回歸原點：追尋技巧與套路背后的數學本真

摘" 要：高中數學教學要善于回歸原點，揭示技巧、套路背后的通性通法和數學思想，發展學生的理性思維. 教學中要引導學生追尋數學知識本真，回歸高考試題理解的原點；追尋數學方法本真，回歸方法探究的原點；追尋數學思想本真，回歸理性思維的原點.

關鍵詞：回歸原點；數學本真；方法探究；理性思維

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）06-0013-04

引用格式：王琳，曾榮. 回歸原點：追尋技巧與套路背后的數學本真［J］. 中國數學教育（高中版），2024（6）：13-15，32.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對高中數學學業水平考試、高考數學的命題提出以下建議：考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧. 在高中數學解題教學中，教師要在指導學生自然思考、合理解題的過程中，引導學生回歸原點，追尋技巧與套路背后的數學本真，幫助學生深刻理解基礎知識，掌握基本技能，感悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，促進學生數學核心素養的不斷提升.

一、追尋數學知識本真，回歸高考試題理解的原點

案例1：對高考熱點問題“指對同構”的理解.

2021年高考數學適應性測試卷（八省聯考卷）的第8題、2021年新課標Ⅰ卷第22題、2022年新課標Ⅰ卷第22題等試題都考查了指對同構問題，這類問題是近些年高考的熱點問題.

教師在教學時，首先要思考：為什么指對同構問題會成為高考的熱點？僅僅是因為這類題解題的技巧性很強嗎？一般來說，如果某類試題技巧性太強、套路化明顯，這類題一定不可能成為持續的熱點與經典. 對于解決指對同構問題常用的兩個恒等式[elnx=x]和[lnex=x]，我們不能簡單地將它們理解為是兩個二級結論.

事實上，我們知道，指數式和對數式是可以相互轉化的，如圖1中的理解1. 在此基礎上，作如圖1中的理解2的變形即可得到兩個恒等式[alogaN=N]和[logaab=b]. 進一步，特殊化處理就可以得到[elnx=x]和[lnex=x]，如圖1中的理解3.

以上思維過程是一個嚴謹的邏輯推理過程. 有了這樣的認識，我們可能就不難理解為什么“指對同構”問題會成為高考的熱點了. [elnx=x]和[lnex=x]這兩個恒等式的應用體現的不只是技巧性，而是直接指向了對指數與對數本質一致性的考查.

基于以上認識，我們來看如下高考試題（證明[x1+x3=2x2]）.

題目 （2022年新課標Ⅰ卷·22）已知函數[fx=]

[ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求[a;]

（2）證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

思路分析：證明[x1+x3=2x2]就是要探求[x1，x2，x3]三者之間存在的等量關系. 而要溝通這三者之間的聯系，應該充分發揮公共點B的橋梁紐帶作用. 點B溝通了兩個函數圖象的聯系，點B的橫坐標[x2]溝通了[x1，x2，][x3]之間的聯系，如圖2所示. [fx=ex-x]和[gx=x-lnx]在結構上都是差的形式，前者涉及指數式，后者涉及對數式，而指數式和對數式之間可以進行相互轉化. 基于以上認識，我們不難找到問題突破的思路，如圖3所示.

高考試題突出對學科基本概念、基本原理的考查，強調知識之間的內在聯系，引導學生形成學科知識系統. 從考試命題的視角來看，那些經久不衰、常考常新的熱點、經典問題，它們的命題立意一定是基于知識本質的理解，注重知識的內在融合. 基于這樣的認識，進行解題教學時，教師要特別關注結論性知識背后的過程性知識，如概念建構的方式、公式定理發現及證明的過程. 教學要在培養學生對知識本質的理解上下功夫，夯實學生的知識基礎.

二、追尋數學方法本真，回歸方法探究的原點

案例2：對空間幾何體外接球球心的探求.

在立體幾何的學習中，球的幾何特征特別豐富，它可以與很多幾何體融為一體. 自然地，在高考中，球就成了考查邏輯推理和直觀想象素養的有效載體. 在解決球與其他幾何體融合的有關問題時，常常需要探求空間幾何體外接球的球心. 對于這樣的問題，很多教師會給學生介紹各種各樣的解題套路和技巧，而往往忽視了對最基本、最本質、最簡潔的探究方法的介紹. 下面我們嘗試用“以退為進”的策略和“交軌法”來研究這類問題.

首先，我們要明確這樣一些基本事實：在平面內，到兩個定點A，B距離相等的點的軌跡是線段AB的中垂線；在平面內，到不共線三點A，B，C距離相等的點是線段AB，AC的中垂線的交點，即△ABC的外心；在空間中，線段AB中垂面內的點到A，B兩點的距離相等；在空間中，到不共線三點A，B，C距離相等的點的軌跡是經過△ABC的外心且與平面ABC垂直的直線，如圖4所示.

在空間中，如果不共面的4點在同一個球面上，我們要找這個球的球心，即找到一個點到這4個點的距離相等. 我們可以以退為進，先找到與其中2點或3點距離相等的點的軌跡，再用交軌法找到與其他點的距離也相等的那個點，即我們所需要探求的球心.

例如，對于常見的墻角模型D-ABC（如圖5），如果找外接球的球心，我們可以先確定到A，B，C三點距離相等的點的軌跡，即過直角三角形ABC斜邊AB中點E，且與平面ABC垂直的直線l，再在l上找到一點到C，D的距離相等. 考慮到CD與直線l共面，故在這個平面內線段CD的中垂線與直線l的交點O即為所探求的球心.

這樣的探究思路不僅可以用來研究以上的特殊模型，它實際上是一個一般化的研究策略. 讀者可以自主探求塹堵、陽馬、鱉臑模型外接球的球心，分別如圖6、圖7和圖8所示.

高考數學全國卷在反套路、反機械刷題上下功夫，教師要善于結合對典型試題的講解，揭示技巧、套路背后的一般方法、解題策略，引導學生不僅要“知其然”，更要“知其所以然”. 教學中，教師要注重本源性方法，淡化解題技巧，強調通性通法的綜合運用，將教學重點從總結解題技巧轉向提升學生的學習關鍵能力、培養學生的數學核心素養.

三、追尋數學思想本真，回歸理性思維的原點

案例3：對求不規則幾何體體積問題的想法探源.

在一次調研活動中，筆者遇到如下一道求不規則幾何體體積的試題：如圖9，在直角梯形ABCD中，AD = AB = 4，BC = 2，沿中位線EF折起，使得∠AEB為直角，連接AB，CD，則所得到的幾何體的體積為" " " " .

執教教師用了如圖10所示的方法1’、方法2’、方法3’、方法4’詳細講解了該試題，并滲透了將不規則幾何體轉化為規則幾何體的化歸思想，很好地完成了教學任務.

該題的素材是從二維到三維，最終研究的是三維背景下不規則幾何體的體積. 在完成方法講解以后，教師可以提出以下問題讓學生進一步思考：小學階段，我們曾研究過直角梯形的面積，在不借助梯形面積公式的前提下，能否求出左側梯形的面積，并將二維平面圖形求面積的方法與三維立體圖形求體積的方法進行比較？說說你的感受.

在學生比較的基礎上，形成對知識的完整建構. 從二維到三維，從面積到體積，這期間學生經歷的也許不僅僅是解題能力的提升，可能會對學生良好數學素養的形成有一定的幫助.

數學課堂是培養學生理性思維的主陣地. 在課堂教學中，教師要讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程，綜合運用直觀感知、觀察發現、辨析比較、歸納類比、抽象概括等方式培養學生的理性思維，促使學生形成數學觀念，培育學生的理性精神. 學習是一個悟透學活的過程，教師不僅要幫助學生掌握基本的方法，更要和學生一起去探求方法背后的內在邏輯，并揭示學生想法背后的思想、觀點，促進學生理性思維能力和數學核心素養的提升.

數學教學是思維的教學. 課堂教學要在理解數學、理解學生、理解教學的基礎上，回歸教學原點，關注教學過程，追尋數學本真，發展理性思維，培育理性精神.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部教育考試院. 高考試題分析及解題精選（2023年版）：數學分冊［M］. 北京：語文出版社，2022.

［4］曾榮. 高中數學教學中培養學生理性思維的研究［J］. 江蘇教育，2023（37）：6.

基金項目：江蘇省教研十五期課題——指向理性思維和理性精神培育的高中數學教學研究（2023JY15-GX-L34）；

江蘇省教育科學“十四五”規劃重點課題——數學哲學與數學教育深度融合的理論與實踐研究（JSSJY202201086）.

作者簡介：王琳（1985— ），女，中學高級教師，主要從事高中數學教學研究；

曾榮（1973— ），男，正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事高中數學教育教學研究.