從思考的起點走向發展

摘 要：新課標強調要重視單元整體教學，優化習題設計.在核心素養視角下，單元作業能促進知識的連結和思考的深入.對于二年級《數學廣角——搭配（一）》的單元作業設計，厘清學生思考起點，促使產生增量思維，多元賦能思維發展，使思考從起點走向發展.

關鍵詞：單元作業設計；思維能力；分類思想

近年來，作業設計往往存在功能單一、結構分配不合理、沒有差異性設計等問題.新課標強調教師要重視單元整體教學，優化習題設計，這也提示我們不僅要做有效的課堂，也要做有效的練習.小學數學教學中，單元作業是學生鞏固知識的一種重要手段，單元作業可以是對本單元的系統梳理，可以是一份試卷、一組題目，也可以是一項實踐性作業.在核心素養視角下，單元作業能促進知識的連結和思考的深入.探究單元作業設計，設計一份具有整體性、結構性和應用性的練習，可以提高學生的學習效率，使思考從起點走向發展.接下來以人教版《義務教育教科書數學二年級上冊》中《數學廣角——搭配（一）》（以下簡稱《搭配》）作業設計為例展開闡述.

1 厘清起點，精準發現問題

制定精準合理的考查目標是提高單元作業有效性的關鍵.本份單元作業到底能考查學生哪些知識和能力.單元作業能給學生些什么.作業怎樣設計才能體現多效作用.這一切都要先厘清思考的起始點在哪里.

1.1 研讀教材，體會編排意圖

教材是學習的基礎，研讀教材的指導思想和編排意圖，可以讓單元作業的考察更準確.在人教版數學課本中，教材分兩次安排了排列與組合的內容，第一次是在人教版數學二年級上冊第八單元，第二次是在人教版數學三年級下冊第八單元.

經過對教材內容及課堂作業本題目的對比，這兩次的教學內容似乎并沒有明確的界限，二年級的搭配個數也有4個、5個物品的，搭配方法也是相同的，那二年級的側重點究竟在哪里呢？筆者認為二年級的側重點可能在方法的初步滲透上，逐步培養學生有序、全面的思考意識，初步體驗其形式之美和思考之順.

1.2 課前測試，探查思考起點

二年級的學生在生活中已經有豐富的“搭配”經驗，如在日常生活中衣物的搭配、足球比賽場次的設定等，在加法題目練習中，也滲透過搭配的意識.那學生對“搭配”了解多少？能否有序“搭配”？筆者對自己班級做了一份課前測試，測試情況見表1.

通過前測的數據，可以看出，近一半同學具有有序搭配的思考能力.但有序并完整搭配的學生中，沒有可以用兩種方法做出來的，所以對排列的熟練應用和思考的靈活性也是要突破的重點.無序但完整搭配的同學有6位，學生雖然對“搭配”具備一定的經驗，但并不太了解它背后的規律，這些同學多種方法混在一起，思維沒有厘清，可以預見，當排序的基數變大時，這部分同學很可能出現遺漏.還有學生誤以兩兩組合來解決排列問題的，這類同學提示我們，弄清楚排列的順序對結果有無影響這一知識點，對學生《搭配》單元的學習也意義重大.

1.3 定位考點，找準思考方向

單元作業設計是檢驗本單元教學目標是否達成的重要因素.單元作業設計要遵循思維螺旋上升原則，將考查目標分為由淺入深的不同等級，并從低階目標不斷向高階目標進階，進而有效梳理知識脈絡、引導學生掌握重難點（如圖1）．

2 循思漸進，搭建思維階梯

從學生的作業來看，對于最基礎的題目，大部分同學已經能夠有序、全面地搭配，當然其中有一部分同學是機械記憶，勉強可以寫出所有情況.但題目稍稍變化，很多同學就不知所措，有一些開始無序搭配，甚至有一些分不清楚是排列問題還是組合問題.由此，筆者深入思考學生思維斷層點，找準學生搭配問題的銜接點，搭建思維發展的階梯.

2.1 溝通聯系，在比較中辨析不同

二年級學生對于排列問題和組合問題的認知處于較淺層次，而排列問題和組合問題又有著密不可分的關系，這導致部分學生在做練習時，存在搞不清楚到底是排列還是組合問題的狀況.根據深度學習理念，在教學《搭配》單元時，可以將知識聯系起來，打破排列、組合間的壁壘，在對比溝通中求同存異才能感悟概念本質，理解它們的聯系與區別，幫助學生認清知識本質（如圖2）.

例1 用2、6、8三張數字卡片擺成兩位數，有（ ）種可能，其中最大的是（ ），最小的是（ ）.

例2 用2、6、8三張數字卡片選取兩個數求積，有（ ）種可能，其中最大的是（ ），最小的是（ ）.

對此，教師在設計《搭配》單元作業時完成對排列、組合問題本質的抽象表達后，還可以通過題目橫向對比，深化學生對搭配的理解，通過將排列與搭配聯系起來，幫助學生準確區分兩者.因此，教師可以把下面各題一起呈現，讓學生分成兩類，說說會怎么分，這樣分的理由.在比較辨析中促進學生理解，以原有知識助力理解新知，在排列、組合之間建立明確的聯系，并以此為紐帶，緊密串聯起一個單元的知識及題目.

例3 如圖2，張老師有三袋不同的糖果，要選出其中的兩袋分給小明和小紅各一袋，有多少種不同的分法？

例4 如圖3，商店有三種不同的糖果，可麗麗帶的錢只夠買其中的任意兩種，你知道麗麗有幾種選擇嗎？

例5 如圖4，三個小朋友約好一起去玩游戲，他們先玩了老鷹抓小雞，有幾種排法？

例6 如圖5，幾個人玩累了后，坐下玩五子棋，每兩人一局，一共玩了幾局？

例7 如圖6，軍軍從家到體育館要經過學校，從家到體育館一共有（ ）條不同的路線.

例8 如圖7，下面有3個點，連接其中任意兩個點就能形成一條線段.畫一畫.一共可以形成多少條線段？再增加一個點，會增加哪些線段？

2.2 思維可視，在積累中建構模型

在學習數學的過程中，知識與技能的理解和掌握是重要的，而充分體會規律的發現、抽象、概括的過程，對學生長久發展抽象思維能力更有意義.

所以在完成題目時，可以要求學生盡量把思考過程動態地呈現出來，將直觀形象與抽象推理有機融合，即時生成豐富的教學素材，同時清楚地展現了學生的思考過程.而同學們的表征必定不會完全相同，有簡約清晰的，也會有煩瑣冗雜的.可以先用學生自己的方式畫出示意圖，再引導學生看懂別人的想法，體會不同表征方式從繁至簡，從具體到抽象的演變過程，體會不同題目適用不同的表征方式，不同的表征方式所蘊含的不同思維價值，在腦海中初步建構搭配模型的雛形.

2.3 歸類關聯，在重構中由表及里

分類思想在組合問題中有所體現，在排列問題中，也十分需要分類思想，比如常用的固定十位法，固定十位其實就是將十位的情況進行分類，排列問題也是在有明確的分類標準下再進行搭配的.分類在前，搭配在后，重新建構對搭配的認知，讓復雜的搭配問題簡單化.

筆者認為《搭配》單元有對情況分類和對物品分類這兩種常見分類方法.例如，人教版《義務教育教科書數學二年級上冊》中練習二十四的一道題目就是對情況分類進行.

如圖8，從下面3枚硬幣中取硬幣，一共可以取出多少種不同的錢數？

這種題目需要先對情況進行分類，即按1枚、2枚、3枚三類情況分類，然后再進行搭配，最后幫助學生感受分類研討的好處，體會分類研討在日常生活中的應用.

對搭配的物品先進行分類，筆者準備了如下練習.

如圖9，二（1）班要組織元旦節目，王老師打算從下面同學中選男、女節目主持人各一名，你認為一共有多少種不同的選法？（用序號把選法表示出來）

本題變換了簡單的衣服搭褲子、主食配飲料等直接用連一連解決的組合問題，需要先按題目要求進行分類，再組合.本題不但考查學生的思維的全面性、嚴密性，而且為解決更復雜的類似問題提供了思路.

3 延伸思維，培養思考意識

3.1 變中相通，讓“新知識”生長“新高度”

在教學幣值問題時，相似的方法總會讓我想到數線段、數角、數長方形等題目，在課上順便講一講，一部分學生也很快就發現了其中的相似點.但幣值問題和上述問題又有不同，一個是離散的模型，一個是連續的模型.比如在數線段時（如圖11），有甲、乙、丙三段線段，雖然也是分為以下三類：①由一段基礎線段組成；②由兩段基礎線段組成；③由三段基礎線段組成，但由兩段基礎線段組成時，只能是兩個連在一起的線段，像幣值問題中的甲+丙這種離散的情況，在連續的事物中，找不到實際的意義.

教學搭配問題，能解決數量更多的搭配問題，能寫的越來越快、正確率高，僅僅這些就是增量思維嗎？有沒有更值得深究的內容呢？筆者認為，能凸顯數學思想方法，讓學生增加思考深度和遷移、比較能力，適時滲透數學思想方法，或許可以成為搭配單元的增量思維.

3.2 類化融通，讓“凝滯處”走向“巧思處”

經過抽象、分類，學生對搭配問題已經有深刻的理解，但如果停步不前，學生對搭配的理解只會凝滯于淺層思考.筆者認為，可以引導學生運用腦海中初步形成的搭配模型解決其他數學問題，使學生“既見樹木，又見森林”.比如可以請學生嘗試編題（如圖11），將課內延伸到生活，想一想生活中哪些問題中也有搭配問題，培養學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界的能力.

在日常生活中，足球乒乓球等比賽場次的設定、密碼箱的密碼、買文具、電話號碼、紙牌游戲……其中都有搭配的身影，請你嘗試自己編一道搭配的題目

3.3 由點及面，讓“知識點”逐步“系統化”

零散的知識點，沒有形成知識體系，容易導致思考問題片面化.思維的延伸可以幫助學生構建起知識的框架，構建自己的知識體系.可以讓學生做一份本單元的思維導圖，自主梳理搭配知識.在三年級的第二次搭配學習中，可以抓住新舊知識之間的連接點，把新學的知識融入原有的認知系統中，保證知識前后的連貫性.

4 結語

學習之路漫漫，《搭配》單元只是其中的一塊小磚石，但依舊可以感受有序思考的力量、分類思想的便捷，讓學生從思考的起點走向發展，用光照亮前路.

參考文獻

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