以定義運算的視角進行向量數乘的概念教學

摘" 要：向量數乘是向量與數量關系的一種“定義運算”，是實數與向量組合的“量”的意義的規定. 要以數乘定義為基礎研究其運算規律和運算法則，要挖掘“定義運算”的幾何意義及由“定義運算”衍生而來的知識，培養學生的數學抽象、數學運算和邏輯推理素養.

關鍵詞：向量數乘；定義運算；概念教學

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）06-0016-05

引用格式：徐道奎. 以定義運算的視角進行向量數乘的概念教學［J］. 中國數學教育（高中版），2024（6）：16-20.

向量數乘是基于向量加法的定義運算，是對實數與向量組合的“量”的意義的一種規定. 向量數乘的教學一直不被人們重視. 教學實踐中，筆者發現存在三個突出的問題：一是部分教師認為這部分內容比較“簡單”，沒有對其蘊含的思想方法及在學生能力素養培養中的作用進行深入挖掘；二是教學中“想當然”的成分較多，一律類比代數及代數運算的各種定律和規則，沒有從向量數乘的定義和向量的本質意義上進行深入分析和探討，甚至把各種規則和定律也當作公理和定義進行教學；三是對向量數乘的幾何意義（向量共線、一維向量的基底、向量線性運算的統一等）挖掘得不夠，在問題解決中不能自覺地應用，沒有形成向量數乘及其幾何意義的應用意識. 另外，在關于向量數乘的教學研究中，較少以定義運算的視角研究分析，在定義后的規則和定律的教學中如何應用概念的“定義”要求強調得不夠. 鑒于此，筆者試圖從定義運算的視角，結合幾何意義對概念體系建立及概念內涵挖掘做一點探討. 不足之處，敬請批評指正.

一、向量數乘的概念理解

向量是既有大小又有方向的量，向量與向量、向量與數量的運算不能想當然，不能止于與實數的“類比”，必須要有實驗和邏輯的支撐. 向量數乘是相同向量加法運算的結果和符號定義. 學生最先接觸向量數乘是從正整數與向量數乘關系的實例開始的. 人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊（以下統稱“教材”）安排兩個向量數乘的引入案例，目的是解決諸如[a+a+a]和[-a+-a+-a]等相同向量相加的運算結果的表示問題.

1. 引入向量數乘運算的必要性

顯然，有必要對[a+a+a]和[-a+-a+-a]的結果用簡潔的數學符號來表示. 怎樣表示上述相同向量和的結果呢？類比實數加法運算，能否將其表示成[λa]的形式并推廣至[λ]為任意實數呢？教材基于探究的結果從與實數運算類比的角度直接給出（實際上，如果當初我們定義成別的符號也未嘗不可），然后對[λa λ∈R]的意義做了更為具體的“規定”. 之后要圍繞數乘的定義研究運算的法則、定律，進行概念的延伸和拓展. 因此，向量數乘運算是整個向量運算的基礎.

2. 向量數乘運算的意義

怎樣理解向量數乘的定義、理論及實踐意義呢？

從數學抽象的視角，[λa]是一個數學符號，而不是真正意義上的“乘法”運算，[λa]只是一個形式化的符號，其代表的意義和相應的規則才是本質. 數乘這個符號的引入既可以認為是先有向量加法運算再有其結果的符號表示，也可以認為先規定了符號的意義，后契合于向量加法的運算結果，這也是概念的基本特征.

正因為規定了[λa]的向量意義，自然得到了[λa]與[a]的共線關系，這是向量運算和向量關系中十分重要的.

對[λa]的向量意義做出規定后，不僅得出與[a]共線的向量，還能夠得到向量與數量、向量與向量的關系、性質（如數乘分配律），進行相應的運算（如計算[λa±μa]），通過其幾何意義的描述，能更進一步把向量與幾何聯系起來.

3. 向量數乘的合理性與兼容性

定義一種運算必須要研究其運算法則和運算規律，要說明運算法則的合理性，要研究其兼容性，具備合理性和兼容性的新定義運算才有理論和應用上的價值. 向量數乘的合理性和兼容性表現在：與數[a]的倍數關系類比具有相似性，并且符合“形”的實際意義；契合代數運算的法則、規則和向量運算的結果；符合運算律，即由定義可以得到運算律，這個運算律反映了數量與向量運算關系具有一定相似性和普適性，也因此為進一步研究形與數的關系帶來方便；反映了一維向量坐標關系，為學習平面向量基本定理埋下伏筆，如果[e]是直線[l]方向上的單位向量，則與直線[l]共線的向量的坐標形式是[xe]；使向量的線性運算得到統一；使向量與直線、平面聯系起來，得到直線與平面的向量形式；等等.

二、向量數乘的概念建構

向量概念的產生是代數學從數的算術運算到抽象符號的代數運算轉變之后的又一次質的飛躍，向量有可以量化的代數屬性. 教學時，要處理好從幾何直觀的向量到抽象代數對象的向量的概念過渡. 我們怎樣進行向量數乘的概念建構呢？

1. 充分理解向量數乘的意義

向量數乘是定義的運算，是不同數學研究對象之間的運算，也是向量運算結果的一種數學符號語言描述. 由相同向量相加到結果的表示不能想當然，也不要一帶而過，要闡明這個符號是我們的規定（定義），是一個新引入、新定義的數學運算. 事實上，對運算[a+a+a]的探究只能得出：結果是一個向量；方向與[a]相同；大小是[a]的3倍. 對[-a+-a+-a]的結果的探究也一樣. 數學符號[3a]，[-3a]是我們根據結果所做的“定義”. 如前所述，也可以先定義[3a]，[-3a]的意義，后計算[a+a+a]和[-a+-a+-a].

在一些公開課中，在學生對[a+a+a]和[-a+-a+][-a]進行探究的時候就得出了結果是[3a]，[-3a]，且教師還給出了肯定. 這是一種想當然，邏輯上是不通的. 在沒有進行向量數乘定義之前，憑什么就把結果表示成[3a]和[-3a]？這顯然是沒有理解向量數乘是定義運算這個事實.

而教材非常注意這個細節，在探究相同向量相加（隱含引入向量數乘必要性）之后，表述為：我們把[a+a+a]記作[3a]，把[-a+-a+-a]記作[-3a]. 說明數與向量“相乘”只是定義的、規定的.

向量不是實數的簡單擴充，向量運算與實數運算有著本質的不同，要依靠抽象、定義、演繹和推理等構建新的規則體系.

2. 完善向量數乘概念的定義

通過實例探究，可以得出[λa λ∈Z]，再把[λ]推廣至分數（有限小數）、無理數乃至實數時，有其內在的邏輯基礎.

設[a=AB≠0]，[n]等分[AB]，[B1]是從[A]到[B]的第一個[n]等分點，則有[nAB1=AB]. 這時我們可以定義[AB1=][1nAB]. 根據向量數乘，[mnAB n，m∈N*]就有了意義，從而推廣到[λAB λ∈Q]有意義. 進一步地，[λAB λ∈R]也有了意義. [λa]中，[λ]從整數、分數、有理數到實數是一步一步完成的. 在上述分析的基礎上，再對向量數乘[λa]給出一般性定義.

教學時，在定義了向量數乘之后，要設計正向（把相同向量相加表示成[λa]形式的結果）和逆向（由[λa]反過來描述其代表的幾何意義）的問題，讓學生充分理解[λa]的意義.

3. 挖掘向量數乘的幾何意義

在向量數乘定義的基礎上，把[λa]中隱含的幾何意義挖掘出來. 從幾何角度分析，可以把向量數乘定義想象為對向量的一次伸縮變換（正向或逆向：伸長或縮短），[0]與向量的數乘是將向量縮成一個“點”（本文把向量的正向或逆向伸縮變換簡稱為“向量的伸縮變換”）.

向量數乘能夠“衍生”出一系列新知識，賦予新內涵. 例如，由向量數乘可以得到向量共線（進一步延伸到點共線），可以得到一維向量的基本定理，可以把一維向量從形式上進行統一，等等. 上述所有“衍生”“延伸”知識的源頭，從根本上講是定義，要通過回歸定義或由定義演繹推理引導學生加深對概念的理解.

（1）向量數乘隱含的共線意義.

問題1：研究向量應該研究向量的哪些特征？（方向和大小.）

問題2：在向量數乘的定義中，根據[λ]的正、負、[0]，[λa]所代表的意義分別是什么？由此你可以發現[λa]與[a]是什么關系？（共線.）

問題3：如前所述，如果兩個向量存在“實數倍數”的關系一定共線（向量數乘定義決定的），那么，兩個向量共線是不是一定有實數倍數的關系呢？（如果[a=0]，[b≠0]，則[b≠λa]，[a=λb].）

問題4：兩個向量共線的充要條件是什么？（[b=][λa a≠0].）

例1" 已知[a，b]是兩個不共線的向量，向量[b-ta]，[12a-32b]共線，求實數[t]的值.

解：顯然[12a-32b≠0].

令[b-ta=λ12a-32b，λ∈R]，

則[12λ+ta+-32λ-1b=0].

所以[12λ+t=0]且[-32λ-1=0].

所以[t=13].

（2）向量數乘隱含的一維向量基底的含義.

問題1：若[b=λa]，則[b]與[a]是什么關系？若[c=μa]呢？

問題2：凡是與[a a≠0]共線的向量是否都有“實數倍數”的關系，都有“[λa]”的形式？這對你有什么啟發？

問題3：我們能不能把與[a]共線的向量從形式上統一起來？進一步地，如果[e]是[a]方向上的單位向量，則與[a]共線的向量均有什么形式？（與[a]共線的向量均有[xe]的形式.）

問題1和問題2讓學生發現與向量[a a≠0]共線的充要條件，問題3讓學生總結一維向量可以統一的形式. 這對之后理解單位向量[bb][ABAB]、向量[a]在向量[b]上的投影向量、向量線性運算、平面向量基本定理等都有非常重要的作用.

4. 進行向量數乘法則及規律的探究

定義向量數乘之后，從邏輯上講，需要著手解決向量“數乘形式”的加減（[λa+μa，λa+λb，] 其中[λ，μ]為實數）、“數乘形式”的數乘（[μλa，] 其中[λ，μ]為實數），“數乘形式”的加乘混合（分配律，形式為[mλa+μb，] 其中[m，λ，μ]為實數. 而向量與向量之間的分配律在向量數量積學習之后給出）. 特別要重視向量的數乘運算與數的乘法運算的區別與聯系. 教學時，所有的問題要么以“定義”直接得出，要么通過運算回到定義，以彰顯定義的內在邏輯，培養學生的邏輯思維素養. 向量數乘形式的向量式加減、數乘形式的數乘是通過三個運算律實現的，數乘對向量加法運算的分配律[λa+b=λa+λb]、數乘對數的加法的分配律[λ+μa=λa+μa]、數乘運算的結合律[λμa=λμa]是構成線性空間的基本性質，是數乘概念建構的重中之重.

需要強調的是，引入向量數乘的數學符號語言以后，向量數乘的運算法則和運算定律不能想當然，要回歸定義進行解釋和驗證. 只有這樣，從邏輯上才能說得通. 向量數乘運算法則及規律要體現于三個維度：代數角度類比猜想，定義角度分析解釋，幾何角度驗證說明.

一是讓學生類比數的運算猜想數乘的三個運算定律. 設計如下問題.

問題1：向量數乘是向量加法結果的表示，那么，如何進行諸如[λa+μa，] [λ+μa，] [λa+λb，] [λa+b，][λμa]的運算呢？

問題2：類比實數的運算，你有什么猜想？

問題3：如何驗證你的猜想？

二是要引導學生從幾何角度驗證，充分揭示向量代數性質的幾何意義，讓學生通過作圖直觀感受向量數乘，從幾何角度解釋運算規則和定律.

構造能夠說明三個運算定律的幾何圖形，如圖1、圖2和圖3所示.

圖1反映了數乘結合律[λμa=λμa]，可以根據向量數乘的定義直接得到，其幾何意義是：對向量[a]的兩次伸縮變換（[λ，μ]或[μ，λ]）等價于一次伸縮變換[λμ]. 圖2反映了數乘運算中向量加法的分配律[λ+μa=λa+μa]，反映了[a]分別做兩次伸縮變換后相加的結果等價于把變換系數相加后對向量做一次伸縮變換，也可以由向量數乘直接得到. 圖3反映了數乘運算中實數對向量加法運算的分配律[λa+b=λa+λb]，

包含[λgt;0]和[λlt;0]兩種情況（[λ=0]做了專門的定義，不做討論），說明了[λa+b]與[λa+λb]的結果相同，可以通過向量數乘與向量加法得到，其幾何意義體現了三角形相似，是“相似三角形對應邊的比等于相似比”的代數化形式.

從幾何角度看向量的代數性質能直觀反映事物的規律. 如果進一步挖掘，就會發現向量數乘與直線和平面之間的聯系：[λa]不僅是與[a]共線的向量，還可以表示一點和一個方向向量[a]所確定的直線；兩個不共線向量[a]與[b]的線性組合[λa+μb]表示向量[a]與[b]所確定的平面.

一門學問的發生，必然暗含其內在的邏輯. 定義一種運算要講合理性，具體體現在兩個方面：數學內部的和諧性，即符合運算的一般規律；與現實背景相吻合，即要反映現實中相應事物的規律性. 運算可以定義，可以規定，而運算的法則和規律建立在定義的基礎之上，一般不定義，而是以定義運算為基礎通過實踐檢驗，即運算規則、定律的檢驗標準還是定義運算的定義本身.

三、向量數乘概念的延伸和拓展

向量數乘概念的建立，使我們的運算視野更為寬闊了. 向量數乘不僅可以類比實數依照運算律進行運算，而且使得向量本身的變式、運算更為簡潔. 向量的線性運算得到統一，并由此得到延伸、發展，給我們研究和解決幾何問題帶來了方便.

1. 向量線性運算的統一

引入數與向量乘法后，向量連同加法運算、數乘運算一起構成線性空間結構. 定義了向量數乘后，向量的線性運算（加、減、數乘和之后學習的平面向量基本定理）統一了. 甚至不需要刻意地用向量減法，選擇向量的閉合回路（向量相加的多邊形法則），一“加”到底，就可以求（表示）出要求的向量. 其中，向量數乘扮演的角色不可或缺.

故答案選D.

2. 三點共線及其應用

點共線是建立在向量共線（平行）基礎之上的具體應用，是用向量方法解決幾何問題必須考慮的，點共線在問題解決中的作用很大. 教學實踐中，筆者發現學生在解決問題中出現的一些障礙，往往是沒有充分應用點共線. 向量共線與點共線（一般考慮三點共線）既有區別，又有聯系，由于我們研究的向量是“自由向量”，向量共線與平行是一回事，而點共線是真正的共線，由向量共線得到點共線一定要強調是共線而非平行. 三點共線的充要條件是：在三點中，任意選擇兩個向量（這兩個向量一定要包含這三個點），這兩個向量有“實數倍數”的關系. 例如，三點是[A，][B，C]，則其共線的充要條件為[AB=λBC]或[AB=μAC]或變式形式[OA=λOB+μOC λ+μ=1]等.

用向量解決平面幾何問題時，要自覺地、有意識地應用三點共線.

兩條直線相交，在交點處有兩個三點共線，要把這兩個三點共線用上. 為契合題目的條件，我們把[AP]也用[AB]和[AC]表示. 設[BP=λBE]，[CP=μCF].（注：用三點共線的結論[AP=λAC+1-λAF]，[AP=μAB+]

[1-μAE]更簡單，本文用三點共線最原始的結論解答.）

四、結束語

向量數乘運算的概念教學要強調其定義運算的合理性，要通過數乘定義研究運算律（法則），研究其隱含的幾何意義，要挖掘由定義運算衍生而來的知識. 要突出定義運算的“定義”作用，所有研究均要以定義運算的概念定義為基礎，回歸定義，用定義證明，用定義驗證.

對向量數乘的定義運算的研究是綜合的、系統的，向量數乘的定義運算為今后學習其他新情境中的定義運算（如向量數量積、向量的向量積等）奠定了學習基礎，指明了學習方法和學習路徑，有潛在的教育價值，教學上要給予足夠的重視. 要以定義運算的教學為契機，培養學生的數學抽象、數學運算和邏輯推理素養.

參考文獻：

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基金項目：六安市2022年度教育科研課題——“雙新”背景下指向深度學習的數學大單元教學實踐研究（LK2022033）.

作者簡介：徐道奎（1963— ），男，正高級教師，安徽省特級教師，主要從事高中數學教學研究.