基于中小學(xué)銜接的小學(xué)數(shù)學(xué)模型教學(xué)研究

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)小學(xué)生的模型意識，培養(yǎng)初中生的模型觀念.教師應(yīng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展模型教學(xué)，以有效銜接小學(xué)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)，有目的地培養(yǎng)小學(xué)生的模型意識，促使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.因此，在中小學(xué)銜接的背景下，開展中小學(xué)數(shù)學(xué)模型教學(xué)研究是必要的.文章分析了小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教材中涉及的模型，探討了如何通過提取信息、提出問題、構(gòu)建模型、驗證模型、運(yùn)用模型、評價反思六個環(huán)節(jié)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展模型教學(xué)，為學(xué)生未來的初中學(xué)習(xí)做好充足的準(zhǔn)備.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；中小學(xué)銜接；數(shù)學(xué)模型

引 言

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的重要環(huán)節(jié)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.然而，由于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的不同，學(xué)生在升入初中或高中后往往會面臨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難和挑戰(zhàn)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣下降和學(xué)習(xí)成績下降的問題.為了解決中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的問題，教師需要建立一套有效的數(shù)學(xué)模型教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，幫助學(xué)生順利過渡并提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.因此，開展基于中小學(xué)銜接的數(shù)學(xué)模型教學(xué)研究具有重要的理論和實踐意義.

一、應(yīng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型意識

（一）模型意識在“數(shù)與代數(shù)”中的培養(yǎng)

在小學(xué)階段，學(xué)生首次接觸的抽象概念便是“數(shù)與代數(shù)”中的數(shù)的概念.數(shù)學(xué)模型建立在“用數(shù)字表示事物”的基礎(chǔ)上，將現(xiàn)實生活中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為數(shù)字和算式，以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的運(yùn)算意識和符號意識.在中小學(xué)銜接的背景下，對小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教材進(jìn)行梳理時，筆者發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)與代數(shù)”中，模型意識主要體現(xiàn)在數(shù)的運(yùn)算、式與方程兩方面.在數(shù)的運(yùn)算方面有多個數(shù)學(xué)模型，如除法數(shù)學(xué)模型為：被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)；加減法數(shù)學(xué)模型是學(xué)生理解相同的數(shù)位要對齊、進(jìn)位、退位等知識點的關(guān)鍵.簡便計算的數(shù)學(xué)模型是運(yùn)算律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，學(xué)生在進(jìn)行簡便運(yùn)算時要先觀察算式的特征，再思考應(yīng)用哪個運(yùn)算律表達(dá)式進(jìn)行計算.式與方程方面主要是用方程解決問題，其數(shù)學(xué)模型為ax±b=c，這與初中的一元一次方程非常相似.學(xué)生在小學(xué)中高年級時學(xué)習(xí)的方程知識較簡單，但為初中的方程學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，能讓學(xué)生體會到用方程解題的便利，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.這部分內(nèi)容相對抽象，學(xué)生有時要借助圖形來建立方程模型，找到量與量之間的關(guān)系.在小學(xué)數(shù)學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)模型意識對學(xué)生的邏輯思維發(fā)展有一定促進(jìn)作用.

（二）模型意識在“圖形與幾何”中的培養(yǎng)

在日常生活中，圖形與幾何是比較常見的，無論是面積公式的推導(dǎo)還是體積公式的推導(dǎo)，都涉及數(shù)學(xué)建模意識培養(yǎng).小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容包括三角形、平行四邊形、梯形的面積計算等知識，同時，教材中的轉(zhuǎn)化思想貫穿整個義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)，長方形、正方形等的表面積與體積計算公式的探究離不開這一數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo).而基于轉(zhuǎn)化思想建立數(shù)學(xué)模型是初中階段學(xué)生重點學(xué)習(xí)與探究的內(nèi)容之一，因此，教師要探究在“圖形與幾何”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型意識的方法.學(xué)生需要在認(rèn)識基本圖形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行圖形的體積與面積計算，從而學(xué)會運(yùn)用所學(xué)知識解決日常生活中的問題，如水池注水問題、土地面積規(guī)劃問題等.

（三）模型意識在“統(tǒng)計與概率”中的培養(yǎng)

在小學(xué)階段，統(tǒng)計與概率的內(nèi)容雖然相對較少，但其重要性不容忽視，且其中蘊(yùn)含了模型意識.五年級數(shù)學(xué)教材編排了可能性的相關(guān)知識點，這些內(nèi)容涉及古典概率的數(shù)學(xué)模型（主要體現(xiàn)在隨機(jī)事件產(chǎn)生的可能性上）.此外，統(tǒng)計部分的教學(xué)包括收集、整理、分析數(shù)據(jù)的方法等，這些內(nèi)容也涉及數(shù)學(xué)模型.然而，小學(xué)數(shù)學(xué)教材未直接呈現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.因此，教師有必要實施模型教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，為他們在初中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率及統(tǒng)計的相關(guān)知識打好基礎(chǔ).

（四）模型意識在“綜合與實踐”中的培養(yǎng)

“綜合與實踐”中的內(nèi)容通常反映了生活中的實際問題，能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性.盡管“綜合與實踐”在教材中的占比較少，但涉及許多數(shù)學(xué)模型，如雞兔同籠模型、排列組合模型等.雞兔同籠模型為：兔數(shù)=（總腳數(shù)-總頭數(shù)×一只雞的腳數(shù)）÷（一只兔的腳數(shù)-一只雞的腳數(shù)）；雞數(shù)=總頭數(shù)-兔數(shù).對于小棒規(guī)律排列，小棒數(shù)=2n×（三角形數(shù)）+1.對于點陣規(guī)律排列，點數(shù)呈等差數(shù)列增長，有點數(shù)=a+（a+2）+（a+4）+…；點數(shù)呈對稱增長，有點數(shù)=a+（a+1）+（a+2）+（a+1）+a；等等.在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，主動分析問題、解決問題，同時開展模型教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，為他們在初中階段的深入學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ).

二、基于中小學(xué)銜接的小學(xué)數(shù)學(xué)模型教學(xué)策略

在中小學(xué)銜接的背景下，教師應(yīng)該重視培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識.在課堂上，教師可以通過提取信息、提出問題、構(gòu)建模型、驗證模型、運(yùn)用模型、評價反思六個環(huán)節(jié)開展數(shù)學(xué)模型教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，幫助學(xué)生掌握模型的應(yīng)用方法.這六個環(huán)節(jié)既是教師開展模型教學(xué)的具體流程，也是學(xué)生學(xué)習(xí)及運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的步驟.下面以問題解決教學(xué)為例，介紹提取信息、提出問題、構(gòu)建模型、驗證模型、運(yùn)用模型、評價反思六個環(huán)節(jié)的具體模型教學(xué)實施策略.

（一）提取信息

在問題解決教學(xué)中，教師要先讓學(xué)生學(xué)會讀題、學(xué)會審題，讓學(xué)生能夠利用審辨思維審題.所以在模型教學(xué)的開始前，教師要先教授學(xué)生如何提取信息，讓學(xué)生能夠高效地提取和甄別信息.同時，教師應(yīng)該教授學(xué)生有條理地甄別信息、將多條信息聯(lián)系起來的方法，讓學(xué)生能夠從問題中提取與結(jié)論有關(guān)的信息，避免受到無關(guān)信息的干擾.小學(xué)生往往比較依賴教師，會直接接受教師講解的內(nèi)容和總結(jié)的結(jié)論，可能不會主動探究問題、分析問題.因此，教師可以通過巧妙地設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生主動鑒別信息，再將提取出來的信息進(jìn)行聯(lián)系.

（二）提出問題

在中小學(xué)銜接的數(shù)學(xué)課堂中，教師不能僅停留在解決現(xiàn)有問題的層面，還應(yīng)該能夠根據(jù)題目中給出的信息提出問題.教師要注意培養(yǎng)學(xué)生主動提出問題的能力，讓他們能夠在甄別和聯(lián)系條件后發(fā)現(xiàn)問題，并用自己的語言表達(dá)出來.教師可以先引導(dǎo)學(xué)生提出問題，鼓勵學(xué)生提出各種問題，并結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和所授知識點幫助他們解決問題.

以解決相遇問題為例，假設(shè)少年文化宮在明明和晨晨家的中間，三個地點在一條直線上，明明和晨晨同時步行從家去少年文化宮.已知明明每分鐘走75米，晨晨每分鐘走60米，他們在出發(fā)后的5分鐘內(nèi)在少年文化宮相遇，求明明家和晨晨家之間的距離.教師可以先提取信息：晨晨和明明是相向而行的；晨晨每分鐘走60米，明明每分鐘走75米；他們在出發(fā)后的5分鐘相遇.然后，教師可以提出問題：“你知道每分鐘走75米和60米是什么意思嗎？出發(fā)后走了5分鐘相遇，表示他們都走了多長時間呢？”通過這些問題，教師引導(dǎo)學(xué)生理解速度和時間的概念.根據(jù)求明明家和晨晨家之間距離的問題，學(xué)生可以明確題目要求的是兩人一共行走的路程和.接下來，教師可以提出問題：“根據(jù)題目給出的信息，你還能提出什么數(shù)學(xué)問題嗎？”學(xué)生可能會提出“明明比晨晨多走了多少米？”或“你能畫出這道題的圖嗎？”等問題.這樣的引導(dǎo)能提高學(xué)生的提問能力.教師還可以在明確本節(jié)課的課題后，引導(dǎo)學(xué)生提問.如在開展用字母表示數(shù)的教學(xué)時，教師可以讓學(xué)生針對課題提出問題.學(xué)生可能會提出為什么要用字母表示數(shù)、用字母能表示哪些數(shù)、怎樣用字母表示數(shù)等問題.而這些問題的解決方法正是學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

（三）構(gòu)建模型

在模型思維下，解決問題不再局限于解決一個具體的問題，而是解決一類問題.教師需要引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中融入模型思想，真正培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.因此，教師可以采用構(gòu)建模型的方法來開展教學(xué)，幫助學(xué)生高質(zhì)量地解決問題，更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，開展深度學(xué)習(xí).這一過程是建立在理解、批判和反思的基礎(chǔ)上的.

例如，在植樹問題的教學(xué)中，教師利用PPT出示問題：一條小路長20米，每隔5米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？教師可請學(xué)生以小組為單位，根據(jù)題意用小木棒在桌上擺一擺，在紙上畫一畫，得出結(jié)論.當(dāng)學(xué)生小組完成討論后，教師可請學(xué)生小組分享自己的結(jié)論.第一組的結(jié)論是：在紙上畫出一條線段作為20米的小路，每隔5米栽一棵樹，一共要栽4棵樹，列式是20÷5=4（棵）.第二組的結(jié)論是：在紙上畫出一條線段作為20米的小路，每隔5米栽一棵樹，可以栽4棵樹，但在路的末尾處也要栽1棵樹，所以一共要栽5棵樹，列式是（20÷5）+1=5（棵）.第三組的結(jié)論是：在紙上畫出一條線段作為20米的小路，每隔5米栽一棵樹，根據(jù)圖可知樹與樹之間有4個間隔，開始和末尾處不栽，所以只栽3棵樹，列式是（20÷5）-1=3（棵）.三組學(xué)生得出三種不同的結(jié)論，教師可以這樣引導(dǎo)：第一種情況，只在一端栽樹；第二種情況，兩端都栽樹；第三種情況；兩端都不栽樹.然后，教師在黑板上畫出樹與間隔的三種情況圖示，請學(xué)生總結(jié).學(xué)生能夠得出結(jié)論：第一種情況，棵樹=間隔數(shù)；第二種情況，棵樹=間隔數(shù)+1；第三種情況，棵樹=間隔數(shù)-1.在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)中，不同的情況對應(yīng)不同的問題模型，教師要向?qū)W生滲透模型思想，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型解決問題.

（四）驗證模型

在建立模型之后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生驗證模型，證明其適用性和廣泛性.在驗證模型的過程中，教師可以幫助學(xué)生根據(jù)問題的特殊情況推導(dǎo)出一般情況，深化學(xué)生對模型的理解，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，有效提高他們的思維能力.在課堂上，教師可以組織學(xué)生用合作探究的方式驗證模型.首先，教師通過提出問題引導(dǎo)學(xué)生探究模型是否合理，在什么情況下可以使用該模型.其次，教師引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作、自主探究等方法進(jìn)行深入思考，促使學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，然后通過推理進(jìn)一步驗證模型.

例如，在探究三角形內(nèi)角和的模型教學(xué)中，教師可以將學(xué)生分組，并讓他們通過小組交流來驗證模型.教師可以提出問題：“你能畫出一個有兩個直角的三角形嗎？”學(xué)生通過探究和小組交流，發(fā)現(xiàn)不可能畫出這樣的三角形.接著，教師可以請學(xué)生測量三角板各內(nèi)角的度數(shù).他們會測出三角板的內(nèi)角分別為30°，60°，90°和45°，45°，90°.兩個三角板的內(nèi)角和都是180°.然后，教師提問：“是不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°？請你們用自己的方法來證明這個猜想.”學(xué)生會得出結(jié)論：“所有的三角形內(nèi)角和都是180°.”不同小組可以使用不同的方法來驗證.有的使用撕紙的方法，有的使用拼角的方法，有的使用量角的方法.最后，學(xué)生可以總結(jié)出模型：三角形的內(nèi)角和是180°.

（五）運(yùn)用模型

通過學(xué)習(xí)知識，學(xué)生掌握了“是什么”；通過解決問題，學(xué)生知道了“怎么做”.這表明知識的學(xué)習(xí)是為了運(yùn)用.因此，在完成模型的驗證之后，學(xué)生要學(xué)習(xí)運(yùn)用模型.教師應(yīng)了解學(xué)生對模型的掌握情況，幫助學(xué)生從多個角度認(rèn)識和運(yùn)用模型，擴(kuò)展學(xué)習(xí)的深度.因此，教師可以布置習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的模型運(yùn)用能力.學(xué)生不應(yīng)局限于用模型解決某一類型的問題，還應(yīng)嘗試用模型解決綜合問題或交叉領(lǐng)域問題.因此，教師需要適當(dāng)擴(kuò)展模型的應(yīng)用范圍，幫助學(xué)生突破局限，融會貫通，舉一反三，完善自己的知識體系.

（六）評價反思

解決問題有兩個層面的含義：一是解決實際問題，二是提升學(xué)生的問題解決能力.在實際教學(xué)中，教師可以在問題解決后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評價和反思，發(fā)現(xiàn)自己的不足之處，并加以彌補(bǔ)完善.教師也要對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行全面、細(xì)致的評價，幫助學(xué)生重新審視問題，思考問題，查缺補(bǔ)漏.除了自我評價、教師評價，教師還可引導(dǎo)學(xué)生開展生生評價，讓學(xué)生在輕松的氛圍中客觀評價彼此，相互學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步.需要注意的是，教師要教給學(xué)生正確的評價他人的方法.

結(jié) 語

綜上所述，通過深入研究中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接問題，教師可以建立起一套行之有效的數(shù)學(xué)模型教學(xué)方法，從而幫助學(xué)生順利過渡小學(xué)學(xué)習(xí)階段，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性和有效性.筆者希望以上對中小學(xué)銜接階段數(shù)學(xué)模型教學(xué)的研究能夠為教師提供有效的教學(xué)參考，進(jìn)而提升自身的教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生提供更優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教育服務(wù).

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