基于量子計算的靈活編組列車大小交路混合運行優化方法

摘要：靈活編組模式下列車時刻表和大小交路策略的聯合優化問題受到列車時刻表、乘客動態方程和列車靈活編組等相關條件制約，各約束相互耦合增加了問題的復雜性和計算求解的難度，傳統優化方法求解該問題將變得較為困難。本研究將量子計算應用于該問題，以最小化線路上所有車站的滯留乘客數量為目標，建立了混合整數非線性規劃模型，設計數值實驗并利用相干伊辛機真機對模型進行求解。結果表明，相干伊辛機真機在運行效率和優化性能上相比較于其他經典算法具有明顯的優勢。

關鍵詞：城市軌道交通；靈活編組；量子計算；大小交路；時刻表優化

中圖分類號：U298.5文獻標志碼：A文章編號：1002-4026（2024）06-0094-10

隨著近年來城市規模的快速增長，城市軌道交通系統面臨著一些新的問題，其中之一就是如何更好地匹配乘客的動態出行需求。由于客流需求在空間和時間維度上具有明顯的不均衡性，在早高峰時段，一些特定車站的乘客需求總是過飽和，導致部分乘客滯留在這些車站，而其他車站的乘客需求較少，易造成運力資源的浪費。為了進一步提高城市軌道交通的服務質量，降低運營成本，以大小交路混合運行和列車靈活編組為代表的動態運行調整策略成為近年來研究的熱點[1-3]。

列車大小交路混合運行模式，指的是在既有的大交路運行的基礎上，在客流需求較大的區段增加小交路的列車服務，執行小交路服務的列車僅在這一區段內往返運行。該模式可以有效地滿足乘客需求的時空不均衡特征，因此許多學者對列車大小交路策略展開了研究[4-5]。Yang等[6]建立了列車時刻表優化模型，結合一種新穎的靈活大小交路運行模式，最小化乘客總出行時間。Zhu等[7]在考慮乘客到達的不確定性基礎上，構建了結合列車時刻表和大小交路策略的優化模型。列車靈活編組策略指的是線路上的列車可以根據動態的乘客需求靈活調整組成列車的編隊數量，從而更好地匹配不平衡的乘客需求。近年來，如何優化列車靈活編組策略成為城市軌道交通的熱門研究課題[8-9]。Pan等[10]提出基于列車靈活編組模式的聯合優化模型，同時優化列車時刻表和車輛循環計劃以更好地匹配乘客需求和提高運輸能力。Zhou等[11]提出了一個混合整數線性規劃（MILP）模型來共同優化列車時刻表和車輛循環計劃，其中特別考慮了靈活的列車編組模式，并且開發了一種基于可變鄰域搜索的啟發式算法來求解。

列車靈活編組與大小交路進行聯合優化問題中各約束條件間的相互耦合，傳統的優化求解方法需要先將0-1變量進行線性化后再進行求解，計算的復雜性大大增加。因此需要使用更高效的計算方法對模型進行求解。量子計算是一種利用量子力學原理的計算方法，使用量子比特（qubit）來進行信息存儲和處理。與經典計算機使用的經典比特（bit）只能處于0或1的狀態不同，量子比特可以同時處于0和1的疊加態，這使得量子計算機在處理特定問題時具有獨特的優勢。相干伊辛機（coherent Ising machine， CIM）是一種使用光量子的量子計算方案，是目前的研究熱點之一[12]。CIM利用相干光場的演化來模擬伊辛模型，通常用于解決組合優化問題，能夠通過量子糾纏和量子并行性質來更高效地搜索解空間。Atsushi等[13]研究了相干伊辛機在組合優化問題中的原理與實現，并通過數值實驗證實了相關的理論。文凱等[14]將光量子計算應用在金融領域中，研究量子計算在信用評分場景下的應用，改進了金融數據預處理的方式，創新性地使用量子計算機來求解特征選擇的二次無約束二值優化模型。

綜上可以看出，研究人員針對大小交路混合運行模式下的列車時刻表優化問題和面向靈活編組的時刻表優化問題已經展開了廣泛的研究[15]。但其使用的求解方法多為經典的優化求解方法，經典算法通常需要較長的運行時間，并且還會出現無法產生最優解的情況。為了解決以上問題，本文引入量子計算的求解方法，將原模型轉化為二次無約束二值優化模型，設計數值實驗并利用相干伊辛機真機對問題進行求解，驗證該方法的可用性和高效性。

1問題描述

本文主要研究由2I個站點組成的城市軌道交通系統中的雙向線路，城市軌道交通線路的布局和列車服務方式如圖1所示，上行方向的始發站與終點站分別為1站和I站，下行方向始發站與終點站分別為I+1與2I站。小交路區域為1站到a站與b站到2I站。將車站1與車站a間的車站定義為車站集合I1，運行在此區域的列車服務集合定義為K1，k1為列車服務索引；將車站a+1與車站b－1間的車站定義為車站集合I2，運行在此區域的列車服務集合定義為K2，k2為列車服務索引；將車站b與車站2I間的車站定義為車站集合I3，運行在此區域的列車服務集合定義為K3，k3為列車服務索引。列車在地鐵線路的始發站和終點站之間運行并在車站為乘客提供出行需求，稱作一個列車服務，每個列車服務都需要由一個列車承擔，不同的列車服務可以由同一個列車承擔。

在通過a站之后列車根據客流情況可以選擇兩種路線執行服務，一是小交路，即所有的車隊不解編全部駛向車站b，如圖1（a） 所示；二是列車進行解編，解編后的前一車隊行駛向車站a+1，后一車隊行駛向車站b，如圖1（b）所示。實際運行過程中，解編和不解編的情況會同時出現，此時的列車運行狀態，如圖1（c）所示。默認始發的列車服務由兩個車隊組成，解編之后成為兩個單獨的車隊，并標識為兩個列車服務，列車編組方式如圖2所示。

根據以上分析，列車根據乘客的需求來決定其是否需要解編，并確定列車服務的區域。最終目標是將客流與有限的列車資源相匹配，提高乘客滿意度，同時減少不必要的列車資源浪費，以提高列車的服務水平。研究中已知的參數有：運營中的列車數量、線路中的車站數量、單個車隊的最大通過能力、每個車站的乘客到達率、大小交路的區域劃分，以及相鄰車站之間的運行時間。為建立所研究問題的數學模型，本文做了如下假設：

（1）線路上任何一個車站都不存在越行行為，每個車隊的運力是相同的，與是否需要解編、大小交路運行無關。

（2）乘客總是選擇直達目的地車站的列車服務，而不是在不同類型的列車服務之間轉乘。

（3）列車只允許在a站之后的道岔區域進行解編操作。列車從a站發車后，只有上述兩種選擇，不存在運行路線為大交路而不解編的情況。

（4）允許列車上的乘客根據列車將要執行解編策略在列車內移動，以完成其出行需求。

2數學模型

2.1與時刻表相關的約束

首先建立與列車運行相關約束，

ti，k=ti－1，k+ri－1+xi，k，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3 ，（1）

其中，ti，k表示列車服務k在i站的發車時間，ri－1表示列車服務在i－1站與i站之間的運行時間，xi，k表示列車服務k在i站的停站時間。特別地，對于在a+1站的列車服務的發車時間可以通過列車服務k2到達a+1站的時間與在其在a+1站停留的時間之和得到：

ta+1，k2=da+1，k2+xa+1，k2，k2∈K2 ，（2）

同理，可以表示b站的發車時間：

tb，k3=db，k3+xb，k3，k3∈K3 ， （3）

定義變量di，k表示列車服務k到達i站的時間，可以由公式（4）表示：

di，k=ti－1，k+ri－1，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3，（4）

即列車服務k到達i站的時間由其在i－1站的發車時間以及在i－1站到i站的站間運行時間相加得到，常量ri－1表示i－1站到i站的運行時間。

特別地，還需要增加一些不同服務之間的銜接約束，來表明服務k1，k2，k3之間的列車承接關系。由于列車服務k2都承接自列車服務k1，因此其在a+1站的到站時間表示如下：

da+1，k2=ta，k1+ra，k1∈K1，k2∈K2，（5）

若列車服務k3承接自k1，則其到達b站時間為其承接的列車服務k1在a站的發車時間與列車在a站與b站之間的運行時間Ta，b之和，Ta，b設置為常量。這個過程表示為：

db，k3=ta，k1+Ta，b，if ξk1，k3=1，k1∈K1，k3∈K3，（6）

其中，ξk1，k3表示列車服務k1與k3的承接關系，為1即為承接。若列車服務k3承接自k2列車服務，可以通過公式表示到站時間：

db，k3=tb－1，k2+rb－1，if ξk2，k3=1，k2∈K2，k3∈K3，（7）

其中，rb－1表示列車在車站b－1到車站b之間的運行時間。

此外，相鄰列車在實際運行過程中應滿足最大和最小追蹤間隔，以保證乘客滿意度與運行安全。使用thmin表示最小的追蹤間隔，thmax表示最大的追蹤間隔。相鄰列車服務間的追蹤間隔應該滿足：

thmin≤ti，k－ti，k－1≤thmax，i∈I1，k，k－1∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3。（8）

2.2與乘客動態方程相關約束

基于列車時刻表建立動態客流模型，在k－1與k列車服務之間到達i站的乘客數量與相鄰兩個服務的時間間隔以及當前車站的乘客到達率有關，表示為：

ai，k=μi，kti，k－ti，k－1，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3，（9）

其中，μi，k表示在列車服務k－1發車與列車服務k發車期間，i站的乘客到達率。定義wi，k表示在i站等待列車服務k的乘客數量，該變量可以表示為：

wi，k=si，k－1+ai，k，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3。（10）

等待乘客由兩部分構成，一部分是在k－1服務離開之后k服務到達之前這段時間到達i站的乘客ai，k，第二部分為在高峰時期，除到站乘客外，等待乘客還包括因沒有列車服務通過車站或運力有限而未能成功登上前一趟列車的滯留乘客，定義為si，k，特別地，線路的終點站沒有等待乘客，即wI，k=w2I，k=0。滯留乘客用以下公式表示：

si，k=wi，k－gi，k，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3，（11）

其中，gi，k表示在i站成功登上列車服務k的乘客數量。定義pi，k表示在列車服務k離開i站時，列車上的乘客數量，通過乘客上下車的行為定義車內的乘客動態變化過程可以表示為：

pi，k=pi－1，k+gi，k－li，k，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3。 （12）

成功登車的乘客數量與列車服務k是否服務i站和到達i站時列車的剩余運力兩個因素有關。這個過程可以表示為：

gi，k=minwi，k，εkC－pi－1，k+li，kαi，k，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3，（13）

其中，εk表示組成k列車服務的車隊數量，C表示單個車隊的最大運力，整個服務的最大運力表示為εkC，那么可以得出εkC－pi－1，k+li，k表示在i站時列車服務k的剩余運力情況。特別地，線路的終點站沒有乘客上車，即gI，k=g2I，k=0。其中，αi，k是一個二進制變量，表示列車服務k是否通過i站，通過i站則表示能夠為i站提供服務。具體可以表示為：

其中，變量li，k表示列車服務k停留在i站時下車的乘客數量，并且假設該數量與當前列車服務上的乘客數量成一定的比例，使用λi，k來表示這一比例。與成功登車乘客的表述類似，對i站下車的乘客數量的計算也需要考慮列車是否服務于該站，表述如下：

li，k=λi，kpi－1，kαi，k，i∈I1，k∈K1 or i∈I2，k∈K2 or i∈I3，k∈K3。 （15）

2.3大小交路與列車編組相關的約束

建立解編和交路運行相關約束。定義二元邏輯變量γk，用來表示列車服務k是否解編：

當列車在道岔前發生解編時，組成列車服務的車隊數會相應的發生變化，解編后的車隊數量為1，不解編為2，車隊數量計算遵循以下公式：

根據本文研究的場景，列車服務k1的車隊數量恒為2；列車服務k2的車隊數量與其是否解編有關，若解編則車隊數量為1，若不解編則表示沒有列車執行大交路服務，此時車隊數量為0；列車服務k3的車隊數量需根據其來承接的服務進行區分，若其承接于k2則車隊數與所承接的列車服務k2的車隊數量保持一致，若其承接自列車服務k1，則其車隊數量與所承接的k1是否解編有關，解編情況下車隊數量為1，不解編情況下車隊數量為2。

根據定義的站點的區域變量以及列車服務運行的區段情況，可以表示列車在每個車站的停靠情況，即站點是否有列車服務經過：

區域I1恒有列車執行服務，即αi，k1=1；區域I2是否有列車服務與列車是否解編一致，若解編，則αi，k2=1，否則為0；對于區域I3，若其服務承接于k1則肯定有列車服務經過，此時αi，k3=1，若其列車服承接于k2，則是否有服務情況與k2保持一致，即αi，k3=αi，k2=γk。

2.4目標函數

在城市軌道交通系統中，各站點滯留乘客總數是評價運營方案服務質量的重要指標。為了提高乘客滿意度，應盡量減少每個車站的滯留乘客數量。當線路客流較大時，可通過減少相鄰車站之間的發車間隔來增加列車發車次數。對于大交路區域內的車站，可以通過確定列車是否執行小交路區域的服務來平衡客流，以減少車站的滯留乘客數量。目標函數可以表示為最小化線路上所有車站的滯留乘客之和：

3求解方法

3.1場景簡化

在這一部分，為使用量子計算的方式對模型進行求解，需對研究場景進行簡化，并對原模型進行轉化，將其轉為（quadratic unconstrained binary optimization， QUBO）模型。在保留大小交路與靈活編組特征的前提下，將原場景簡化為上下行各3個站點，其中小交路區域包括a－1，a，b，b+1車站。從a－1站發出的列車服務數量為2，列車可在a站根據客流需求決定是否編組，以盡可能減少線路上的滯留乘客。簡化后的線路布局如圖3所示。車站a－1到a中的兩次列車服務記為k=1，k=2。車站a+1和b－1有兩次可能的列車服務，分別記為k=1s，k=2s。從車站b到b+1有4次可能的列車服務k=1，k=2，k=1s，k=2s，假設4列車到達b站的先后順序為k=1，k=2，k=1s，k=2s。

3.2滯留人數分析

為更清晰表述列車編組策略及大小交路運行方案對滯留乘客的影響，本小節結合3.1節的簡化場景對各站的滯留乘客作進一步說明。

3.2.1b－1站的滯留人數

b－1站的滯留人數在各個車次到站時可以表示為：如果1車不解編，則為該車站的到達人數; 如果1車解編，有一個車隊提供服務，滯留人數為當前站臺人數（即自開始服務時間的到達人數）減去單車隊容量：

sb－1，1s=（1－γ1）×Ab－1，1s，prev+γ1×max（0，Ab－1，1s，prev－C），（20）

其中，各站開始服務時間對應的索引為prev， Ab－1，1s，prev表示從列車服務k=1s發車到prev發車期間車站b－1的到達人數。

如果2車不解編，滯留人數為上一列車的滯留人數加上從列車服務k=1s到k=2s時間段內到達的人數；如果2車解編，滯留人數為上一列車的滯留人數加上從k=1s到k=2s時間段內到達的人數減去單車隊容量（取滯留人數≥0的部分）：

sb－1，1s=（1－γ2）×（sb－1，1s+Ab－1，2s，1s）+γ2×max（0，sb－1，1sAb－1，2s，1s－C）。（21）

3.2.2b站的滯留人數

在各列車到站時b站的滯留人數可以表示為：如果1車不解編，有兩個車隊的容量容納當前b站滯留乘客（初始到達乘客），如果滯留乘客小于容量，則當次車離開后滯留人數為0；如果1車解編，有一車隊的容量，如果滯留乘客小于列車容量，則該列車離開后滯留人數為0：

sb，1=γ1×max（0，Ab，1，prev－C）+1－γ1×max（0，Ab，1，prev－2C）。（22）

如果2車不解編，有兩隊車的容量容納當前b站滯留乘客（上一列車滯留乘客加到達乘客）；如果2車解編，有一隊車的容量，如果滯留乘客小于列車容量，則當次車離開后滯留乘客為0：

sb，2=max（0，sb，1+Ab，2，1－C×（2－γ2））。（23）

若1車不解編，滯留乘客為上一列車服務的滯留乘客加上從列車服務k=1s到該列車服務間的到達乘客；如果1車解編，為當前站臺人數減去車內的容量（上一站乘客上車后的車內剩余容量加上b站下車人數）：

sb，1s=sb，2+Ab，1s，2－γ1×（max（C－Ab－1，1s，prev，0）+min（C，Ab－1，1s，prev）×DR［b］） ，（24）

其中DR[b]為在站點b下車比例。

如果2車不解編，滯留乘客為上一列車服務k=1s的滯留乘客加上從k=1s到k=2s期間的到達乘客；如果2車解編，滯留乘客為當前站臺人數減去車內的容量（上一站乘客上車后的車內剩余容量加上b站下車人數）：

sb，2s=sb，1s+Ab，2s，1s－γ2×（max（C－（Ab－1，2s，1s+sb－1，1s），0）+（C－max（C－（Ab－1，2s，1s+sb－1，1s），0））×DR［b］）。 （25）

綜上，總的滯留乘客即為線路上各站各列車服務滯留乘客之和。

3.3模型轉化

為使用量子計算的方式對模型進行求解，需對原模型進行一定的轉化。首先是將原模型轉化為QUBO模型，對模型進行一些預求解操作以降低模型的復雜度。以sb，2s為例，使用max（C－（Ab－1，2s，1s+sb－1，1s），0）表示列車剩余容量，取y∈0，1，因此：

u=y×（C－（Ab－1，2s，1s+sb－1，1s）），（26）

sb，2s=sb，1s+Ab，2s，1s－γ2（u+（C－u）×DR［b］）。 （27）

如果uup≤0，則可以令y=0，此時u恒為0；如果ulow≥0，則可令y=1，此時u為一線性項，sb，2s次數為2；如果ulowlt;0lt;uup，則添加以下約束：

ulow×（1－y）≤C－（Ab－1，2s，1s+sb－1，1s）≤uup×y。 （28）

此時sb，2s的表達式中次數為3，需要1個比特降階。由此即完成sb，2s的QUBO模型轉化，其他站點及列車的滯留乘客數QUBO轉化如以上步驟所示。

進一步，將QUBO轉化為伊辛模型，以便能直接使用相干伊辛機真機CIM對模型求解。CIM為基于簡并光學參量振蕩器的光量子計算機，可以用來處理伊辛模型。伊辛模型描述了物質相變的隨機過程，其數學形式為：

其中，σ為待求自旋變量，取值為{-1；+1}，H為哈密頓量，J和μ分別為二次型系數和線性項系數，是已知量。QUBO模型便于建模，伊辛模型便于求解，通過公式即可將QUBO模型等價轉為伊辛模型以使用相干伊辛機真機求解：

4數值實驗

根據第3節將原模型進行轉化后，使用圖3所示的簡化后場景進行一組數值實驗，該實驗中的客流特征與早高峰客流特征保持一致，以盡可能真實地模擬城市軌道交通早高峰的運營場景。利用基于光量子計算的相干伊辛機真機求解。各站所設置的下車率、乘客到達率以及站間運行時間如表1所示。

真機求解的結果為兩車均不解編，目標函數值為38.4，求解時間為0.133 9 ms。根據實驗結果，在當前客流需求下兩車實行均不解編的運行策略，即均執行小交路服務，可以最小化線路上總的滯留乘客，提高了運行效率。在圖4中繪制了CIM真機求解過程中，解的哈密頓量隨時間變化的曲線，展示了問題求解的動態過程。曲線呈現出在不同時間點哈密頓量的變化趨勢，揭示了相干伊辛機在搜索解空間中的演化過程。實驗結果顯示在第103圈時真機找到了最優解，表明相干伊辛機在非常短的時間內成功收斂到問題的最優解。真機每圈所需的時間為1.3 μs，總體耗時為0.133 9 ms，這顯示了相干伊辛機在高效求解列車編組問題上的強大性能。

圖5為真機求得的最優解的示意圖。值得說明的是，在真機實驗中將QUBO模型最后轉換成了對應的最大割問題。圖5中的點有兩種顏色，藍色和綠色，分別代表圖中的點被劃分到兩個集合中，即對應的變量取值為1和0。

通過對原問題使用相干伊辛機（CIM）， Gurobi求解器， 模擬退火（simulated annealing， SA）， 禁忌搜索（Tabu） 4種算法進行求解，在圖6中展示了各算法的運行時間和相應的目標函數值（滯留人數）。結果顯示，CIM算法表現出極低的運行時間（0.133 9 ms）和最優的目標函數值（38.4），表明其在問題求解效率和優化性能上具有顯著優勢。Gurobi算法雖然在目標函數值方面表現一致，但運行時間相對較高（30 ms），比CIM真機慢了224倍。SA算法展現了較好的目標函數值（38.4）和最長的運行時間（4 240.1 ms），表明其在找到解上相對耗時較長。Tabu算法在目標函數值上表現最差（48），但在運行時間上有較好的平衡（12.99 ms）。根據實驗結果，相比較于其他經典算法，CIM真機在運行效率和優化性能具有非常大的優勢。

5總結與展望

本文將量子計算應用于城市軌道交通中大小交路與靈活編組的運行場景，以全線滯留乘客最少為目標建立了聯合優化模型，該模型綜合考慮了列車時刻表、乘客動態方程、列車車隊數量變化和列車大小交路等約束條件。本文設計了數值實驗來驗證所提方法的有效性，首先對場景進行了簡化并對模型進行了QUBO轉化，針對簡化后的城市軌道交通運營場景，使用基于量子計算的相干伊辛機真機進行求解。實驗結果表明所構建模型有效減少了線路上的滯留乘客，并且對量子計算與經典算法在求解時間與目標值兩個維度上進行了對比，結果表明量子計算在對該問題求解的運行效率和優化性能方面相比較于其他經典算法具有顯著的優勢。

盡管量子計算從技術原理上具有巨大的潛力優勢，但是仍然屬于一個全新的技術，受限于硬件條件，現有量子計算機的比特數無法直接計算大規模問題。本文驗證了量子計算解決軌道交通行業復雜優化問題的可行性，未來隨著量子計算技術的發展，其在求解實際問題的算力優勢將進一步得到發揮。

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