基于核心素養的高中數學建模活動的實踐研究

摘 要：隨著素質教育理念向高中教學階段擴展，高中數學教學應該向新課標中核心素養培育的方向探索新的優化發展路徑，新課標中明確指出“數學建模與探究活動”貫穿于高中數學課程內容的始終，而高中階段數學核心素養包括“數學建模”的內容，所以，培育學生的建模思想與素質，是培養學生數學綜合思維與應用能力的一個重要路徑。高中數學教師要不斷明確教學指向、優化教學思路、改進教學流程，有針對性地培育學生的建模思想，使得學生能夠通過參與多種形式的數學建模學習活動，有效鞏固知識技能、形成良好的思維品質與綜合能力。

關鍵詞：建模思想；高中數學；教學研究

一、問題的提出

隨著新課改的不斷深入，高中數學教學逐漸開始重視在知識性教學基礎上對于學生實際問題解決能力以及綜合思維的培育、聚焦擴展數學教學的維度、帶動實現數學與其他領域和其他學科的融合滲透。而在這樣的背景下，學生在數學學習中需要將抽象的數學知識與實際問題和情境聯系起來，這時學生的建模思想就能夠發揮重要的作用。在2020年修訂版《普通高中數學課程標準》中，“數學建模”這一概念被首次納入學生學科核心素養，這也說明了數學建模思維能力的培育越來越受到國家和學校的重視。要在實際的高中數學課堂教學中融合數學建模思想、引導學生逐步建立建模思想，教師需要不斷創新角度、拓展維度、豐富活動，形成一套契合高中生學習發展規律、滿足高中數學教學實際情況、貫徹新課標新理念的教學應用策略，帶動學生依托建模思想養成良好的數學建模能力，進而實現各方面數學素養的提高。筆者選取以下新高考建模教學為例進行現狀分析。

（2021年全國高考Ⅰ卷 16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為____；如果對折次，那么____.

從答題情況看，筆者所帶的兩個班共81名同學，答對第一空的11人，答對第二空的只有6人，少數同學能夠通過特殊情況找出規律，極少數同學能夠通過探究找規律來挖掘面積和的模型解決第二問。但大部分同學不能將實際問題抽象出數學知識，建立數學模型，沒有形成良好的數學建模能力。基于以上例子說明目前高中數學教學中對于建模教學存在著缺失。

（一）教學必要素養缺位

有不少高中數學教師由于自身教學理念比較傳統，他們對于新課標所提出的“數學建模”概念與內涵都較為模糊，不知道如何挖掘高中教材中的建模思想，如何將實際問題融入建模思想；很多教師一心放在提高學生考試成績、進行高考題型適應性訓練上，缺少及時更新教學理論和教學技能的素養，缺少用先進的教育理論和課程標準來優化自己的課程教學樣態，因此，數學建模教學缺少發展的空間。

（二）數學教學縱深不足

數學建模思想實際上貫穿于高中數學各個教學內容之中，同時還涉及了物理、化學等其他學科的知識；但當前很多高中數學教師將自己的教學內容局限在教輔資料中，沒有適時地將融合了數學建模思想的綜合性問題與任務帶入到課堂教學中來，學生大多只是像了解一個知識點一樣初步了解了“數學建模”的含義，卻不知道怎樣應用建模思想來解決問題，這種教學縱深的不足導致學生的數學建模素養難以真正培育。

（三）建模教育意識落后

有部分數學教師盡管認識到了數學建模的重要性，但缺少對于支撐性數學學習探究活動形式的構建、同時在實際教學中也缺少對于學生建模思維的有效引導和培養；很多數學教師迫于教學內容多、課時少，無法開展以數學建模為核心的探究式教學，不懂得將建模思想有機融入常規教學活動中來，建模教育意識相對落后。

二、數學建模概念界定

2020年修訂版《普通高中數學課程標準》對“數學建模”這一概念有著詳細的闡述，其中認為數學建模主要表現為“發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題”等四個方面的主要內容。新課標認為，數學建模是“應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力”；教師通過引導學生以數學建模的方法、通過數學模型來解決實際問題，能夠使得學生深切地感受到數學與現實世界之間的關聯，并且能有效帶動學生提高綜合學習與實踐能力，幫助學生培養創新精神以及數學理性精神[1]。

從新課標對于“數學建模”的定義角度來分析，數學建模實際上就是基于建模思維、運用數學模型來解決實際問題的一種綜合性的實踐活動；它不僅可以在數學學科之中加以應用，在其他理工科學科之中也有著重要的作用。高中數學教師在進行建模思想培育的過程中，要特別把握好“數學模型構建和優化”這一核心問題，在提出數學問題、構造出特定數學情境的基礎上要求學生尋找其中隱含的各種數量關系，并帶動學生綜合運用所學的知識來建立數學模型，通過運算的方法來對模型求解以便解決問題；要強化對模型檢驗以及修改完善環節的重視，保證數學模型能夠得出科學有效的檢驗結果。在這樣的學習和問題解決過程中，學生就能夠逐步養成良好的數學建模思想。

三、核心素養下高中數學建模活動的實踐研究

（一）挖掘教材建模思路，問題引導學生探究

要在高中數學教學中有效培育學生的建模思想，教師首先就要提高對于數學建模教學的重視程度，同時結合新課標對于“數學建模”的定義來審查和提煉數學教材中的各部分內容、有效挖掘教材中的建模思路，并將建模的思路通過一些簡單易懂的小故事或是生動的情境來展現給學生，使得學生能夠培養起對于數學建模的初步興趣。

【案例】茶水問題——情境引入，提出問題

師：有句話叫作“欲把西湖比西子，從來佳茗似佳人”，亞運會即將召開，我們以東道主招待客人，同學們，我們可以用什么招待客人？

生：龍井茶。

師：那如何才能泡制一杯清香可口的龍井茶呢？從茶葉的采摘、制作、儲存、沖泡、飲用等都與溫度相關。你們知道，龍井茶一般需要多少溫度的水進行沖泡嗎？

生：80℃～85℃

師：對，那你們知道生活中類似的還有哪些沖泡溫度嗎？請看表。

綠茶 咖啡 奶茶

最佳沖泡溫度 85℃ 90℃ 70℃

最佳口感溫度 60℃ 55℃ 40℃

師：剛沖泡好的茶葉能喝嗎？要達到多少度口感溫度最好？

生：不能，當溫度降到60℃，口感最好。

師：有什么辦法能測量溫度嗎？

生1：用溫度計。但好像沒有人泡茶拿著溫度計在測的。

生2：用時間來估計溫度，隨著時間的增加，茶水的溫度在降低，我們可以建立茶水與溫度的式子。

【設計意圖】：建模第一步是問題分析，搜集數據，分析其中隱含的數學因素，用數學語言描述實際現象。通過討論探究，體會由實際問題抽象成數學問題的過程，提升數學抽象的核心素養，激發學生探究興趣，同時引導學生提出茶水溫度和時間的關系[2]。

（二）引導學生進階學習，強化建模思想滲透

在高中數學教學中數學建模思想的應用非常廣泛，而學生如果要在實際數學知識鞏固和理解的基礎上實現對于知識的靈活科學運用，教師就需要不斷培育學生的建模思想和數學建模能力，以此帶動學生提高解決實際問題的能力。教師要根據所教授的知識內容、選擇適合學生進行分析建模的實際問題，讓學生從簡單的問題分析入手，不斷提高思維的進階難度、并逐步將建模的思想滲透于其中，使得學生能夠從不同的學習起點通過一定的學習梯度實現同步提升。

【案例】茶水問題——收集數據，建立模型

師：如果要研究茶水溫度與時間的關系實驗，我們需要準備些什么？

生：茶、熱水、溫度計、計時器……

師：我們今天還有一個工具溫度傳感器，它一端放在茶水里，一端連接電腦，可以直接采集茶水溫度與時間的數據，并每隔一秒可以采集一次數據。

師：打開數據采集軟件，橫軸表示時間，縱軸表示溫度，現在測試茶水溫度是85℃，請大家觀察點的走勢，呈什么形狀。

師：請仔細觀察，是呈直線還是曲線？

生1：近似于直線

師：教師將采集時間分別設為1，5，10，20，30，60...

師：請繼續觀察圖像的變化，發現什么？

生2：茶水溫度隨著時間的增加下降速度越來越慢。

師：如果改變實驗條件，圖像會是什么樣子？圖像與原來差不多，也就意味著溫度與時間有某種函數關系。我們要得到這個函數關系的過程就稱為數學建模。

師：那么選取哪組數據作為分析比較合適？

生：為了使數據更準確，我們選用了間隔1分鐘的數據，因為間隔比較小可以減少誤差。

師：好，在理想狀態下我們收集的數據越多越好，但時間有限，我們就用間隔1分鐘的數據。

師：收集好數據后接下來我們要干什么？

生：描點、連線

師：大家把數據標在直角坐標系中，這種圖叫散點圖，請大家畫出散點圖。（師將數據輸入EXCEL，畫出散點圖。）

師：觀察散點圖的點的走勢，我們可以選擇哪個函數來擬合？

生3：反比例函數。" 生4：像指數函數。

師：剛才兩位同學提出的函數模型你們覺得可行嗎？

生5：我認為這兩個模型都有不足之處，對于反比例函數模型，的值會一直變小，直至接近0，但事實上不可能低于室溫。對于指數函數模型，當=0，=83.504，實際上初始溫度是85℃。

師：請大家在剛才分析的基礎上，4人一個小組合作，寫出你們認為最合理的模型進行求解。

【設計意圖】：數學建模的第二個步驟就是模型假設。這是學生之前沒有學習接觸過的板塊，教師要引導學生提出一系列的假設條件，明確為研究好溫度與時間的關系，要控制其他因素不變的要求。

（三）強化建模項目學習，突出趣味合作探究

要在高中數學教學之中有效培育學生的建模思想，高中數學教師還需要聚焦于組織綜合性實踐性的項目化數學建模學習活動，使得學生能夠組成不同的小組、以小組的形式來參與共同建模解決問題。教師可以在課堂上騰出部分時間、或是利用課后的時間為學生組織建模項目學習活動；教師要結合學生之間接觸到的數學建模相關的知識內容向學生進行數學建模活動流程的講解，讓學生對數學建模有一個大致總體上的把握，引導學生認識到數學建模思想在實際生活問題之中的重要作用，同時教師在小組合作探究的過程中要強化引導和輔助[3]。

【案例】茶水問題——求解模型，回歸實際

大約幾分鐘后，有個別小組建立好了模型并已經求解好了。

小組代表1：我們是以指數函數建立模型的，室內溫度為25攝氏度，當=25時，是函數的漸近線，當=0時，取不到85，所以圖像是平移過了的，所以我們組是用待定系數法求解。并借助gbb軟件進行擬合，求得解析式為

小組代表2：我們小組是用反比例函數做模型的，設，

然后把=0和=1代入求解，求得解析式為

師：我留意到其他幾個小組也是用這兩個模型，但是求解參數的值有差別。這兩類模型的溫度都是趨向于室溫。通過觀察分析，指數函數的R2 擬合度更高，圖像也更吻合。

【設計意圖】：數學建模的第三個步驟就是模型求解。通過待定系數法計算函數解析式中的參數值，培養學生的數學運算能力，提升數學運算核心素養。借助軟件，使得課堂更加高效，讓學生體會到信息技術發展的重要性，體會數據軟件對數學建模的促進作用，落實數學建模核心素養的培養。

檢驗結果，優化模型

師：如何檢驗模型呢？

生：可以通過EXCLE軟件計算模擬數據，計算其與實驗數據的差，并在同一坐標系中畫出散點圖。結合圖形可以發現何時吻合度更高。

【設計意圖】：數學建模最后就是模型優化。這個過程一直是數學建模的難點，每個人對于模型的優化都有不一樣的看法，關鍵是要在此過程中培養嚴謹的數學思維和嚴密的邏輯推理能力，提升解決實際問題的能力。

在接下來的合作探究學習活動之中，教師要注重突出建模學習過程的趣味性、適切性以及啟發性，不要對學生提出過于嚴苛的在模型建立過程以及計算結果上的精準度要求，而是給予實時動態評價、鼓勵學生思維發散，使得學生能夠有效提高建模學習活動的參與感和體驗感。教師要幫助各個學習小組劃分明確的前期討論、模型選擇、模型建立、計算結果和驗證結果等幾個過程，同時給定學生具體的問題和情境，讓小組內的學生都能夠經歷這幾個學習過程。當學生在進行諸如統計分析建模的學習時，教師可以引導學生通過指數函數、冪函數等不同的函數模型來表示同一個散點圖，并指導學生使用圖形計算器GeoGebra、計算軟件Matlab等來擬合出不同函數模型，并指導學生通過計算擬合函數與實際數據之間的誤差平方、或是計算擬合優度判定系數來判斷不同函數的擬合度，選取出擬合度最高的函數模型，最后計算得出結果。教師要注重對學生的全程學習過程的評價，同時要求各個小組將研究過程和研究步驟進行記錄，形成一份建模學習報告；依據“小組配合度”“模型科學度”“研究環節”等不同的評價標準挑選出完成度較好的建模學習項目，指導全班學生共同學習建模思路，帶動學生集體形成良好的建模思想。

四、基于建模教學的幾點思考

（一）數學抽象，聚焦本質

數學學科核心素養是將數學知識與技能置于真實情境中，通過解決實際問題形成和發展的能力。本節課通過茶水的溫度與時間的關系，借助真實的問題情境，學生能從現實問題抽象出數學問題，做好數學建模的第一步，提升數學抽象核心素養[4]。通過分析并確定影響茶水的主要因素，明確本節課研究的是時間對溫度的印象，初步建立模型，培養提出、分析、解決問題的能力，感悟數學來源于生活，又應用于生活，學會運用數學眼光觀察世界。

（二）體會模型，發現函數

通過具體分析茶水溫度與時間的幾種可能關系，如函數關系、相關關系，也可能沒有相關關系。利用散點圖來呈現數據的實時動態關系，通俗易懂。在模型建立的過程中，借助SPSS軟件，通過數據收集與分析、畫散點圖、模型擬合和認定溫度與時間的關系，從而得到函數模型。學生掌握模型建立的基本途徑，感受數學建模中數據分析的魅力，實現學科內與學科間知識的遷移與融合，發現函數，發展數據分析核心素養，體會數學建模的科學過程。

（三）認知沖突，修正模型

本節課通過小組合作探究，任務明確清晰，各小組在提出模型有缺陷的條件下迅速求解，培養學生的運算能力，落實數學運算的核心素養。同時通過對比各小組成果，經過激烈的討論求解，修正模型，借助EXCEL進行求解，提升信息素養。此環節突出了師生、生生的互動探究，有效落實合作探究的教學模式，嘗試課堂教學的轉型，實現以生為本。通過經歷數學建模全過程，真正落實數學建模核心素養。

（四）技術輔助，滲透建模

本節課借助信息技術工具進行數據處理與計算，函數擬合、模型求解等，將抽象的問題轉化為具象的問題，提高學生數形結合的能力，滲透數學建模核心素養。利用SPSS、EXCEL、GBB等軟件的強大數據處理功能，更加形象直觀地揭示所探究內容的本質屬性與特征，探尋合理的解決方案解決實際問題。注重信息技術與數學課堂的深度融合，拓寬了學生的學習方法，使課堂更加豐富和高效[5]。

結束語

高中數學教師要注重依托新課標核心素養培育的要求，同時吸收先進的互動教學法、小組合作學習法和進階式學習法等各種先進的教學方法；數學教師要充分反思當前高中數學教學中建模思想教育缺失的“通病”，不斷從挖掘教材問題引導、進階學習思想滲透、項目學習趣味合作等方面來為學生構建沉浸式的數學建模學習空間，帶動學生在自主探究和學習、教師必要輔助與引導下提高數學建模核心素養，使得學生的建模思想以及數學建模核心素養能夠得到有效提升。

參考文獻

[1]孫宏安.數學學科核心素養視角下的數學文化：學習普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[J].中學數學教學參考，2022（25）：4-6.

[2]周靜.基于數學核心素養的高中數學建模教學設計[J].課程教育研究，2019（30）：112.

[3]程雅琳，廖小勇.基于數學建模素養的高中數學教學案例[J].新一代（理論版），2019（20）：131-132.

[4]吳玉華.基于核心素養開展高中數學建模活動策略研究[J].中學課程輔導（教學研究），2019，13（14）：15.

[5]王冬梅.數學建模思想融入高中數學教學現狀及策略研究[D].重慶：西南大學，2020.