基于二維耦合諧振子的量子熱機效率研究

摘 要 本文介紹了量子熱機與量子熱力學中的基本概念，研究了二維耦合諧振子這一具體的量子系統作為工質時的量子熱機的相關性質。筆者以經典熱力學中的有關概念進行類比，運用量子熱力學相關研究，引入波戈留波夫（Bogoliubov）變換這一方法解決了二維耦合諧振子的勢能項難以對角化的問題。此外，筆者以二維耦合諧振子為工質設計奧托循環熱機，通過理論推導和數值計算獲得了奧托熱機的效率，并得出量子熱機中各物理量與經典熱機中對應量之間存在著統一的聯系的結論。

關鍵詞 量子熱機;諧振子;奧托熱機;波戈留波夫變換;量子熱力學

從第一次工業革命到第二次工業革命，熱機的效率一直是物理學家與工程師關注的問題。自20世紀初以來，量子力學的蓬勃發展又將熱機研究帶領到了更加微觀的范疇。物理學家以經典熱機為模型，對各類量子系統進行深入研究，探索量子與經典世界的異同，并將相關物理量進行對比與類比，試圖探究運用經典熱力學來詮釋量子現象的可能性。在此過程中，物理學的一個新分支———量子熱力學便應運而生。諧振子作為量子力學研究中的基礎模型，以其為工質的量子熱機的效率必然是一值得探究的問題。本文選取二維耦合諧振子作為主要研究對象，探究這一工質下量子熱機的有關性質。

1 量子熱機的最初模型———三能級模型

1.1 最初提出及來源

1959年，第一個量子熱機模型由Scovil和Schulz-DuBois提出[1]。兩人在研究激微波（Maser，即受激輻射微波放大，是激光的前身）時發現，激微波三能級模型的最大效率可以與卡諾熱機的效率相聯系。圖1為三能級模型的最初形式。

激微波與傳統熱機的本質區別在于激微波涉及的是粒子能量的離散能級，而傳統熱機研究的是連續的能量譜以及工作物質與外界的作用。

當時，兩人引入熱機這一模型來解釋三能級激微波效率僅僅是因為把激微波問題與卡諾熱機進行類比，從而能夠在概念與理解方面獲得良好的簡化。例如，通過泵浦源向激微波供能可以看作熱機從高溫熱源吸取能量，而激微波向外釋放能量則可看作熱機對外做功，并且兩人證明了二者的最大效率均有（1-T1/T2） 的形式[1]。

1.2 工作原理

三能級模型通過利用高溫熱源和低溫熱源來維持粒子數反轉以此來實現受激輻射放大。如圖2所示，設產生激微波的三個能級為E1，E2，E3（E1

激 微波工作時，每從泵浦源得到能量ωh ，就對外輻射能量ν，并且釋放一部分不對外輸出的能量ωc，并且能量守恒ωh =ν+ωc。如同在一個熱機循環中，工質從高溫熱源吸熱，得到的能量一部分對外做功，一部分再傳遞給低溫熱源。這樣一來，便實現了三能級模型與傳統熱機的初步類比。

需 要說明的是，為了實現上述量子熱機的持續工作，高溫熱源和低溫熱源都是必不可少的。高溫熱源將系統從E1 能級持續泵浦到E3 能級，低溫熱源則使系統從E2 能級退回到E1 能級。高溫熱源在實驗上可以通過單頻光源實現;低溫熱源可以通過模式與E2 和E1 能級差共振的諧振腔實現，也可以通過其他類型的單頻率玻色子庫實現。

1.3 最大效率

如上所述，Scovil和Schulz-DuBois提出量子熱機模型的初衷是注意到了激微波三能級模型的最大效率可以與卡諾熱機的效率相聯系。類比熱機效率的定義，此激微波的效率為

而受激輻射放大可以發生的條件是高低能級粒子數反轉，高能級粒子數必須大于等于低能級粒子數，即N3gt;N2，故

hωc/kTc ≥ hωh/kTh （4）

將此不等關系帶入效率的表達式（1），得

即此三能級激微波的最大效率為在同樣高低溫熱源下工作的卡諾熱機的效率。

2 量子熱力學

2.1 量子熱力學中的熱力學第一定律[2]

經典熱力學中的定律在量子領域會有不同的表示形式。對于熱機問題及其效率，能夠計算熱機循環中的熱量、做功與內能十分重要，因而在此給出量子熱力學中的熱力學第一定律。

量子力學中，一個多能級系統的哈密頓量為

H =Σn（En -E0）| ngt;lt;n| （6）

則內能可由哈密頓量的平均值求得，為

U =lt;H gt;=ΣnPnEn （7）

其中Pn 、En 分別為處于態|ngt;的概率和態|ngt;的能量。

由 上式兩邊同時求全微分得

dU =Σn（EndPn +PndEn） （8）

將其與傳統熱力學中的熱力學第一定律類比

dU =dQ +dW （9）

并且知道

dQ =TdS （10）

S =-kΣiPilnPi （11）

通過量綱分析可以得出，dQ 對應式（8）中的第1項，而dW 對應第2項，即

dQ =ΣnEndPn （12）

dW =ΣnPndEn （13）

式（13）表明做功對應能量本征值的改變。這與經典力學所認知的事實相符，即做功是改變廣義坐標的過程，廣義坐標的改變進而帶來本征能量的改變。

2.2 一維諧振子系統下的微元功與微元熱量

在討論二維耦合諧振子系統前，先給出一維諧振子的元功與元熱量表達式。對于諧振子系統，哈密頓算符可表示為

^H =ω^N （忽略零點能） （14）

其中^N 為粒子數算符，則系統內能為

E =lt;^H gt;=hωn （15）

其中n 為平均粒子數，再對E 求全微分得

dE =hndω + hωdn （16）

與2.1節中一樣，類比經典熱力學，得到[3]

dW =hndω （17）

dQ =hωdn （18）

即為一維諧振子系統下的微元功與微元熱量表達式。式（17）與式（18）表明系統的能級改變導致功的產生，而系統與外界交換的熱量等于粒子在各能級重新分布所改變的內能。

2.3 一維諧振子系統下的熱力學過程

由上述2.2節的討論可知，一維諧振子作為工質的量子熱機中微元功的表達式為dW =hndω，與經典熱機中微元功的表達式dW =PdV類比，可以利用類似于經典熱機p-V 圖的形式畫出n-ω 圖，并用來描述量子熱機中的熱力學過程。需要強調的是，上述類比并不是將粒子占據數n看作壓強p，將諧振子的本征頻率ω 看作體積V，而是說類似于經典熱機對外做功與壓強p 和體積V 兩個參量有關，對于以一維諧振子為工質的量子熱機，其對外做功則與粒子占據數n 和諧振子的本征頻率ω 有關。

另外需要說明的是，對于一維諧振子作為工質的量子熱機，當諧振子的勢阱壁緩慢移動時，諧振子的本征頻率ω 隨之發生改變。也就是說，我們可以通過移動諧振子的勢阱壁改變諧振子的頻率。

圖3～圖5展示了一維諧振子量子熱機系統中的絕熱、等頻率和等溫過程對應的n-ω 圖。我們還討論了上述幾種典型過程的實驗實現方法。

一維諧振子量子熱機中微元熱量的表達式為dQ=ωdn，而絕熱過程要求dQ =0，因此n 為常數，反應在n-ω 圖中即為一水平線，如圖3所示。實驗上對應的過程如下：針對一維諧振子系統，緩慢改變諧振子的勢阱形狀（如移動諧振子勢阱壁），將改變諧振子的頻率ω，但系統的粒子占據數n 保持不變，于是就實現了絕熱過程（絕熱膨脹或絕熱壓縮過程）。

在以一維諧振子為工質的量子熱機系統中，只要保持諧振子勢阱的形狀不變，諧振子的頻率ω 就保持不變，此后進行的過程即為等頻率過程，如圖4所示。例如，若此時工質與高溫或低溫熱源接觸，將發生熱量傳遞過程，從而引起諧振子系統中粒子占據數n 的變化。

在以一維諧振子為工質的量子熱機中，若諧振子始終與一個溫度恒定的熱源接觸，在諧振子頻率ω 和粒子占據數n 變化的過程中，諧振子不僅從熱源吸收熱量，也對外做功，但整個過程諧振子系統總能量保持不變，上述過程稱為等溫過程，也稱為等能量過程。其n-ω 關系在圖5中展示。

2.4 一維諧振子系統下卡諾熱機的效率

3 波戈留波夫變換變換處理二維耦合諧振子

考慮一個存在相互作用的諧振子系統，為處理簡單，我們關注一個坐標耦合的二維耦合諧振子系統。波戈留波夫為研究一個具有兩體弱排斥勢的非理想玻色氣體模型，引入了以他的名字命名的一種變化方法，來處理哈密頓量中的非對角化項[5]。由于諧振子可以視為玻色子，而我們研究的二維耦合諧振子正是有相互作用的情況，因此我們采用了這種方法。坐標耦合的二維諧振子系統，其哈密頓量可寫為：

對于參數為其他情況的二維耦合諧振子奧托熱機，可以按照上述方法進行數值求解，從而獲得熱機的效率。

5 總結

在本文中，筆者回顧了量子熱機的概念誕生，并進行了具體的量子熱機效率計算。在充分討論了量子熱力學中的基本理論與一維量子諧振子的基礎上，筆者以二維耦合諧振子作為具體實例分析在量子領域中熱機的效率問題，并以經典熱力學的分析方法進行理論計算，運用波戈留波夫變換處理耦合諧振子中哈密頓量的勢能項，大大簡化了后續計算的復雜度，為求解復雜系統的熱機效率增加了可行性。回顧前文，讀者不難發現，經典熱機問題中蘊含著巨大的知識價值，以至于當經典熱機問題中的分析方法被運用到量子領域時，在量子熱力學中均找到了其對應表述或詮釋。需要強調的是，本文僅以量子系統本身的哈密頓量進行處理，并無考慮外界環境與系統作用時的相關哈密頓量，此點可值得后續關注與研究。

參 考 文 獻

[1] SCOVIL H E D， SCHULZ-DUBOIS E O. Three-level masers"as heat engines[J]. Physical Review Letters， 1959， 2（6）： 262-263.

[2] QUAN H T， LIU Y， SUN C P， et al. Quantum thermodynamic cycles and quantum heat engines[J]. Physical Review E， 2007， 76（3）： 031105.

[3] 王建輝， 何濟洲， 毛之遠. 諧振子系統量子熱機循環性能[J].中國科學G輯 物理學 力學 天文學， 2006， 36（6）：591-605.

[4] 秦允豪. 普通物理學教程熱學[M].4版.北京：高等教育出版社，2018：212-216.

[5] 張先蔚. 量子統計力學[M].2版.北京：科學出版社，2008：151-153.

[6] 張新明， 周煥強. 耦合諧振子的代數解法———波戈留波夫變換法[J]. 四川師范大學學報 （自然科學版）， 1995， 18（3）：35-38.

[7] 楊展如. 量子統計物理學[M].1版.北京：高等教育出版社，2007：134-137.

[8] 黎才昌，何濟洲，何弦等.熱糾纏奧托量子熱機[J].低溫物理學報，2013，35（2）：138-144.

附：審稿意見和修改說明摘錄

審稿意見（一）：

論文第一部分討論的三能級系統與熱機的類比，為什么必須有高溫熱源和低溫熱源，為什么不直接從高能級躍遷到最低能級？ 不是通過諧振腔就可以實現嗎？ 我沒有看出來低溫熱源的必要性。論文中應該有所說明。

回復意見（一）：

非常感謝審稿人的問題，使我們有機會將文章表述得更加清晰。

本文第一部分回顧了Scovil和Schulz-DuBois提出的量子熱機模型，在量子力學中，該模型中的高溫熱源可以由單頻光源完成，而低溫熱源確實可以通過模式與E2 和E1 能級差共振的諧振腔實現。此時，諧振腔扮演的作用就是熱機中的低溫熱源。

修改情況（一）：

我們在論文第2頁“1.2工作原理”的最后增加了如下段落，用來說明低溫熱源和高溫熱源問題。（略———編輯注）

審稿意見（二）：

第二部分作者似乎是把諧振子量子數n 看作是壓強，頻率看作是體積，所以有類似的等溫過程、等容過程等。

為什么？ 為什么絕熱過程是一個水平線？ 諧振子的頻率是可以任意改變的么？那這個和上面的三能級系統有什么關系？ 黑體譜的是由電磁諧振子最概然分布得到的。這里跟黑體譜的諧振子是一樣的么？ 那和前面的三能級系統有什么關系？

回復意見（二）：

非常感謝審稿人的問題，使我們有機會將文章表述得更加清晰。

關于“作者似乎是把諧振子量子數n 看作是壓強，頻率看作是體積。所以有類似的等溫過程、等容過程等。為什么？”的回答：

由上述2.2節的討論可知，一維諧振子作為工質的量子熱機中微元功的表達式為dW =ndω，與經典熱機中微元功的表達式dW =PdV 類比，可以利用類似于經典熱機P-V 圖的形式畫出n-ω 圖，并用來描述量子熱機中的熱力學過程。需要強調的是，上述類比并不是將粒子占據數n看作壓強P ，將諧振子的本征頻率ω 看作體積V，而是說類似于經典熱機對外做功與壓強P 和體積V 兩個參量有關，對于以一維諧振子為工質的量子熱機，其對外做功則與粒子占據數n 和諧振子的本征頻率ω 有關。

此外，我們在正文中針對一維諧振子作為工質的量子熱機系統，詳細闡述了該系統中的絕熱過程、等容過程（已經改稱等頻率過程，這樣更加準確）和等溫過程的意義，以及實驗上的實現方法。

關于“為什么絕熱過程是一個水平線？”問題的回答：

一維諧振子量子熱機中微元熱量的表達式為dQ =ωdn，而絕熱過程要求dQ=0，因此n 為常數，反應在n-ω圖中即為一水平線，如圖3所示。實驗上對應的過程如下：針對一維諧振子系統，緩慢改變諧振子的勢阱形狀（如移動諧振子勢阱壁），將改變諧振子的頻率ω，但系統的粒子占據數n 保持不變，于是就實現了絕熱過程（絕熱膨脹或絕熱壓縮過程）。

關于“諧振子的頻率是可以任意改變的嗎？”問題的回答：

另 外需要說明的是，對于一維諧振子作為工質的量子熱機，當諧振子的勢阱壁緩慢移動時，諧振子的本征頻率ω 隨之發生改變。也就是說，我們可以通過移動諧振子的勢阱壁改變諧振子的頻率。

關于“那這個和上面的三能級系統有什么關系？ 黑體譜的是由電磁諧振子最概然分布得到的。這里跟黑體譜的諧振子是一樣的么？ 那和前面的三能級系統有什么關系？”等問題的回答：

論文第一部分的三能級系統量子熱機是作為量子熱機研究背景給出，是我們回顧最早提出的量子熱機的一種原型，與第二部分的一維諧振子作為工質的量子熱機相比，二者是兩種不同類型的量子熱機模型。

此外，我們認為文中的一維諧振子與黑體譜的諧振子關系不大。

修改情況（二）：

為了回答審稿人的上述問題，同時將文章表述更加清晰，我們重寫了文章“2.3 一維諧振子系統下的熱力學過程”部分，詳細討論了一維諧振子作為工質的量子熱機中的熱力學過程，包括絕熱過程、等頻率過程和等溫過程，并給出了上述過程的實驗實現方法。具體如下：（略———編輯注）。

審稿意見（三）：

如果量子熱機中的頻率就是黑體譜一樣的，那ω 就是能量，也是可以變化的，對三維黑體也是成立的，那第三部分耦合的ω1 ω2 是怎么回事？ 本身就是能量，也沒有方向，怎么區分1和2？ 是兩種物質分子吧？

回復意見（三）：

第三部分我們考慮的耦合諧振子其實是為了描述有相互作用的諧振子系統，這也是本文的創新點所在。為處理簡單，我們考慮的是二維坐標耦合情況下的諧振子系統，通過波戈留波夫變換得到了兩種準粒子，它們的頻率分別為ω1，ω2（ω21=ω2+λ/m ，ω22=ω2-λ/m ，其中ω 為沒有耦合時諧振子的本征頻率），且滿足玻色愛因斯坦分布。相關處理也可以拓展到n維坐標與坐標，坐標與動量，動量與動量耦合的情況。在我們的理解中，這與黑體譜的關系并不大。

審稿意見（四）：

我看公式（21）很簡單，坐標和動量同時做一個簡單的對角化就可以了，類似于韋伯福斯擺，為什么要用波戈留波夫變換？

回復意見（四）：

非常感謝審稿人的上述問題和建議。

研究工作開展時，我們沒有留意到對坐標和動量同時做一個簡單的對角化就能實現，而是留意到采用波戈留波夫曾研究過一個具有兩體弱排斥勢的非理想玻色氣體模型，與本文的二維耦合諧振子系統比較類似。由于諧振子可以視為玻色子，而我們研究的二維耦合諧振子正是有相互作用的情況，因此我們采用了這種方法。這種做法的主要好處是：有耦合的諧振子不再滿足玻色愛因斯坦分布，而通過波戈留波夫變換可以引入兩種準粒子，使其重新滿足玻色愛因斯坦分布，便于計算量子熱機做功和熱量交換。

我們已在論文中加入說明，提醒讀者可以不用波戈留波夫變換也能實現式（23）的對角化。再次感謝審稿人的建議！

修改情況（四）：

我們在論文第5頁結尾處加入了如下段落，強調波戈留波夫變換并非從式（23）得到式（33）的唯一方法。（略———編輯注）

同時在論文第5頁“3 波戈留波夫變換（Bogoliubov）變換處理二維耦合諧振子”部分的開始處加入如下段落，說明我們采用波戈留波夫變換的初衷。

（略———編輯注）

再次感謝編輯和審稿人的辛苦工作！

基金項目： 西安交通大學2023年基層教師教學發展組織建設項目（2302JF-01）;2023年基層教學組織教學改革研究專項（基礎課程）;渭南師范學院教育科學研究項目（2020JYKX021）。