則平移后直線的解析式為[y=-12x-32]，

[∠ADM]可視為[△CDM]的一個(gè)外角，

則[∠ADM-∠ACM=∠DMC]，

過點(diǎn)[D]作[CM]的垂線，垂足為[H]（如圖4），

易得直線[DH]的解析式為[y=2x-4]，

可解得點(diǎn)[H]的坐標(biāo)為[（1，-2）]，

則[DH=5，HM=5]，

可得[DH=HM]，

即[△DHM]為等腰直角三角形，則[∠DMC=45°]，

則[∠ADM-∠ACM=45°]。

評(píng)注：（1）已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)[A]，通過令[y=0]，可得點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（6，0）]，通過對(duì)其進(jìn)行整理，可得頂點(diǎn)[M（3，-3）]，代入[y=-12x+b]可得[b=3]。（2）中直線[AB]向下平移，通過作輔助線形成[∠ADM]、[∠ACM]。平移后直線的解析式為[y=-12x-32]，而后確定[∠ADM]、[∠ACM]的角度關(guān)系，[∠ADM-∠ACM=∠DMC]，進(jìn)而等角轉(zhuǎn)換，而后通過構(gòu)建等腰直角三角形確定[∠DMC=45°]。

三、角倍數(shù)問題

角倍數(shù)問題中往往會(huì)涉及一個(gè)角是另一個(gè)角的幾倍問題，解題時(shí)需要靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，如角平分線及等腰三角形、等邊三角形等相關(guān)性質(zhì)。另外，有些題目還需要借助相關(guān)圖形的對(duì)稱性、引入輔助圓等方法將倍角問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而有效解題。

［例3］如圖5所示，二次函數(shù)[y=ax2+bx+4（a≠0）]的圖象經(jīng)過點(diǎn)[A（-4，0），B（1，0）]，交[y]軸于點(diǎn)[C]，[P]為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接[BP、AC]，過點(diǎn)[P]作[PD⊥x]軸于點(diǎn)[D]。

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接[BC]，[∠DPB=2∠BCO]時(shí)，求直線[BP]的表達(dá)式。

解析：（1）二次函數(shù)[y=ax2+bx+4]經(jīng)過點(diǎn)[A、B]，將[A（-4，0），B（1，0）]兩點(diǎn)代入表達(dá)式，可解得[y=-x2-3x+4]。

（2）如圖6所示，設(shè)[BP]與[y]軸交于點(diǎn)[E]，可得[∠DPB=∠OEB]，因?yàn)閇∠DPB=2∠BCO]，

所以[∠OEB=2∠BCO]，

所以[∠ECB=∠EBC]，

所以[BE=CE]，

設(shè)[OE=a]，則[BE=CE=4-a]，

在[Rt△BOE]中，由勾股定理得[（4-a）2=a2+12]，

可解得[a=158]，所以[E0，158]，

設(shè)[yBP=kx+e（k≠0）]，

則[e=158，k·1+e=0，]解得[k=-158，e=158，]

所以[yBP=-158x+158]。

評(píng)注：（1）借助待定系數(shù)法，將點(diǎn)[A（-4，0）]，[B（1，0）]代入二次函數(shù)[y=ax2+bx+4]中便可得到二次函數(shù)的解析式。（2）中通過轉(zhuǎn)化，根據(jù)角度關(guān)系可得[BE=CE]，將問題轉(zhuǎn)化至[Rt△BOE]中，由勾股定理可得[E0，158]，通過設(shè)直線的解析式，則可得[yBP=-158x+158]。

四、相等角度問題

角度相等是一個(gè)常見的命題情景，在實(shí)際的解題中需要學(xué)生結(jié)合題目信息，重點(diǎn)分析一些特殊的圖形，靈活運(yùn)用三角形的全等、相似以及輔助圓等完成角度轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解題。

［例4］拋物線[y=ax2-2ax+c]過點(diǎn)[A（-1，0）]，[C（0，3）]，與[x]軸的另一交點(diǎn)為[B]，頂點(diǎn)為[D]。

（1）求點(diǎn)[D]的坐標(biāo)；

（2）如圖7所示，[AC]與[BD]的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)[H]，[x]軸上方拋物線上存在一點(diǎn)[P]，使[∠OPB=∠AHB]，試求出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。

解析：（1）拋物線[y=ax2-2ax+c]過點(diǎn)[A（-1，0）]，[C（0，3）]，運(yùn)用待定系數(shù)法，可得[y=-x2+2x+3]，易得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為[D（1，4）]。

（2）根據(jù)[y=-x2+2x+3]可得[B（3，0）]，[C（0，3）]，則直線[DB]的解析式為[y=-2x+6]，直線[AC]的解析式為[y=3x+3]，兩式聯(lián)立可得點(diǎn)[H35，245]，

過點(diǎn)[A]作[HB]垂線，垂足為[N]，如圖8所示，

易得直線[AN]的方程為[y=12x+12]，

將其與直線[DB]的解析式[y=-2x+6]聯(lián)立，

可得點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[115，85]，

由點(diǎn)[A、N、H]的坐標(biāo)可知存在[AN=HN]，

[△AHN]為直角三角形，則[∠H=45°]，

過點(diǎn)[P]作[x]軸的垂線，垂足為[R]，如圖9所示，

在[x]軸上取點(diǎn)[S]，使[RS=PR]，則[∠RSP=45°]，

設(shè)[P（n ，-n2+2n+3）]，則[S（-n2+3n+3，0）]，

若[∠OPB=∠AHB=45°]，

則在[△OPS]和[△OPB]中，[∠POS=∠POB]，[∠OSP=∠OPB]，

∴[△OPS ]∽[△OBP]，

∴[OPOB=OSOP]，即[OP2=OB·OS]，

故[n2+（n+1）2（n-3）2=3（-n2+3n+3）]，

可得[n=1±52]或[n=0]或[n=3]（舍去）

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)[P]，其坐標(biāo)為[（0，3）]或[1+52，5+52]或[1-52，5-52]。

評(píng)注：本題已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)[A（-1，0）]，[C（0，3）]，借助待定系數(shù)法可直接解得[y=-x2+2x+3]，頂點(diǎn)坐標(biāo)為[D（1，4）]，同時(shí)可以求得[B（3，0）]，則可得直線[DB]的解析式[y=-2x+6]和直線[AC]的解析式[y=3x+3]，聯(lián)立兩式得[H35，245]；而后通過作輔助線首先證明[∠H=45°]，借助[△OPS ]∽[△OBP]以及根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，可得[n=1±52]，則可求得滿足條件的點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[（0，3）]或[1+52，5+52]或[1-52，5-52]。

本文總結(jié)了二次函數(shù)中常見的幾類角度問題，即特殊角問題、角的和差問題、角倍數(shù)問題、相等角度問題。雖然各類角度問題的解答方法有所不同，但均需要學(xué)生靈活運(yùn)用角度轉(zhuǎn)化、相似三角形、三角形內(nèi)角和等知識(shí)。在實(shí)際的解題過程中，還需要學(xué)生能夠結(jié)合題目信息，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而快速解答問題。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

［1］" 謝潤(rùn)忠.二次函數(shù)之角度相等問題的求解策略［J］.理科愛好者，2023（5）：74-76.

［2］" 王麗華.二次函數(shù)中的角度問題［J］.今日中學(xué)生，2023（33）：33-37，48.

［3］" 張建華.二次函數(shù)背景下角度問題的解法探究：以2021年中考試題為例［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（21）：30-32，41.

（責(zé)任編輯" " 黃春香）