小學數學的思維進階路徑及形態研究

摘" 要：數學思維進階已成為現代數學教育的重點目標之一，不僅是提高學生素質的重要抓手，也是落實新課標任務的關鍵舉措.從實際情況來說，小學數學思維發展以符號認知和數學語言學習為出發點，以模型思維與知識的系統化應用為落腳點，可基本構建出小學數學的思維進階路徑及形態.基于此，本文從明晰與默會、認同與批判、再現與創造三階段對小學數學的思維進階路徑加以闡述，進一步提出建模思維視角下的小學數學的思維進階形態，旨在為提高小學數學教學質效提供參考.

關鍵詞：小學數學；思維進階；數學思維

小學階段作為學生學習的起步階段，對于學生的后續學習與生活均有著很大程度的影響.具體到數學學科上，則體現為學生數學認知、數學思維和數學美感的養成與促進.小學數學的思維進階可以從三個維度理解：一是小學數學知識本身具有進階性特征，數學知識可按照理論與實踐、舊知識與新知識、顯性知識與隱性知識等多種類別進行認知上的遞進；二是小學數學學習本身具有進階性，小學生對數學學習方法的應用具有很強的持續性與階段性，是一種知識吸取、遷移、應用以及創新的漸變過程；三是小學數學學科本身具有進階性，數學學習于小學生而言是一種碎片化知識向整體化知識過渡的過程，隨著知識增加的累積，小學生能夠實現由片面到全面的發展.

1" 小學數學的思維進階路徑

小學數學思維是一個較為抽象的教育概念，許多學者從不同角度對這一名詞進行了闡釋與研究.本文認為，小學數學思維可綜合概括為小學數學階段教學的凝練，是對小學數學科學知識的一種抽象概括.具體在學生個人發展上，體現為小學數學思維的由淺入深、由低至高，是一種循序漸進的進階脈絡.以數學思維系統化創新運用作為著手點，其進階路徑大致可分為三個階段.［1］

1.1" 明晰與默會：抽象認知與邏輯推演

從知識類型角度來說，小學數學知識大致可劃分為顯性知識，即基本數學概念與符號認知等，以及隱性知識，即知識應用與專業創新等.心理學家科爾伯格（Lawrence Kohlberg）的“三水平六階段”認知發展理論，將人的認知發展進行了劃分，其中小學生正處于科爾伯格前習俗水平的第二個階段，在數學學習上基本遵循著“顯性認知→內化理解→外在應用”的脈絡.此階段學生的思維進階，是一種從知識的表象認識到內在機理掌握的轉變，即明晰知識認知到抽象邏輯推斷的轉變.一方面，知識的高度凝練與高度抽象決定了小學數學思維進階具備著層次化特征，學生對數學表象知識的認知是一種形象化的認知，是對個別數學符號與概念屬性的一種直觀領會，體現為生動性的感官理解.此階段下，小學生在掌握了最基本的數學語言形式后，必然會自發地進行形而上的邏輯思考，這種思考是超驗的，需要結合自身的思維特點與邏輯特征對各種各樣的形式豐富的數學符號與數學概念加以整合，最終形成系統化的抽象認知.［2］另一方面，知識的層次化也決定了小學數學思維進階的階段性.小學階段年級跨度較大，數學知識的難易程度呈現出一種由易到難的趨勢性變化.因此，小學數學思維進階必須要注重數學語言的傳授與解讀，幫助學生主動思考數學語言蘊藏的內在機理與邏輯形式.

1.2" 認同與批判：橫向比較與縱向探究

如果說明晰與默會階段的學生是在具體的、整體的知識框架下進行某個問題或某個知識群落的思考，那么認同與批判則是促進學生從單純的數學概念學習，到理智的數學思維認同的轉變.此階段是小學中高年級段學生的思維進階階段，相較于低年級段，此階段的思辨性特征更加凸顯，具體體現為學生更加關注數學概念的比較與探究.從橫向角度來說，學生思維進階是一種關聯性知識的辯證思考，學生能夠對同類公式與定理進行邏輯上的梳理與概念推斷；從縱向角度來說，學生思維進階是一種認識水平的重新塑造，能夠對生活與學習中獲取到的碎片化知識進行重新整合.此階段著重體現為橫向素材的佐證對比以及縱向素材的傳承創新，以此來推動學生數學思維的不斷進階.［3］一方面，在科學的教學體系運作下，數學語言的抽象性同歸邏輯這一形式被提煉、整合最終被學生吸收，從而形成獨特的數學意識.學生在這種對數學知識淺層次認知向深層次結構的轉化下，數學思維逐步轉向抽象化、邏輯化與規律化的深層次認知，進而打造出具有自身特性與抽象思維的個性數學認知.另一方面，數學知識的表意學習能夠在具象化概念中，幫助學生科學地、合理地表達數學基本觀念，從而提出自身觀念或發展中存在的問題.借助于數學知識的高嚴謹性與高標準性，學生的思考過程與思維進階得以不斷的糾偏與反思.

1.3" 再現與創造：思想具化與行為實踐

從教育實踐與教育經驗來看，學生在初級學習階段下的思維模式主要以實踐思維為主導，思維作為行動的導向，其最終的培養重點與價值實踐也在于實踐.其中的區別在于學習者的實踐是一種“行為實踐”還是“實踐行為”.前者是一種由外而內的行為遵循，后者則是一種考性的實踐理性行為.［4］由此可見，“行為實踐”可稱為是學習者對數學基本邏輯結構的重塑體現，“實踐行為”則是一種在具備充足數學素養下進行的具有思考性與創造性的數學實踐活動.這一階段的數學思維進階不再局限于數學學科本身，而是兼具著跨學科、跨領域的社會屬性，重點在于培養學生的知識應用與思維轉化能力.此階段的學生面對的數學問題更加多元與開放，對該問題的解答往往不能局限于單一的數學知識，需要結合其他領域的內容進行思考.因此，此階段需要將前兩個階段學生形成的數學思維進行具體化與實踐化的轉化，能夠在系統性的數學模型以及綜合化的教學模式下構建出解決問題的情境與培養解決問題的思維能力.

2" 建模思維視角下的小學數學的思維進階形態

數學語言的一般定義指的是以數學概念、定理和規律為基本規則，以各類數學符號與數學概念為主要元素，按照特定的思維模式與規則構建出的一種語言體系.傳統教學模式下尤其注重數學語言的講授，并以數學語言對話這一形式開展教學活動.在小學數學的思維進階形態中，數學語言對話是一種早期階段的形態模式，建模思維視角下學生的思維進階必須要實現數學語言對話向建模思維養成的進階轉化.小學數學思維進階形態具有三種特性，即螺旋性、無限性與延展性.對上述三種形態特征進行綜合概括，思維進階在整合不同層次的碎片化知識中，指向數學學科的本質規律從而延展到學生的解決實際問題能力以及創新能力等綜合素質的培養.［5］由此可見，如果試圖使用某種思維來概括小學數學思維進階的高層次形態，那么本文將其定義為，是一種能夠抽象現實知識、具象數學語言再到實踐應用的循環思維能力，即數學建模思維的形成.

2.1" 從對話到建模：小學數學思維賦能的形態轉向

數學模型作為一種模型思想，在教學實踐中的應用主要是為了能夠系統化地解決各種類型的教學問題，也是適應當前新經濟形勢下各類社會問題需求的數學思想之一.小學數學教學對數學模型的應用主要體現為建模意識以及建模思維的養成與優化，能夠引導學生，利用正確的、合適的數學語言表述數學建模過程，并正確理解、認知數學建模的內在機理與本質含義.針對小學生的生理特點，數學建模思維的培養，也是一種從學習對話到思維建模的轉變過程.一方面，小學數學思維賦能的起始階段強調對個性問題的解決，形態轉向下則需要學生能夠向解決共性問題加以轉變.數學語言主題對話中的訓練更多的是一種思維鍛煉形式，學生能夠對自身的數學語言表達、數學知識認知以及數學問題思考進行轉變.與之相對，數學建模則是一種模型設計方式，是學科內部知識向外部實踐應用的形態轉化，側重于對各種形態、規模的共性數學問題的分類措施制定.另一方面，對話到建模小學數學思維賦能的形態轉向，也可稱之為是顯性數學知識向隱性邏輯規律的探究轉化.［6］數學對話雖然在形式上與內容上也會注重數學定理與相關邏輯規律的探究，但是這種探究是一種任務型的教學活動，強調知識的記憶與學習的規范.而數學建模則更加強調能夠在已有知識基礎上，對現有問題進行重新解構與理解認知，整合當前要素形成具有數學邏輯與個性思維的數學模型.

2.2" 從片段到連貫：小學數學建模思維的形態框架

小學數學建模思維作為小學數學思維進階的最終形態，并不要求其能夠在現實生活中進行實際應用，而是強調數學知識的內化、滲透與綜合運用.具體到小學數學教育層面，則體現為教師對學生數學模型的感知能力培養以及數學問題鏈的構建.由此可見，小學數學建模思維是生成于實踐問題，最終在數學知識以及學生已有的數學經驗基礎上，進一步制定出最終的解決方案.從這一角度來說，小學數學建模思維的形態進階，強調知識的片段獲取以及知識的連貫性設計.小學數學學習的第一階段層面是一種連貫學習向片段學習過渡的過程，即按照不同主題與不同問題類型，實現對數學知識的橫縱向對比與挖掘.此過程是一種知識資源的整合過程，也是幫助學生擺脫教師教學依賴，能夠圍繞一個核心主題獨立思考問題的過程.在此過程中，學生能夠通過搭建數學模型找尋問題的最優解，并實現對模型的不斷優化與完善.小學數學學習的第二階段層面，是一種知識應用上的片段到連貫.現階段小學數學教學是一種階段性的目標式教學，即按照教師預設的教學目標任務進行逐層推進.［7］學生建模思維的培養，必須要實現對數學知識的邏輯關系串聯以及思想深化的由淺入深，并為學生提供具有選擇性的解題工具與解題路徑.在這個過程中，逐步引導、促進學生形成系統化的數學知識體系與數學知識架構，并能夠借助于思維導圖這一形式加以呈現，并要求學生能夠對各個關鍵概念與數學定理進行全面掌握.

2.3" 從學思到踐悟：小學數學思維品質的形態標尺

數學建模思維之所以是小學數學思維進階的首選，其根本原因在于建模思維在以數學學科為生成點的基礎上又超越了單一的數學學科知識內容，并產生了具有跨學科、跨領域的社會屬性特征.目前來說，因為現階段小學數學知識的組織架構以及小學數學教學要求的提高，教學重點已經從原本的學科專業知識學習不斷向社會屬性的實踐性學習進行轉化，更加注重小學數學思維品質的實踐領悟考量.與此同時，數學應用的基礎，是數學語言以及數學知識持續性的動態科學認知.在這種要求促進學生能力素養發展的時代背景下，小學數學思維進階本身就包含著滿足學生素養提升的基本要求，需要引導學生能夠利用科學思維對知識框架內的實際問題進行解決與思考.此過程需要明確，數學實踐應用是數學思維品質的一種具象化體現，也是淬煉、培養學習者數學思維品質的重要舉措.而達成這一目的的前提，是實現數學模型不斷優化，并推動數學思維進階的集中體現.此外，數學語言向數學建模的進階并非是彼此孤立存在，而是二者互為表里、共同發展的螺旋式上升姿態.［8］因此，教師必須要統籌二者關系并進一步發揮二者的協同效應，切實推動小學生數學思維品質的提高.

3" 結語

綜上所述，小學數學思維進階是一項綜合性、系統性的教學工程，自有其內在的統一的基本規律與運行脈絡.如果將學生對數學語言的認知與運用看做是數學思維進階的起始點，那么對數學知識的綜合運用與脈絡開發，則是小學數學思維更高層次的實踐利用.前者是對數學語言與數學知識的認知，后者則是對數學思維與數學規律的運用，二者的交叉融合推動著小學數學思維進階的螺旋上升.

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