聚焦幾何直觀 促小學(xué)數(shù)學(xué)思維發(fā)展

摘 要：探討聚焦幾何直觀，促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)思維發(fā)展.“幾何直觀”可以幫助學(xué)生把抽象的問題直觀化、簡(jiǎn)單化，架起學(xué)生思與行的橋梁.筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了一些嘗試.首先，強(qiáng)調(diào)了利用幾何直觀，可以化繁為簡(jiǎn)，發(fā)散思維.接著，提出了運(yùn)用幾何直觀，可以表征題意，擴(kuò)散思維并例舉幾種方法，包括以“勵(lì)”帶“畫”、以“畫”促“全”和以“畫”創(chuàng)“新”.最后，強(qiáng)調(diào)了依托幾何直觀，可以探索解題策略，深化思考，為小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展提供了一些建議.

關(guān)鍵詞：幾何直觀；思維發(fā)展；小學(xué)數(shù)學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，“幾何直觀”不僅是重要的數(shù)學(xué)思想方法，還是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分.它可以幫助學(xué)生把抽象的問題直觀化、簡(jiǎn)單化，從而打開思維之門，找到解決問題的思路，架起學(xué)生思與行的橋梁.但是在教學(xué)中，有部分學(xué)生抽象思維能力比較薄弱，對(duì)于數(shù)學(xué)難題缺乏幾何直觀能力，容易陷入解決問題的思維瓶頸.因此，如何幫助學(xué)生運(yùn)用直觀表征理解題意，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)呢？筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了如下嘗試.

1 利用幾何直觀，化繁為簡(jiǎn)，發(fā)散思維

對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說，“數(shù)”無疑是抽象的，知識(shí)點(diǎn)之間的概念也一直混淆不清，以至于見到數(shù)學(xué)問題會(huì)出現(xiàn)畏懼、逃避的心理，這時(shí)往往需要老師深入理解數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，掌握學(xué)生自身發(fā)展規(guī)律，從而找到有效解決問題的方法.在實(shí)際教學(xué)中為了避免學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解不徹底，教師要鼓勵(lì)、幫助學(xué)生運(yùn)用幾何直觀使形象逐漸過渡到抽象，理清知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到畫圖策略在解題中的重要性.

1.1 以“數(shù)”化“形”，探究本源

低學(xué)段學(xué)生接觸“數(shù)”的概念的時(shí)間比較多，只憑教師的言傳身教容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)了解不夠透徹.而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，有效將情境實(shí)物圖抽象成直觀圖，再抽象到數(shù)，此過程不僅降低了知識(shí)的難度，還加深了學(xué)生對(duì)“數(shù)”的知識(shí)的理解.因此，教師可以運(yùn)用“畫圖”的方法，把“數(shù)”對(duì)應(yīng)的“形”表示出來，借助圖形來解決一些實(shí)際問題.如一年級(jí)下冊(cè)有這樣兩題：例1，排隊(duì)時(shí)，從前面數(shù)小紅排第5個(gè)，從后面數(shù)小紅排第6個(gè)，這個(gè)隊(duì)伍共有多少人？許多學(xué)生首先想到的算式是6＋5＝11，但是這樣的計(jì)算方法對(duì)嗎？文字描述過于抽象，采用“畫圖”的方法解決問題在低年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中便顯得尤為重要.首先，教師需要掌握一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的圖形分別表示小紅和其他同學(xué)，以圖形的形式把這個(gè)隊(duì)伍畫出來.學(xué)生用“畫圖”的方法體會(huì)到“從前面數(shù)”和“從后面數(shù)”，小紅一共被數(shù)到兩次，因此在列式計(jì)算6＋5時(shí)，還需要再減1.有了這樣的體驗(yàn)后再來練習(xí)例2：排隊(duì)時(shí)，小明前面有5人，小明后面有6人，這個(gè)隊(duì)伍共有多少人？同樣用“畫圖”的方法，學(xué)生一目了然，5＋6＋1＝12（人）.兩道粗看很相似的例題對(duì)年齡還小的一年級(jí)學(xué)生來說確是個(gè)難題，但是通過以“數(shù)”化“形”的方式，學(xué)生就會(huì)意識(shí)到“畫圖”策略在解決問題過程中的重要性，逐漸增強(qiáng)“畫圖”解題的意識(shí).

1.2 以“形”變“數(shù)”，理解含義

小學(xué)數(shù)學(xué)教材有許多種版本，比如人教版、浙教版、蘇教版等，但無論是哪種版本都運(yùn)用了大量和數(shù)學(xué)有關(guān)的插圖，圖文并茂，體現(xiàn)了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想的重要性.雖然畫圖可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念、算理、數(shù)量關(guān)系化繁為簡(jiǎn)，變得直觀形象，但是對(duì)于相比較而言復(fù)雜的“形”，更關(guān)鍵的是要善于獲取圖形中的重要信息，并與相關(guān)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)系，挖掘圖形中的隱含條件，以充分利用圖形的性質(zhì)，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，有效提高學(xué)生看圖解題水平.例如，蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)》中《解決問題的策略》安排如下練習(xí)題：如圖1求涂色部分的面積是整個(gè)圖形的幾分之幾？

很多學(xué)生會(huì)想到把圖形旋轉(zhuǎn)，得到答案是十六分之九，顯然這樣的方法是錯(cuò)誤的，從中也反映出這部分學(xué)生忽視了其中隱藏的將形變數(shù)的思想方法.我們可以這樣幫助學(xué)生來理解，具體方法如下.

方法一：利用分割的方法，把涂色部分分成四個(gè)直角邊分別為1格和3格的直角三角形和中間一個(gè)邊長(zhǎng)是2格的正方形，任意兩個(gè)涂色三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)是3格、寬是1格的長(zhǎng)方形，那么四個(gè)涂色三角形就可以拼成兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形占3格，所以涂色部分一共占了3＋3＋4＝10（格），最后得出涂色部分占整個(gè)圖形的八分之五.

方法二：可以把求涂色部分的問題轉(zhuǎn)化成先求空白部分.有四個(gè)底是3格、高是1格的空白直角三角形，任意兩個(gè)空白三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)是3格、寬是1格的長(zhǎng)方形.那么四個(gè)空白三角形就可以拼成兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形占3格，也就是空白部分的面積一共占6格，涂色部分就占16－6＝10（格），也就是整個(gè)圖形的八分之五.

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有了一定的積累，數(shù)學(xué)解題效率有了一定的提升，但是他們的邏輯思維能力依然不足，對(duì)于問題的分析可能在很大程度上依托于自己的想象.對(duì)于這種將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)的計(jì)算法則，學(xué)生很感興趣，會(huì)加深對(duì)此類知識(shí)的進(jìn)一步理解，達(dá)到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展起到了很好的效果.

2 運(yùn)用幾何直觀，表征題意，擴(kuò)散思維

“畫圖”是學(xué)生在解決實(shí)際問題過程中一種常用的解題方法，它不僅可以有條理地說明分析數(shù)量關(guān)系的思考過程，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，還可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使數(shù)學(xué)課堂的整體教學(xué)質(zhì)量得到提升，讓學(xué)生獲取更多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和勇氣.

2.1 以“勵(lì)”帶“畫”，簡(jiǎn)化數(shù)量關(guān)系

學(xué)生“畫圖”意識(shí)的培養(yǎng)需要老師的鼓勵(lì)和引導(dǎo)，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，它不像知識(shí)點(diǎn)的教授，可以作為一節(jié)新授課程單獨(dú)教學(xué)，而是需要融入在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，并結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容有的放矢、系統(tǒng)訓(xùn)練，讓學(xué)生在“畫圖”的實(shí)踐體驗(yàn)中感悟“畫圖”對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題的重要性——將抽象的題目信息轉(zhuǎn)變成直觀、具體的幾何圖象，進(jìn)而掌握解題方法，自覺運(yùn)用.

如蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)》中，安排了這樣一道思考題：“小芳比媽媽小27歲，媽媽今年的歲數(shù)正好是小芳的4倍.媽媽和小芳今年各多少歲？”這個(gè)問題比較抽象，單憑教師直接講解，學(xué)生容易一知半解，學(xué)生可能只會(huì)模仿列式，很難順利解決問題.教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生借助線段圖表示媽媽的年齡和小芳的年齡，學(xué)生根據(jù)已知條件“媽媽今年的歲數(shù)正好是小芳的4倍”和“小芳比媽媽小27歲”分別畫出如圖2、圖3所示的兩種不同的線段圖.

兩種線段圖，到底哪種方法是正確的呢？?jī)晌煌瑢W(xué)都說出了自己的想法，也得到班級(jí)同學(xué)的認(rèn)可.那么新的問題又來了，同一個(gè)問題為什么可以畫出兩種不同的線段圖呢？它們之間存在某種聯(lián)系嗎？學(xué)生帶著這個(gè)問題，又進(jìn)行了深入的探究，于是又有了新的學(xué)生作品（如圖4）并計(jì)算出小芳的年齡：27÷（4－1）＝9（歲），媽媽的年齡：4×9＝36（歲）.

通過圖2和圖3的比較發(fā)現(xiàn)小芳比媽媽小27歲的這一段長(zhǎng)度就是媽媽今年比小芳多的歲數(shù)，即是小芳年齡的3倍，把這兩個(gè)圖形結(jié)合就畫出了圖4.整個(gè)過程中，“畫圖”充當(dāng)了一個(gè)有效的媒介，它的應(yīng)用使原本復(fù)雜的問題豐富直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生在現(xiàn)有的理解能力上對(duì)題目有了充分的認(rèn)知，幫助學(xué)生逐漸建立起邏輯思維能力，在整個(gè)過程教師是知識(shí)的引領(lǐng)者，學(xué)生學(xué)得輕松，起到了意想不到的效果.

2.2 以“畫”促“全”，呈現(xiàn)多樣方法

小學(xué)數(shù)學(xué)涉及的知識(shí)點(diǎn)不會(huì)太難，但多而零碎，看似一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題，如果站在不同的角度去思考，往往會(huì)出現(xiàn)幾種不同的答案.一些數(shù)學(xué)邏輯能力稍弱的學(xué)生遇到類似的題目就會(huì)變得束手無策，緊張到難以正確解答.這些學(xué)生很難通過想象來理解抽象的數(shù)學(xué)問題，教師就可以指導(dǎo)學(xué)生用“畫圖”的方法以“畫”促“全”，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)更加順利也更加快樂.比如下面這道題：一間長(zhǎng)是18米、寬是12米的雞舍一面靠墻，另外三面扎籬笆，籬笆的長(zhǎng)度為多少米？很多學(xué)生會(huì)想到其中一種方法，或者直接算（18＋12）×2＝60（米），這時(shí)候“畫圖”就很有必要.學(xué)生在畫圖過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)籬笆的長(zhǎng)度會(huì)有兩種情況，一種情況是雞舍的長(zhǎng)靠墻（如圖5），另一種情況是雞舍的寬靠墻（如圖6），根據(jù)這兩種情況可以分別計(jì)算出籬笆的長(zhǎng)度為：18＋12×2=42（米）或18×2＋12＝48（米）.當(dāng)文字描述過于抽象的時(shí)候，“畫圖”會(huì)更有效地解決問題.

3 依托幾何直觀，探索解題策略，深化思考

在解決問題中，借助幾何圖形，可以把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系與空間形式有機(jī)結(jié)合，幫助學(xué)生清晰、簡(jiǎn)潔地理清數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.學(xué)生在實(shí)際“畫圖”過程中體會(huì)從不同角度去分析信息、用不同途徑來思考問題的策略方法，促進(jìn)解題策略的多樣性.例如方陣問題中有這樣一題：在一個(gè)正方形的花壇四周擺放花盆，如果每邊都要放4盆，最少需要準(zhǔn)備多少盆花？乍一看，這題很簡(jiǎn)單，許多學(xué)生會(huì)列式4×4＝16（盆），因?yàn)檎叫斡?條邊，每邊放4盆，所以就是一共有4個(gè)4盆花，顯然這種方法是錯(cuò)誤.當(dāng)然，老師也不急于給出判斷，讓學(xué)生用畫圖的方法記錄自己的想法，于是就有了如下圖兩種畫圖方法（如圖7、圖8）.

那么到底哪種方法是正確的呢？還是說兩種方法都是正確的？由此，學(xué)生展開激烈的討論，最終得出圖8中的方法不對(duì)，題目要求“最少需要準(zhǔn)備多少盆花”，圖8并不是最少的情況，因?yàn)檎叫蔚拿總€(gè)頂點(diǎn)位置放盆花可以兩條邊共用.那么圖7如何計(jì)算呢？方法一：先求出4×4＝16（盆），然后再減去4，一共12盆.方法二：正方形4個(gè)頂點(diǎn)處先不算，每條邊放2盆花，一共2×4＝8（盆），再加上4個(gè)頂點(diǎn)處的4盆，一共12盆.通過畫圖達(dá)到“數(shù)形結(jié)合”的目的，能更利于學(xué)生探索解題策略，深化思考.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，聚焦幾何直觀，可以將問題可視化.在平時(shí)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生幾何直觀應(yīng)用能力的培養(yǎng)應(yīng)滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面.教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生所學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)，讓學(xué)生在動(dòng)手畫一畫的過程中把原本隱晦的數(shù)量關(guān)系、規(guī)律線索等題干內(nèi)容清晰地展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象的數(shù)學(xué)圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)

［1］馬麗嬌.小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的三個(gè)著眼點(diǎn)［J］.教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（5）：35-37.

［2］方文君.幾何理關(guān)系 直觀啟思維——談幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2021（10）：4-6.

［3］史寧中.如何理解直觀與幾何直觀——幾何直觀與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（上）［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)），2017（9）：4-7.

［4］王嬌蓉.巧借幾何直觀 促小學(xué)數(shù)學(xué)思維發(fā)展［J］.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，20（3）：85-87.