基于問題情境的“弧度制”教學設計探索

摘" 要：本文探討了在高中數學中引入弧度制的背景與重要性，強調通過問題情境激發學生思考和交流.重點是通過情境力求引導學生思維，構建深入的數學學習體驗.

關鍵詞：弧度制；情景教學

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0034-03

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：陳建樹（1994.11—），湖北省武漢人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

《普通高中數學課程標準》強調，除了關注具體數學內容，還要注重學生的核心素養

發展.課堂教學中，教師應結合學生思維發展，設計遞進問題情境，引導學生深入思考，培養數學核心素養.因此，在教學中，結合教學任務設計適宜的問題情境，促進學生數學核心素養形成，這一方法不僅促進學生的學習體驗，還提升學生的數學素養.

1" 教學目標

（1）根據函數必須是實數集到實數集的對應，體會弧度制引入的背景及必要性.

（2）在半徑不同但圓心角相同的扇形中，學生利用初中所學的扇形弧長公式，可以發現弧長與半徑之比保持不變.由此，學生可以深化對弧度制概念的理解，進而體會數學抽象的層次性以及邏輯推理的嚴謹性.

（3）學生要理解弧度制是一種度量角的方式.同時，學生能夠利用180°=πrad這一關系，進行弧度制與角度制的轉化.

2" 教學重難點

教學重點：通過了解弧度制的歷史背景，掌握弧度制，并且能夠熟練地轉換角度制與弧度制.

教學難點：深刻理解弧度制的意義，能夠將角的集合與實數集一一對應.

3" 教學過程

3.1" 創設情境，復習引入

老師：同學們，你們聽說過印度數學家阿耶波多嗎？他是一位出生在公元六世紀的杰出數學家.他在研究正弦表時，遇到了一個非常有趣的問題.現在，讓我們一起來探討一下他的研究.

（老師在黑板上寫下等式sin30°=0.5）

老師：大家留意這個等式，左邊的角度表示方式是以六十進制為基礎，而右邊的三角函數值則以十進制為基礎.這引發了一個問題：我們是否能夠簡單地進行角度和三角函數值之間的運算呢？

學生A：老師，這是個有趣的問題！我以前學的運算都是數值相加，這個好像不太一樣.

老師：很好的觀察！你說得沒錯.事實上，角度與三角函數值是不同的.那么，如果我們試圖計算30°+sin30°，會發生什么呢？誰愿意試一試？

學生B：我試試！那就是30°+0.5對吧？

老師：嗯，你的想法很好.但是，讓我們想一想，30°是一個角度，它的單位是度，而0.5是30°的三角函數值，是一個實數.你覺得我們能夠把這兩者直接相加嗎？

學生C：好像不太行，因為一個是角度，一個是實數.

老師：你說得很對！這就是我們今天要討論的問題.角度與三角函數值是不同類型的量，它們不能直接相加.這也是為什么在阿耶波多的等式中，角度和三角函數值使用了不同的進制.這個問題引發了我們的思考，角度和三角函數值之間的關系是怎樣的，我們又如何進行運算呢？

【設計意圖】通過創設數學文化情境，旨在激發學生思維能力.通過情境引導，教師鼓勵學生深入思考，培養問題思考和解決能力，為數學學習注入了活力.

探究活動：為了探討如何使用十進制實數來度量角的大小，我們首先要明確角度的大小與哪些量有關.如下圖所示（圖1角α），射線OA繞著端點O旋轉，旋轉到射線OB處停止，這個過程構成了角α.射線OA上的點P（不同于端點O）旋轉的軌跡形成了一段圓弧，這段圓弧就是角α的另一個度量形式.

3.1.1" 弧度制

老師：你們還記得小學時將圓分成360份，每份的圓心角大小是多少嗎？

學生A：是1度.

老師：對！但是，我們思考一下，除了角度制，還有其他表示角的方式嗎？

學生B：或許可以用扇形來表示，類似小學時學的方法.

老師：很有想法！就像小學時一樣，我們可以從扇形的角出發.看這張圖，射線OA從端點O旋轉到OB，這個角我們用α表示.在旋轉過程中，點P（不同于O）在射線OA上的軌跡形成了圓弧，對應于圓心角α.我們能用什么來表示這個角α呢？

學生C：應該還是用度數吧，像以前學的那樣.

老師：對，沒錯.但是，我們來重新思考一下.如果我們用圓弧的長度l除以半徑r，會得到什么？

學生D：或許會得到圓心角α的大小.

老師：很好的想法！事實上，這個比值就是圓心角α的弧度數.在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對應的圓心角的弧度數可以由這個比值確定.這就是弧度制的定義.我們用弧度單位rad來表示.

學生E：這樣的話，弧度制就是另一種表示角的方式.

老師：對！弧度制是一種與角度制對應的角度表示方式.但是，你們是否注意到，在角度制中，常常會涉及180°，而在弧度制中沒有.那么，這個180°從何而來？

學生F：我們以前學過，一個圓的周長是360°，所以半圓的周長就是180°.

老師：很正確！這個180°是源自圓的角度定義.而在弧度制中，我們通過推導發現，角α可以用一個實數來表示.這一過程將我們重新帶回了完整的圓和圓心角的概念.

【設計意圖】強調數學知識之間的聯系與融合，讓學生理解數學的各個部分是有機結合的整體.

3.1.2" 角度制與弧度制的換算

老師：同學們，我們剛剛學習了角度制和弧度制，它們都是度量角的單位制.你們有沒有想過，這兩者之間一定存在某種內在的聯系呢？

學生A：老師，我感覺角度制和弧度制確實很相似，但我還沒有找到具體的聯系.

老師：很好的觀察！確實，角度制和弧度制之間有一種特殊的聯系.我們一起來思考，是否有一個角可以作為橋梁，建立角度制和弧度制之間的聯系呢？

學生B：我覺得周角可能是一個很好的橋梁.因為周角是一個完整的圓，它對應的角度是360°，也對應一個完整的弧度，就是2π弧度.

老師：很好！你的想法非常棒.周角確實是一個理想的橋梁，讓我們把角度制和弧度制聯系起來.這樣，我們可以得到一些換算公式.

學生C：我明白了！在周角中，360°對應的弧度就是2π弧度.那么180°對應的弧度就是π弧度.

老師：很好，你抓住了要點！正是這樣.我們可以利用周角的關系來建立角度制和弧度制之間的聯系.不僅如此，我們還可以繼續推導，0°對應的弧度是0弧度.

學生D：這樣，我們就可以得到換算公式了吧！

老師：對！我們可以總結出如下的換算關系：1弧度約等于57.30°，1°約等于0.017 45弧度.這樣，當我們需要在角度制和弧度制之間進行換算時，就可以利用這些關系了.

學生E：這樣的聯系確實很有意思，而且也很實用！

老師：正是如此.通過理解角度制和弧度制之間的聯系，我們可以更靈活地在不同情境下進行角度的表示和運算.

【設計意圖】通過情境引導，教師旨在激發學生的比較思維，透過具體示例逐漸推導出普遍規律，深入研究角度和弧度之間的互換關系.通過分析和推理，學生可以自發地總結出弧度與角度之間的轉換公式，培養他們的問題解決和邏輯思考能力［1］.

3.2" 當堂檢測，鞏固提升

例1" 將下列角轉化為另一種形式表示：

（1）22°30′；" （2）-210°；" （3）1 200°；（4）π12；""" （5）-4π3；"" （6）3π10.

例2" 將-1 485°表示成α+k·2π（0≤αlt;2π，k∈Z）的形式是.

練習" 填寫特殊角的角度數與弧度數的對應表（表1角度數與弧度數練習題）

3.3" 歸納小結，知識升華

（1）問題：本節課我們是如何研究弧度制的？你在這個學習過程中獲得了哪些新見解？

（2）研究路徑：我們首先認識到了引入新的角度單位制的必要性，深入探討了影響角度的相關量，確定了新度量形式.隨后通過角度與弧度的轉換，建立了角度與實數之間的緊密聯系，學習了不同單位制之間的轉換方法，最終將這一創新的角度單位制應用到實際問題中.

【設計意圖】 通過總結和歸納，引導學生反思他們的學習路徑和方法，幫助他們構建有價值的思維模式.

4" 教學反思

4.1" 注重文化情境，激發興趣，引導思考

數學教育的價值不僅在于傳授知識和技能，更重要的是培養數學思維，將數學融入文化之中.在教學設計中，教師應當精心挑選適當的文化元素，將其融入問題情境，從而激發學生的學習興趣和好奇心.

4.2" 重視內在關聯，層層遞進，深化思維

教學設計應當緊密結合學習內容，通過問題情境逐步引導學生深入核心.問題的構思應既具備邏輯的銜接性，又能引發自主探究，同時問題與問題之間的聯系應該呈現逐步深化的趨勢.

4.3" 強調數學思想，積累經驗，發展素養

數學思想作為數學知識發展的核心，在教學過程中應被視為至關重要的部分.在數學教學中，教師通過設計巧妙的教學活動可引導學生深入參與，親身體驗數學知識的形成與演化.

5" 結束語

教學設計應該貼近學生的思維發展，從引發興趣、逐步引導思考，到強調數學思想的形成，這些都有助于學生在數學學習中更深刻地理解和應用知識.

參考文獻：［1］

汪健，任念兵.高中數學主題教學之“概念類主題”：以高中數學中“比”的概念為例［J］.數學通報，2021，60（8）：22-26.

［責任編輯：李" 璟］