初中數學解題中逆向思維的應用策略探究

【摘要】初中數學解題中應用逆向思維，能使學生在解決復雜問題時快速找到突破口.文章從初中數學解題中逆向思維的應用優勢切入，分析初中數學解題中逆向思維的應用類型，提出如何指導學生在初中數學解題中應用逆向思維，以供借鑒.教師應正確認識逆向思維對初中數學解題的重要價值，指導學生應用逆向思維提高解題效率，并使學生在逆向思維的實際應用中發展數學思維，夯實理論基礎.

【關鍵詞】初中數學；解題；逆向思維

逆向思維也稱求異思維，指的是在思考問題時敢于打破常規，反其道而行.應用逆向思維，從問題的相反面分析事物，能夠從更多角度把握解決問題的基本方法，并在一定程度上發展創新能力.初中數學解題中，逆向思維發揮著不可替代的應用優勢.逆向思維可以應用于哪些問題，如何將逆向思維應用于具體的解題過程，都是教師和學生應當重點關注的內容.文章以此為線索，探討初中數學解題中逆向思維的應用，具有一定參考價值.

一、初中數學解題中逆向思維的應用優勢

逆向思維作為一種特殊的思維方式，既是初中數學解題的重要工具，也是日常強化對學生培養的手段.初中數學解題中逆向思維的應用，不僅有助于解決問題，而且有益于培養學生的數學思維，使其穩固數學地基.

（一）應用逆向思維，提高解題效率

逆向思維對于初中數學解題起著提高效率的直接作用.許多初中數學問題由于題目信息的復雜性，學生不能通過正向分析快速形成解題思路，更有一些時候，學生會因為一味地正向分析復雜題目而掉入“陷阱”，陷入運算瓶頸.應用逆向思維重構問題分析路徑，能夠有效避免這些情況，進而提高學生的解題效率.

（二）應用逆向思維，發展數學思維

將逆向思維應用于初中數學解題，還能起到發展學生數學思維的間接作用.初中數學學習的根本不僅是使學生理解數學是什么、怎么用，而且是培養學生的數學思維.將逆向思維應用于解題，表面上對學生的數學思維提出了更高要求，實際上對學生的數學思維起著鍛煉和培養作用.隨著初中數學解題中逆向思維的應用，學生能不斷發展數學思維，提升學科思維水平，這也對學生未來發展意義深遠.

（三）應用逆向思維，夯實理論基礎

夯實理論基礎，同樣屬于初中數學解題中逆向思維的應用優勢.初中數學學習的過程是從理論到實踐逐步過渡的過程，學生要基于堅實的理論基礎展開實踐，也要在實踐中鞏固理論基礎.應用逆向思維解題時，學生多角度分析解決問題的理論條件，如“想要證明兩個三角形全等，至少應該使兩個三角形滿足哪些條件？”“如果證明兩條直線不平行，這兩條直線至少應具有怎樣的特點？”等，便是對數學理論的多角度鞏固.久而久之，學生自然可進一步夯實理論基礎.

二、初中數學解題中逆向思維的應用類型

初中數學問題類型豐富，使得逆向思維在初中數學解題中實現多元應用.比如：學生可應用逆向思維妙巧解決計算問題，簡化數學運算；可應用逆向思維巧妙推理幾何關系，優化證明過程；還可以應用逆向思維巧妙解決圖像問題，梳理函數關系.教師可結合典型例題，指導學生在具體題型中如何應用，明確初中數學解題中逆向思維的應用類型.

（一）逆向思維巧解計算題

初中數學計算題通常呈現“條件簡明”的特征，包括有理數運算、整式運算、方程運算、不等式運算、函數運算等.但在一些情況下，越是簡明的條件信息，越易增加解題難度，使學生毫無頭緒，應用逆向思維尤為必要，如例1.

例1 已知a≤2，b≥-3，c≤5，且a-b+c=10，那么a+b+c的值是（ ）.

分析 題目并不復雜，形式上由不等式和等式組合而成，內容上通過三個不等式給出未知數的取值范圍，要求學生圍繞三個未知數計算等式的結果.但是，如果直接按照給定等式進行計算，由于無法判斷未知數的具體數值，很難得出正確結果.由此應用逆向思維，可先思考“如果使a-b+c=10成立，則a，b，c應該取多少”，將b≥-3轉化為-b≤3，則在a≤2，-b≤3，c≤5的前提下，想使a-b+c=10成立，a取值應當為2，b取值應當為-3，c取值應當為5.逆向思考后，未知數取值已知，a+b+c結果可算，即2-3+5=4.可見，在看似簡單但對解題技巧要求較高的計算題中，可通過逆向思維的合理應用找準計算要點.

（二）逆向思維巧解證明題

證明題多以圖形與幾何為背景，要求學生證明點、線、面位置關系，以及長度、角度等數量關系.一些情況下，題目給出大量點、線、面、角度關系，使學生難以確定證明起點.及時應用逆向思維，可由待證問題逆向推理已知條件，通過“想要證明……，應該證明……”或“如果不……，則……”的逆向思考路徑，讓問題迎刃而解，如例2.

例2 如圖1所示，D，E是△ABC中AC邊上的兩點，且在△ABC中，存在AB=AD，BD是∠CBE的角平分線，請證明AD2=AE·AC.

件中精準證明待證問題，可在建立證明思路時多次應用逆向思維.

（三）逆向思維巧解圖像題

圖像題通常伴隨函數問題出現，如函數圖像的平移問題、旋轉問題、相交問題等.有時，題目同時給出圖像與對問題的文字描述，促進學生思考和解題.有時，題目僅對圖像關系進行抽象描述，學生不易建立解題思路.對此應用逆向思維，可在圖像的“變”與“不變”中落實逆向思考，如例3.

學生可在教師指導下，有序探究逆向思維在初中數學計算題、證明題、圖像題中的實際應用，建立逆向思維解題意識.緊接著，學生可自主應用逆向思維，舉一反三地解決問題，內化初中數學解題中的逆向思維應用能力，這也是下文重點探討的內容.

三、初中數學解題中逆向思維的應用技巧

從典型例題到舉一反三，學生應在初中數學解題中總結應用逆向思維的一般規律，提高應用逆向思維的主動性與能動性.為此，學生應深入探究問題，探索逆向思維的應用技巧.

（一）打破題目原有邏輯，轉化問題分析視角

以上文例1、例2為例，初中數學解題中逆向思維的應用，重點在于打破題目的原有邏輯，轉化問題分析視角.學生可通過應用逆向思維，避免盲目地“跟著題目信息呈現順序走”，從而順利找到解題切入點.而打破題目原有邏輯，一方面可從題目中間切入問題分析，另一方面可從題目末尾切入問題分析.

1.從題目中間切入問題分析

從題目中間切入問題分析，學生可以先從前到后地閱讀題目，再對比已知條件，確定“中間的重點”，然后“從中間向前”逆向思考已知條件的具體含義和作用.這也要求學生對復雜信息的主次具有一定敏感度，可通過自主加強解題訓練達到此目的.

與直接將醫院一共儲存的氧氣設為未知數進行比較，在題目中間應用逆向思維，通過假設“剩下了多少氧氣”，先逆向推理“使用了多少氧氣”，再逆向推理“儲存了多少氧氣”，學生可在問題分析視角的轉化中，以更加簡單的計算靈活解決問題.其他具有前后關聯的初中數學題目，亦可考慮逆向思維的這一應用技巧.

2.從題目末尾切入問題分析

從題目末尾切入問題分析，包括“逆推法”與“反證法”.逆推法即“想要證明……，應該證明……”，反證法即“如果不……，則……”.前文例2已詳細說明逆推法的應用技巧，此處重點探討反證法.學生可根據問題特征，在證明部分初中數學問題時，先假設題目末尾結論不成立，再分析使該假設成立的條件（簡稱“新條件”）與題目已知條件（簡稱“原條件”）.若使假設成立時“新條件”與“原條件”一致，則待證問題不可證；若使假設成立時“新條件”與“原條件”矛盾，則待證問題可證，題目原結論成立.

如：“求證：在一個三角形中，不能同時存在兩個鈍角.”直接證明在一個三角形中不能同時存在兩個鈍角，不如先證明當兩個鈍角同時存在于一個三角形時三角形的基本特點.具體步驟如下：（1）假設在一個三角形中同時存在兩個鈍角；（2）已知一個鈍角的角度大于90°，則兩個鈍角的角度之和大于180°；（3）已知三角形的內角和為180°；（4）當一個三角形中同時存在兩個鈍角時，“新條件”與“原條件”矛盾；（5）假設不成立，原命題正確，在一個三角形中，不能同時存在兩個鈍角.較難根據已知條件直接證明題目結論的初中數學證明題，均可考慮反證法.

（二）逆向轉化題目條件，優化問題推理程序

逆向轉化題目條件是指，在一些不能直接提煉解題要素的已知條件中，可以先應用逆向思維轉化已知條件，再靈活應用已知條件，優化問題推理程序.前文例1在一定程度上體現此技巧，升級例1，設置更加煩瑣的初中數學題目，更能發現該技巧的實際價值.

結 語

總之，初中數學解題中應用逆向思維是提高學生解題效率的關鍵舉措，也是發展學生數學思維，使其夯實理論基礎的重要途徑.教師應通過有效指導，使學生巧妙應用逆向思維解決計算、證明、圖像等問題.同時，教師應向學生傳授“打破題目原有邏輯，轉化問題分析視角”等逆向思維在實際解題中的應用技巧，讓學生實現“知其然，更知其所以然”的高效學習.

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