初中數學教學中培養學生模型觀念的策略探究

【摘要】模型觀念具有高度的培養價值.指導學生理解數學模型的內涵，認識到數學模型對解決實際問題的積極意義，是提高學生數學理解水平與應用能力的關鍵.教師應認識到模型觀念的培養意義，并做好相關教學工作.文章詳細說明了模型觀念的含義，探討了模型觀念對于解決抽象問題、生活問題、幾何問題的積極作用，并結合具體教學案例，探究了初中數學教學中模型觀念的培養路徑，指出教師可以通過整合教學內容、合理舉例、組織系列活動、設計科學練習等方式幫助學生樹立模型觀念，期望為教師教學提供參考.

【關鍵詞】初中數學；模型觀念；理解；路徑

【基金項目】本文系江蘇省中小學“十四五”教研重點自籌課題《初中生數學建模素養培育實踐研究》（課題編號：2021JY14-ZB81）的階段性研究成果之一.

初中數學教學中，教師必須為學生提供更多認識數學模型、建立模型的機會，使學生在課堂學習中了解數學模型的用途，提高學生的認知水平.為此，初中數學教師有必要深入研究關于模型觀念的教育文獻，同時立足教學實踐總結教學經驗，為優化課堂教學、指導學生樹立模型觀念做好準備.

一、模型觀念的含義

模型觀念是對數學模型的認識、看法與看待問題的方式.其中，模型指的是數學模型，即借助數學邏輯方法、數學語言構成的科學或工程模型，一般表現為用數學符號、數字及字母建立起來的數學概念、公式、圖像、圖表等.根據教學實踐，數學模型可被理解為實際事物的一種數學簡化，一般以接近實際事物的抽象形式存在，具有科學性、邏輯性、可觀性等特征.觀念指的是人們基于自身知識基礎及生活、學習經驗而形成的對事物的理解和看法，是人們思維活動的產物.

新課標在課程目標部分解釋了模型觀念的內涵，指出“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識”.基于新課標，我們可以明確模型觀念有如下含義：一是認識到建立數學模型是聯系數學與現實世界的基本途徑；二是用抽象的思維方法從現實生活或具體情境中提煉數學問題；三是根據數學問題中的數量關系、空間形式，用數字、幾何圖形等建立代數關系式或幾何模型.

二、模型觀念的培養作用

（一）可指導學生解決抽象難題

初中數學學習中，學生不可避免地會遇到一些較為抽象的難題，教師通過培養學生的模型觀念，可以使學生在解讀、分析問題的過程中抓住問題本質，基于問題的數量關系構建方程、不等式等數學模型，尋求解決抽象難題的突破口，繼而輕松解決抽象難題.例如，“華羅庚金杯少年數學邀請賽”有這樣一道抽象難題：華羅庚教授在一首詩文中勉勵青少年，“猛攻苦戰是第一，熟練生出百巧來.勤能補拙是良訓，一分辛勞一分才”.現在將詩文中不同的漢字對應不同的自然數，相同的漢字對應相同的自然數，結果不同漢字所對應的自然數可以排成一串連續的自然數.如果這28個自然數的平均值是23，“分”字對應的自然數的最大可能值是多少？基于模型觀念，解決此題可先明確問題潛藏的數量關系，嘗試運用數學符號表示問題中的數量關系或變化規律，繼而解決問題.如，題目中有28個字，“分”與“是”出現2次，“一”出現3次，其他字各出現1次.28個自然數的平均數是23，其中有24個是連續的自然數.基于模型觀念，以23為中心向左、向右各寫12個數，得到25個連續的自然數：11，12，13，…，34，35.因為只有24個不同的數字，因此要去掉最小的11（剩下24個連續的自然數），增加1個13、1個35，這樣，總和比23×26多出（13-11）+（35-23）=14.如果再增加2個16，那么28個數的平均數正好是23.所以出現2次的“分”可以是35，不能再大了.如果“分”≥36，那么這28個數的和至少是13+14+…+36+36+13+13+14=23×28+20，平均數大于23.

（二）可幫助學生解決生活問題

（三）可幫助學生化簡幾何問題

初中數學幾何內容以研究圖形的空間結構及性質為主，幾何問題也由此展開.一般情況下，幾何問題并不會在題目中給出過多信息，需要學生基于幾何圖像分析并解決問題.教師指導學生運用模型觀念分析問題本質、構建幾何模型，可以使學生快速完成幾何證明.例如，如圖所示，若AB∥CD，此時，∠B，∠D，∠E之間有什么關系？請證明.基于模型觀念解決問題，可以過點E作直線l∥AB，構建平行線模型，再結合AB∥CD證得∠B+∠D+∠E=360°.

三、初中數學教學中模型觀念的培養路徑

（一）關注模型觀念本質，整合教學內容

培養初中生的模型觀念需要借助合適的教學內容.目前的初中數學教科書并未明確給出構建數學模型的方式方法，需要教師從教科書給出的概念、原理、習題中挖掘與模型觀念培養有關的教學內容，并將其以恰當的形式呈現給學生.教師應當基于數學模型應用性、抽象性的本質深入解讀教材文本，并利用導學案、演示文稿等教學工具組織教學內容，為學生認識數學模型、形成模型觀念提供資源支持.以蘇科版七年級數學上冊“從問題到方程”一課的教學為例.方程是一種數學模型，可以幫助人們解決現實問題.將問題轉化為方程的過程即基于模型觀念解決問題的過程.基于此，教師可挖掘蘇科版教材內的模型觀念培養教學內容，同時以PPT的形式展示出來.如：籃球聯賽規則規定，勝一場得2分，負一場得1分.某籃球隊賽了12場，共得20分.怎樣描述其中數量之間的相等關系？教師可引導學生抓住問題本質，以圖表的形式展示問題中的相等關系（見下表）.

假設該籃球隊勝了x場，那么該籃球隊的負場數為（12-x）場，總場數為[x+（12-x）]場，即12場，總分數為[2x+（12-x）]分，即20分.由此得到方程模型2x+（12-x）=20.

重點解析：數學問題存在已知量、未知量，分析已知量、未知量的數量關系，運用方程思想與模型思想分析問題中的等量關系，并基于等量關系構建方程模型解決問題，這一過程就是基于模型觀念解決問題的過程.

這樣利用教科書給出的內容挖掘其中的模型觀念培養教學內容，同時整合課外的教學資源完善演示文稿內容，集中說明數學模型是什么、建構數學模型所用到的思想與方法等，可幫助學生初步形成模型觀念.

（二）考慮數學現實，合理舉例培養模型觀念

新課標明確指出，模型觀念包括“初步感知數學建模的基本過程”.部分學生的抽象思維水平低，難以憑借自身所掌握的知識、經驗挖掘問題本質，掌握建立數學模型的原理及方法.教師應當考慮到學生的現實發展情況，根據學生的認知發展規律，引導學生按照“認識—理解—內化”的順序理解數學模型的內涵，使學生掌握構建數學模型的方法.為此，教師需要基于現實生活中的具體問題舉例說明，通過講解數學模型的建構過程強化學生的認識，有效培養學生的模型觀念.以蘇科版七年級數學下冊“二元一次方程組”一課的教學為例，教師可以立足現實生活整理數學模型建構案例，并根據七年級學生的學習特征組織語言，有序引導學生思考.七（2）班8名師生去某公園游玩，他們買門票共花了34元，每張成人票5元，每張學生票3元，分別有幾名教師、學生去了公園？我們可以假設去公園的教師有x人，學生有y人，根據師生總數量可以得到方程x+y=8，根據花費可以得到方程5x+3y=34.之后聯立方程組求解，可以得到x=5，y=3，即一共有5名教師、3名學生去了公園.在這一案例中，我們用到了假設法，將具體的參與人數假設為抽象的x，y等數學符號，再基于條件中的數量關系構建方程組模型，最終完成問題求解.這一過程的本質是將實際問題抽象為數學問題，重點在于將文字語言轉化為符號語言.列舉現實案例可使學生認識到數學模型的應用意義，了解數學模型建構的全過程，指導學生在解讀、分析案例的過程中明確假設法是構建數學模型的有效方法，豐富學生數學模型的學習經驗，為學生學會應用數學模型解決其他問題奠定良好基礎.

（三）著眼學生發展，系列活動強化模型觀念

培養學生的數學觀念并非簡單地說明數學模型的含義及構建方法，還需要引導學生了解構建數學模型的思想方法.要實現這一教學目的，教師需要轉變教學觀念，用互動型教學方法代替傳統的講授式教學方法，引導學生在師生互動、生生互動的過程中感悟數學模型的建構意義，總結數學模型的建構方法，逐步強化學生的模型觀念.以蘇科版八年級數學上冊“勾股定理”一課的教學為例.

1.創設情境，引導學生初步認識數學模型

對于大多數學生而言，數學模型具有一定的抽象性，在理解、應用方面存在困難.為避免學生在探索數學模型的過程中產生畏難情緒，教師有必要貼近現實生活創設教學情境，借助有趣、生動的情境滲透建模思想.在此過程中，教師還可圍繞情境內容與學生展開對話，通過對話的方式引導學生進一步探索數學模型.為促進學生與“勾股定理”一課中模型觀念培養教學內容的深度交互，教師可利用多媒體創設生活情境，調動學生的學習積極性.如教師播放幻燈片展示畢達哥拉斯家的瓷磚，同時創設情境：他們家的瓷磚美嗎？美在哪里？借助非數學性的問題驅動學生參與討論，引導學生說出瓷磚可構成小正方形、大正方形、長方形等答案.這時，教師放大幻燈片，引導學生將目光集中在某塊直角三角形瓷磚上，指導學生關注分別由直角三角形兩條直角邊、一條斜邊構成的正方形，并提出問題：這三個正方形的面積有怎樣的關系？由此借助情境驅動學生觀察、發現、類比、猜測，引導學生初步認識“畢達哥拉斯定理”這一概念模型.

2.布置任務，驅動學生合作完成模型建構

傳統的教學方式以“教師講授、學生聽講”為主要形式，這在一定程度上抹殺了學生自主學習的天性.讓學生充分參與到數學模型構建過程當中，才能夠真正強化學生的模型觀念.為此，教師可將任務教學法用于初中數學教學，調動學生的數學模型探索熱情.實際教學中，教師可以先分析課程主題，挖掘其中蘊藏的模型觀念培養教學內容，之后圍繞此類教學內容布置學習任務，驅動學生以小組為單位合作建構數學模型.對于“勾股定理”一課，教師可圍繞該課的教學主題布置學習任務，如利用手中的工具驗證畢達哥拉斯定理（勾股定理），并說說你的發現，由此驅動學生討論完成任務的方案，并運用直角三角板、量角器、刻度尺、計算器等工具繪制直角三角形、測量直角三角形三邊、計算直角三角形三邊的平方等，使學生在任務操作的過程中發現直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊平方.之后，教師要求學生運用數學語言匯報任務結果，進一步驅動學生完成勾股定理計算模型的建構，即a2+b2=c2.

（四）注重問題設計，科學練習升華模型觀念

培養學生模型觀念的重點在于發展學生的數學思維，使學生學會根據問題本質建構合適的數學模型，從而解決問題.長期組織學生解決固定格式的數學問題，可能會使學生的思維僵化，不利于學生建模思維與創新思維的生成與發展.為此，教師有必要優化問題設計方式，積極采取變式方法設計形式新穎、內容豐富的練習題，要求學生應用概念、公式、幾何模型解決問題，進一步升華學生的模型觀念.以蘇科版八年級數學下冊“用反比例函數解決問題”一課的教學為例.為了鍛煉學生應用反比例函數模型解決問題的能力，升華學生的模型觀念，教師可設計如下習題.（1）某機床加工一批零件，如果每小時加工30個，那么12小時可以完成.如果要在一個工作日（8小時）內完成，則每小時要比原來多加工多少個零件？（2）某學校要種植一塊面積為100平方米的長方形草坪，要求相鄰兩邊長均不小于5米，則草坪的一邊長y（單位：米）隨其鄰邊長x（單位：米）的變化而變化的圖像是怎樣的？

結 語

綜上所述，模型觀念是對數學模型用途用法的清晰認識.培養學生的模型觀念對于發展學生的數學思維、提升學生的數學問題解決能力具有重要作用.教師應當認識到模型觀念培養教學的重要性，同時結合新課標及其他教輔資料探索數學模型的含義，明確模型觀念培養教學內容.同時，教師要考慮數學與現實的關系、學生的發展情況等，基于教學實際合理選取概念、性質、習題等教學內容，并根據學生的思維發展特征組織情境、任務教學活動等，確保學生能夠在教師的引導下逐漸探索數學模型的本質及構建方法，逐漸強化學生的模型觀念.

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