新高考視角下與馬爾科夫鏈相關的概率遞推問題

全概率公式以及全概率推出的馬爾科夫鏈問題最近備受命題人的青睞！ 比如2023年新高考Ⅰ卷第21題，再往前的熱點模考卷中，2023年杭州二模第21 題的賭徒輸光問題，2023年茂名二模的摸球問題，再往更前的2019年全國Ⅰ卷藥物試驗問題等都是馬爾科夫鏈問題。在新人教A 版《選擇性必修第三冊》第91頁拓廣探索中的第10題傳球問題，也是馬爾科夫鏈的典型模型。全概率公式是新教材引入的內容，可想而知越來越多的遞推型概率難題將會出現在高考和模考試卷中！ 因此，同學們在學習時要對全概率等系列內容格外關注。馬爾科夫鏈在題中的體現可以簡單地概括為：全概率公式+數列遞推。下面主要介紹馬爾科夫鏈和一維隨機游走模型，以及馬爾科夫鏈在高考和模考中的幾種具體的應用情形，希望對同學們的學習有一些幫助。

一、馬爾科夫鏈是什么

（一）定義

馬爾科夫鏈是由數學家安德雷·馬爾科夫提出的，它是概率論和數理統計中的一個重要模型，在自然科學、技術科學、管理科學、經濟科學以至人文科學中都有廣泛應用。數學定義為：考慮一個隨機變量的序列X ={X0，X1，…，Xt，…}，這里Xt 表示時刻t 的隨機變量，t=0，1，2，…。每個隨機變量Xt（t=0，1，2，…）的取值集合相同，稱為狀態空間S。隨機變量可以是離散的，也可以是連續的。

假設在時刻0的隨機變量X0 遵循概率分布P（X0）=p0， 稱為初始狀態分布。在某個時刻tgt;1的隨機變量Xt 與前一個時刻的隨機變量Xt-1 之間有條件分布P（Xt|Xt-1）， 如果Xt 只依賴于Xt-1，而不依賴于過去的隨機變量{X0，X1，…，Xt-2}，這一性質稱為馬爾科夫性，即P （Xt|X0，X1，…Xt-1）=P （Xt|Xt-1）， t=0，1，2，…。具有馬爾科夫性的隨機序列X ={X0，X1，…，Xt，…} 稱為馬爾科夫鏈（Markov chain）或馬爾科夫過程。

（二）解題策略

依據高中學生的認知水平，馬爾科夫鏈可以概括為：某一時刻狀態轉移的概率只依賴于它的前一個狀態。在實際應用中，常見的有賭徒模型和傳球模型等，其一般解題步驟可以歸納如下。

方法一：（1）先求出P （X0 ）=p0 或P（X1）=p1;（2）根據馬爾科夫鏈定義，列出第t 時刻的條件概率的遞推關系式;（3）根據數列遞推公式的配湊法求出第t 時刻概率的通項公式Pt。

方法二：從高觀點的角度，對學有余力的同學，可以引導他們利用n 步轉移概率矩陣進行求解， 以培養同學們的數學綜合能力，提高數學關鍵能力，為不同類型的高校選拔人才。

二、馬爾科夫鏈為什么這么熱

《普通高中數學課程標準 （2017 年版2020年修訂）》增加了數列遞推公式、全概率公式等內容。另外，在新教材中也可以找到答案。