小學數學乘法運算一致性的建構與實踐

摘" 要：《義務教育數學課程標準2022年版》中提出：體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識.以計數單位為統領，在乘法運算中體會知識之間的聯系，形成經驗.將小學有關乘法的知識進行梳理，在遷移、類推的過程中，實現對乘法一致性的整體建構.老師應將乘法運算的一致性落實到課堂教學中，發展學生的運算能力、推理意識等核心素養.

關鍵詞：新課標；小學數學；乘法；一致性

在小學數學教學中，探尋乘法運算的“一致性”，梳理乘法的算理與算法，當然可以簡單地還原成加法，這樣做，乘法就找到了源頭.但如果一直這樣，乘法就永遠是攀附在加法上的藤蔓.因此，乘法要建構自己獨立的算理與算法，感知乘法運算的一致性，以此提升學生的運算能力和推理意識，仍是教育者和研究者需要深入研究的課題.接下來針對新課標的要求、內容的梳理和案例的落實三個方面進行詳述.

1" 精研課標，找準乘法運算一致性的依據

《義務教育數學課程標準2022年版》中指出：數與運算包括整數、小數和分數的認識及其四則運算.數是對數量的抽象，數的運算重點在于理解算理，掌握算法，也提出感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識.

新課程標準將2011年版中的數的認識和數的運算進行了結構化的整合，整合為數與運算.課程內容的結構化整合，有助于學生從整體上理解數與運算的知識和方法，感悟數與運算之間的密切聯系和計數單位在運算中的核心作用，體會數的運算本質上的一致性，促進學生數感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養的提升.

基于對課標的研讀，對于乘法，有這樣幾點共識：首先，乘法是加法的簡便運算，也就是乘法運算的意義，這是我們乘法運算的根結.乘法口訣是所有乘法運算的基礎.計數單位是乘法運算的核心概念.乘法運算律和等式的性質是所有乘法的基本規律.對于乘法運算的一致性，就是計數單位與計數單位相乘得到新的計數單位，計數單位的個數與計數單位的個數相乘得到新的計數單位的個數.而這種乘法運算一致性，也可以幫助我們實現從新知到已知的轉化.而乘法運算一致性的落腳點，就是促進學生數感、符號意識、運算能力和推理意識的核心素養的提升.

2" 理清脈絡，助推乘法運算一致性的實施

乘法運算，包括整數乘法、小數乘法和分數乘法，它貫穿于小學三個學段的學習中.整個乘法的知識結構，根據課標對每個學段提出的要求，從簡單到復雜，循序漸進，螺旋上升，助推乘法運算一致性的實施.

2.1" 注重知識結構，教學循序漸進，螺旋上升

第一學段課標要求：在具體情境中了解四則運算的意義，感悟運算之間的關系，探索乘法算理與算法，學會簡單的整數乘法，熟練口算表內乘法.

根據課標要求，先學習表內乘法（一），分別是學習乘法的初步認識、二到六的乘法口訣，再學習表內乘法（二），安排了七到九的乘法口訣.在第一階段的表內乘法是所有乘法運算的基礎，因此要達到熟練的程度.

第二學段課標要求：探索并掌握多位數的乘法，利用運算的意義和運算律，分析和理解乘法運算的算理，感悟從未知到已知的轉化，形成運算能力和推理意識. 根據課標要求，安排了兩、三位數乘一位數，分別安排了口算、筆算以及解決問題.接下來是兩位數乘兩位數，安排了先筆算再解決問題這樣的編排思路.然后是三位數乘兩位數，也安排三位數乘兩位數的筆算以及積的變化規律，于是就完成了整數乘法的學習.

在第二學段，要帶領學生感悟從未知到已知的轉化.從兩、三位數乘一位數到兩位數乘兩位數再到三位數乘兩位數，都是體現了從未知到已知的轉化，循序漸進，螺旋上升.這種知識經驗的積累，可以幫助學生去計算三位數乘三位數，多位數乘多位數.

第三學段課標要求：能進行簡單的分數、小數四則運算和混合運算，感悟運算一致性，發展學生的運算能力和推理意識.

根據課標要求，先安排了小數乘法，其中有小數乘整數，一個數乘小數等.最后安排了分數乘法、分數乘整數和一個數乘分數.在第三學段重點學習小數乘法和分數乘法.小數乘法和整數乘法、分數乘法和整數乘法有著運算的一致性，學生需要借助運算的一致性，將小數乘法和分數乘法轉化成整數乘法來學習.

整體來看，小學數學乘法運算的學習，需遵循學生的心理特點和認知規律.在第一學段學習乘法口訣，為乘法運算奠定基礎.在第二學段安排了兩、三位數乘一位數和兩位數，感悟計數單位的意義和核心價值，初步了解運算的一致性.而在第三學段安排了小數乘法和分數乘法，通過整數、小數、分數的運算進一步突出計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性，這樣循序漸進，螺旋上升，合理布局，打通了知識間的聯系，助推乘法運算一致性的實施.

2.2" 以計數單位為核心，統領乘法運算，體現運算的一致性

乘法運算就是計數單位和計數單位個數的運算，最終的結果還是計數單位和計數單位個數的表達.以計數單位統領整數、小數和分數乘法，體現乘法運算的一致性.

2.2.1" 以計數單位個數的累加，體現未知到已知的轉化

在第一學段學習中，學習了乘法口訣.在第二學段整數乘法中，充分抓住數概念的本質，以計數單位個數累加來統領整數乘法.

兩位數乘一位數的口算，20×3，在這里應充分借助數概念的本質，20就是2個十，2個十乘3，得6個十，6個十就是60，讓學生初步感悟計數單位個數的累加.在兩位數乘一位數的筆算中，也是借助數概念的本質，12×3可以把12看成1個十和2個一，1個十和2個一分別與3相乘，1個十乘3就是3個十，3個十就是30，2個一和3相乘就是6個一，6個一就是6，然后再把這兩部分合起來.教材借助數形結合的思想，讓學生清楚看出，把12乘3分成10和2分別與3相乘，先分后合的過程，讓學生感受從未知到已知的轉化.體會兩位數乘一位數實際上也是計數單位個數的累加.

兩位數乘兩位數的學習可延續兩位數乘一位數筆算的思路，借助圖形，讓學生理解兩位數乘兩位數的計算過程，也是通過先分后合實現知識從未知到已知的轉化.到了三位數乘兩位數，學生借助兩位數乘兩位數的經驗去探究三位數乘兩位數的算理和算法，體現運算一致性，實現知識遷移.

兩三位數乘一位數、分數乘整數和小數乘整數，都是基于乘法是求幾個相同加數和的簡便運算這一乘法的意義，體會計數單位個數的累加.40乘2是4個十乘2得8個十，所以是80;2.8乘4是28個0.1乘4得112個0.1，是11.2;23乘4是2個13乘4得8個13，是83.兩、三位數乘一位數同分數乘整數和小數乘整數都是一樣的，都是計數單位個數的累加.

2.2.2" 與數概念的本質、運算律等有效融合，突出計數單位個數的運算

（1）計數單位相乘得到新的計數單位

兩位數乘兩位數口算20×30時，10乘10等于100，這里的十是計數單位，計數單位十和計數單位十相乘得到的新的計數單位一百.借助數概念的本質，十個十就是一百，讓學生初步的感悟計數單位相乘得到新的計數單位，為后續兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數的運算奠定基礎.小數乘小數、分數乘分數可以引入矩型模形，借助數的意義突破計數單位相乘得到新的計數單位.小數乘法中0.1×0.1，借助圖形結合小數的意義，讓學生體會0.1×0.1，就是求十分之一的十分之一，也就是百分之一，是0.01，讓學生感悟計數單位0.1和0.1相乘得到一個新的計數單位0.01.

將整數、分數和小數計數單位相乘得到新的計數單位作為整數、小數和分數復雜計算的開啟.主要就是突破產生新的計數單位運算的理解，后續的復雜計算都可以以計數單位個數相乘轉化成舊知識解決問題.

（2）計數單位個數相乘得到新的計數單位個數

兩位數乘兩位數中口算20×30時，其中2×3=6.這里的2和3都是兩個乘數計數單位的個數.6就是新的計數單位的個數，讓學生初步感悟計數單位個數相乘得到新的計數單位的個數.教學小數乘小數，2.8×1.2，根據小數概念的本質，2.8就表示28個0.1，也就是28乘0.1，1.2就是12個0.1，也就是12乘0.1，根據乘法交換律和結合律，先算28乘12，再算0.1乘0.1，分別是計數單位個數相乘、計數單位相乘，得到新的計數單位是0.01，新的計數單位的個數就是336，336個0.01就是3.36.計數單位個數相乘、計數單位相乘借助于乘法運算律，實現了整數乘法到小數乘法的遷移，將小數乘法轉化成整數乘法，從而實現新知和已知的轉化.

同樣，分數乘法也是根據分數的意義和乘法交換律和結合律呈現了分數單位個數相乘和分數單位相乘這樣的算法.45乘23，45表示4個15，也就是15乘4，23就是2個13，也就是13乘2，根據乘法交換律和結合律，先算4乘2等于8，再算15乘13得到新的分數單位是115.新的分數單位的個數是8，就是8個115，也就是815，借助于分數單位個數相乘，分數單位相乘，將分數乘法再一次轉化成整數乘法，體現了分數乘法、整數乘法和小數乘法運算的一致性.

在乘法的教學中，應打通整數乘法、小數乘法和分數乘法上的關聯，把握乘法運算的本質，也就是計數單位相乘得到新的計數單位，計數單位個數相乘得到新的計數單位的個數，體現了乘法運算的一致性，發展學生的運算能力和推理意識.

3" 案例研究，推進乘法運算一致性的落地.

老師們常思考：如何真正地讓孩子關注到數的運算，實際就是計數單位的運算這一問題.其中小數乘小數的算理是比較抽象，新學階段還無法與分數乘法加以溝通，給學生的理解造成了障礙.接下來就以《小數乘小數》為例，以“一致性”為學習的腳手架，突破難點.

3.1" 數形結合，突破理解

借助學生探究生成的問題：0.1×0.1＝0.01，為什么等于0.01？讓學生借助圖形，來研究0.1乘0.1到底等于多少？充分調動了已有的知識經驗，0.1就表示把整體1平均分成十份取其中的一份，結合小數的意義，就是求0.1個0.1是多少，也就是0.1的十分之一是多少.把0.1再平均分成十份，取其中的一份，借助圖形，學生很清晰地就可以看出，0.1乘0.1，就是求十分之一的十分之一，也就是0.01，借助數形結合，明析0.1乘0.1為什么等于0.01.也就是兩個乘數的計數單位，0.1和0.1相乘產生了一個新的計數單位，也就是0.01.透過這個表象，讓學生進一步的提煉出計數單位相乘產生了一個新的計數單位.

從計數單位的視角挖掘本質進一步突破了計數單位相乘產生新的計數單位這個問題的理解.在動手操作中感悟，在交流碰撞中明晰，在深度思考中提煉，讓學生進一步體會到計數單位相乘產生新的計數單位.

3.2" 聯系經驗，遷移類推

乘法運算一致性的價值，就是幫助學生實現知識的遷移和經驗的積累，在探究結束后及時地梳理知識之間的聯系，深度挖掘運算的本質，感悟運算的一致性.

3.2.1" 調取經驗，以核心問題引領探究活動.

“關于乘法，你想從哪些方面來研究它？”課前充分調動學生已有的知識經驗、方法策略，引導孩子們從怎么算，為什么這么算，和之前的學習有怎樣的聯系三方面思考.培養學生從算法、算理到一致性這三個方面進行研究的經驗.這就要求老師在日常的教學中也需關注到這一點，加減乘除、小數、分數、整數的運算都是從這三個方面來探究，以核心問題來引領課堂探究動.

3.2.2" 溝通聯系，從表象走向本質.

教學2.8乘1.2，老師大膽放手，讓學生借助已有的經驗進行小數乘小數的探究.有的孩子是用計數單位和計數單位相乘，計數單位的個數和計數單位的個數相乘.老師問：“28乘12求的是什么？0.1乘0.1求的是什么？”2.8就是28個0.1，1.2就是12個0.1，28是計數單位的個數，12是計數單位的個數，計數單位的個數與計數單位的個數相乘得到新的計數單位的個數是336.計數單位0.1和計數單位0.1相乘得到新的計數單位0.01.有的孩子是根據積的變化規律，轉化成整數乘法來計算.

重現兩種算法之后，提問：仔細觀察兩種方法，有沒有相同的地方？引導學生發現，小數轉化后的整數，其實就是計數單位的個數，整數乘整數就是計數單位個數相乘，產生新的計數單位的個數.整數通過積的變化規律，變回小數的過程，其實就是乘了計數單位相乘后產生的新的計數單位.以老師的問題做

引領溝通知識之間的聯系，讓學生從表象走向了問題的本質，再次指向計數單位這個核心要素.

總體來說，老師要以計數單位做統領，在乘法運算中體會知識之間的聯系，形成經驗.在遷移、類推的過程中，深度思考，感悟乘法運算存在的一致性.在整體化理念的指導下，實現對乘法一致性的整體建構，發展學生的運算能力和推理意識.運算的一致性是每一位老師需繼續研究和實踐的一個重要話題，要繼續研究課標，研讀教材，將乘法運算一致性，落實到老師的課堂教學中，服務于學生核心素養的發展.

參考文獻

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［J］. 教育研究與評論，2023（8）：92-96.