2∶1內(nèi)共振下超臨界輸流管道的強(qiáng)迫振動(dòng)

王則, 耿佳, 李滿枝

(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 太原 030024; 2.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 西安 710049; 3．中國(guó)商飛上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院, 上海 201203)

管路系統(tǒng)是支撐飛機(jī)、火箭等飛行器安全飛行的重要系統(tǒng)之一。由于外部激勵(lì)、內(nèi)部流體以及管道的相互作用,管道呈現(xiàn)復(fù)雜的振動(dòng)行為,導(dǎo)致管路系統(tǒng)經(jīng)常發(fā)生振動(dòng)故障,嚴(yán)重影響飛行器的安全飛行[1-3]。當(dāng)前飛行器管路系統(tǒng)中流體的流速越來越高,使得管路系統(tǒng)的振動(dòng)問題更加突出。

輸流管道的振動(dòng)問題屬于非線性問題的范疇,研究人員采用多種方法對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究。王鵬等[4]綜述了輸氣管道瞬態(tài)響應(yīng)的研究方法。徐玲等[5]基于離散元與有限元耦合的方法研究了輸氣管道的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)。這些針對(duì)低流速下輸流管道的研究都表明其響應(yīng)存在多種有趣的現(xiàn)象[6-7]。然而,當(dāng)流體的速度超過臨界速度時(shí),輸流管道的響應(yīng)呈現(xiàn)更加復(fù)雜的振動(dòng)行為。Tan等[8]使用伽遼金離散截?cái)喾ㄑ芯苛顺R界流速下的固有頻率,表明在超臨界流速下,固有頻率隨著流速的增加而增加。此后,Tan等[9]和黃慧春等[10]分別使用有限差分法和直接多尺度法研究了超臨界流速下管道的非線性主共振,表明在超臨界流速下其響應(yīng)呈現(xiàn)軟彈簧特性。李錢[11]使用值積分法研究了輸流管道隨流速的分岔行為,表明在超臨界流速下輸流管道存在混沌振動(dòng)。

內(nèi)共振,即系統(tǒng)的固有頻率間存在近似整數(shù)比的關(guān)系,廣泛存在于許多工程問題中。當(dāng)系統(tǒng)存在內(nèi)共振時(shí),兩個(gè)模態(tài)間可能發(fā)生相互作用,導(dǎo)致能量在兩個(gè)共振模態(tài)間傳遞。毛曉曄等[12]使用多尺度法研究了超臨界輸流管道具有3∶1內(nèi)共振時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。張凱凱等[13]使用多尺度法研究了參數(shù)激勵(lì)下超臨界輸流管道的振動(dòng)響應(yīng)。這些研究表明,內(nèi)共振使得系統(tǒng)能量在模態(tài)間相互傳遞。此外,Zhang等[14]和黃慧春等[15]使用多尺度法研究了超臨界輸流管道具有2∶1內(nèi)共振時(shí)的振動(dòng)行為,表明系統(tǒng)存在對(duì)稱的雙跳躍現(xiàn)象。然而,Zhang等的研究沒有考慮三次非線性項(xiàng)的影響,也沒有考慮系統(tǒng)響應(yīng)的分岔行為研究。

綜上所示,針對(duì)超臨界輸流管道內(nèi)共振的研究亟待解決。因此,現(xiàn)針對(duì)超臨界流速下輸流管道的非線性振動(dòng)行為,聚焦其在2∶1內(nèi)共振條件下解的穩(wěn)定性和分岔行為,并分析各個(gè)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響,以期為高速流體管道的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示為典型輸流管道的示意圖,管道兩端的支撐簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支邊界。管道的運(yùn)動(dòng)方向垂直于管道的軸線。假設(shè)管道為細(xì)長(zhǎng)柔性結(jié)構(gòu),因此可不考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。考慮運(yùn)動(dòng)時(shí)管道軸向伸長(zhǎng)引起的非線性軸向力,基于牛頓第二定律,輸流管道在外界簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程[16]可寫為

圖1 輸流管道的示意圖Fig.1 Schematic representation of fluid-conveying pipe

(1)

為方便研究,引入以下無量綱參數(shù):

(2)

將無量綱參數(shù)式(2)代入式(1),得輸流管道的無量綱方程為

(3)

管道兩端為簡(jiǎn)支邊界,則無量綱的邊界條件為

υ(x,t)=0,υ″(x,t)=0,x=0,1

(4)

當(dāng)流速超過臨界流速后,輸流管道的平凡構(gòu)型發(fā)生失穩(wěn),分岔為兩個(gè)對(duì)稱的非平凡構(gòu)型,其平衡構(gòu)型的表達(dá)式為

(5)

式(5)中:k表示臨界速度階數(shù),且只有第一階非平凡構(gòu)型為穩(wěn)定的。

(6)

式(6)為非線性的偏微分方程,一般不存在解析解。其可使用Galerkin截?cái)喾ㄇ蠼?假設(shè)式(6)的解為

(7)

式(7)中:qj(t)表示橫向振動(dòng)的第j階模態(tài)坐標(biāo)。將式(7)代入式(6),并將所有項(xiàng)乘以sin(πx),然后將得到的方程在x=0到1上積分,可得到以下常系數(shù)非線性微分方程為

(8)

式(8)也可寫作矩陣形式,即

(9)

式(9)中:M為質(zhì)量矩陣;G為陀螺矩陣;K為線性剛度矩陣;K2(q)為平方非線性剛度矩陣;K3(q)為立方非線性剛度矩陣;F為激勵(lì)幅值矩陣。

2 增量諧波平衡法

在所有求解非線性常微分方程的方法中,增量諧波平衡法是一種高效可靠的方法。因此采用增量諧波平衡法求解系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[15]。為求解方程,首先引入新的時(shí)間變量τ=Ωt,則式(9)可寫成

(10)

增量諧波平衡法的第一步是增量過程。假設(shè)qi0和ω0表示式(10)的解,則其臨近的狀態(tài)可表示為

qj=qj0+Δqj,Ω=Ω0+ΔΩ

(11)

將式(11)代入式(10),略去高階小量,得到以下線性增量方程,即

(12)

(13)

式中:R為誤差向量;當(dāng)Ω0和q0為式(10)的準(zhǔn)確解,即

q0=[q10,q20,…,qn0]T, Δq0=[Δq1,Δq2,…,Δqn]T

增量諧波平衡法的第二步是諧波平衡過程。由于式(10)具有二次非線性和三次非線性,其穩(wěn)態(tài)解周期解可假設(shè)為

(14)

Δqj0=CΔAj

(15)

式中:nc為余弦諧波項(xiàng)的個(gè)數(shù);ns為正弦諧波項(xiàng)的個(gè)數(shù);C=[1,cosτ,cos2τ,…,cos(nc-1)τ,sinτ,sin2τ,…,sinnsτ];Aj=[aj1,aj2,…,ajnc,bj1,bj2,…,bjns];ΔAj=[Δaj1,Δaj2,…,Δajnc,Δbj1,Δbj2,…,Δbjns]。

令

A=[A1,A2,…,An]T, ΔA=[A1,A2,…,An]T,

S=diag[Cs,Cs…,Cs]

(16)

于是

q0=SA, Δq0=SΔA

(17)

將式(16)代入式(12),并運(yùn)用Galerkin過程,得到關(guān)于ΔA,ΔΩ的線性方程為

(18)

式(18)中:

式(17)的未知量比方程的數(shù)量多1,計(jì)算時(shí)可將其中一個(gè)未知量指定為增量。若以激勵(lì)頻率為增量,此時(shí)ΔΩ=0。求解方程得到ΔA,把ΔA加到原來的解上,得到新的解A+ΔA作為新的解,判R的值是否小于給定的精度;如果不能,繼續(xù)將A+ΔA代入式(17)迭代,直到滿足精度。之后,給Ω一個(gè)新的值,重復(fù)以上過程。方程解的穩(wěn)定性可采用多變量Floquet理論求得。

3 數(shù)值算例

為了研究輸流管道含有內(nèi)共振時(shí)的響應(yīng)以及各個(gè)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。本小節(jié)采用頻率響應(yīng)曲線表明系統(tǒng)的響應(yīng)。求解過程中,采用四階Galerkin截?cái)喾?得到一組非線性常微分方程組。在使用增量諧波法求解時(shí),取ns=5,nc=4,令

qi=Ai0+Ai1cos(τ+φi1)+Ai2cos2(τ+φi2)+…,i=1,2,3,4,

圖2所示為系統(tǒng)不含內(nèi)共振時(shí)前兩階模態(tài)主諧波的頻率響應(yīng)曲線。激勵(lì)頻率被調(diào)至第一階固有頻率附近。圖2中曲線的無量綱系統(tǒng)參數(shù)為:γ=4,Mr=0.447,P=0,α=16,c=0.04。圖2(a)為A11的頻響曲線,圖2(b)為A22的頻響曲線。A11為變量q1第一階主諧波的幅值,A22是變量q2第二階主諧波的幅值。由圖2可知,系統(tǒng)呈現(xiàn)軟彈簧特性的非線性。比較諧波的幅值可知,第二階模態(tài)的幅值很小,表明能量主要集中在第一階模態(tài)。具體地,當(dāng)激勵(lì)頻率從Ω=10開始增加,系統(tǒng)響應(yīng)的幅值增加,直到在A點(diǎn)發(fā)生鞍結(jié)點(diǎn)分岔。在該點(diǎn),解失去穩(wěn)定性,響應(yīng)幅值隨著激勵(lì)頻率的減小而增加,直到在B點(diǎn)再次發(fā)生鞍結(jié)點(diǎn)分岔。此后響應(yīng)再次獲得穩(wěn)定性,響應(yīng)幅值隨著激勵(lì)頻率的增加而減小。

圖2 系統(tǒng)不含內(nèi)共振時(shí)的頻率響應(yīng)曲線Fig.2 Frequency response curves of the system with no internal resonance

為了研究系統(tǒng)含有內(nèi)共振時(shí)的響應(yīng)。圖3給出了系統(tǒng)具有2∶1內(nèi)共振時(shí)的頻率響應(yīng)曲線。為表明圖中的曲線,選擇輸流管道的流速γ=5.427,此時(shí)ω2=2ω1。

由圖3可知,頻率響應(yīng)曲線存在兩個(gè)不對(duì)稱的峰,這與文獻(xiàn)[14]中得到的對(duì)稱的峰不同。究其原因是,三次非線性項(xiàng)使得系統(tǒng)的響應(yīng)整體向左彎曲。具體地,當(dāng)激勵(lì)頻率Ω從較小的值開始增加,幅值增加,直到A點(diǎn),發(fā)生鞍結(jié)點(diǎn)分岔,響應(yīng)成為不穩(wěn)定的。此后解隨著激勵(lì)頻率的減小而增加,直到在B點(diǎn),再次發(fā)生鞍結(jié)點(diǎn)分岔,響應(yīng)再次獲得穩(wěn)定性。此后隨著激勵(lì)頻率的增加,響應(yīng)的幅值減小。直到激勵(lì)頻率達(dá)到C點(diǎn),系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔,響應(yīng)呈現(xiàn)非周期解。繼續(xù)增大激勵(lì)頻率,響應(yīng)在D點(diǎn)發(fā)生反Hopf分岔,響應(yīng)再次成為穩(wěn)定的。進(jìn)一步增加激勵(lì)頻率,幅值增加,直到在E點(diǎn)發(fā)生鞍結(jié)點(diǎn)分岔,響應(yīng)失去穩(wěn)定性,直到在F點(diǎn),響應(yīng)再次成為穩(wěn)定的。激勵(lì)增加激勵(lì)頻率,響應(yīng)幅值隨著激勵(lì)頻率的增加而減小。

圖3表明2∶1內(nèi)共振會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔,響應(yīng)呈現(xiàn)擬周期行為。為了表明系統(tǒng)發(fā)生Hopf時(shí)的非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)行為,圖4所示為激勵(lì)頻率Ω=17.87時(shí)的時(shí)域圖、傅里葉頻譜圖、相圖和龐加萊截面圖。由圖3(a)可知,能量在第一階模態(tài)和第二階模態(tài)之間連續(xù)交換,導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)拍振現(xiàn)象。此外,傅里葉頻譜圖表明,此時(shí)響應(yīng)中不僅包含激勵(lì)頻率的成分,也包含其他的頻率成分。同時(shí),龐加萊截面圖也成一個(gè)閉環(huán),表明系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期的。

圖4 Ω=17.87時(shí)的擬周期響應(yīng)Fig.4 Quasi-periodic response as Ω=17.87

圖5所示為阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的影響。由圖5可知,隨著阻尼系數(shù)增加,響應(yīng)的主峰值明顯減小;由于2∶1內(nèi)共振引起的峰值也隨著阻尼系數(shù)的增加而減小。這表明阻尼能阻礙能量在耦合模態(tài)間的能量交換。此外,隨著阻尼的增加,由內(nèi)共振引起的擬周期響應(yīng)的頻率區(qū)間也減小。如圖6所示為隨著阻尼系數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)發(fā)生擬周期響應(yīng)的區(qū)間。由圖6可知,隨著阻尼增加,發(fā)生擬周期響應(yīng)的頻率范圍減小。

如圖7所示為不同激勵(lì)幅值下系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。由圖7可知,隨著激勵(lì)幅值的增加,響應(yīng)的主分峰值和副幅值都增加。這表明,激勵(lì)幅值增加,模態(tài)間的相互作用也增強(qiáng)。此外,隨著激勵(lì)幅值增加,系統(tǒng)發(fā)生擬周期響應(yīng)的頻率范圍也增加。為了表明擬周期范圍隨激勵(lì)幅值的變化,圖8給出了不同激勵(lì)幅值下,系統(tǒng)發(fā)生擬周期響應(yīng)的范圍。由圖8可知,當(dāng)激勵(lì)幅值減小時(shí),擬周期響應(yīng)的范圍減小,直到當(dāng)激勵(lì)激勵(lì)幅值達(dá)到0.02時(shí),系統(tǒng)不再發(fā)生擬周期響應(yīng)。

圖5 不同阻尼系數(shù)下的頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Frequency response curves for various damping ceofficient

圖6 不同阻尼系數(shù)下擬周期解的激勵(lì)頻率區(qū)間Fig.6 Range of excitation frequency with quasi-periodic response for various damping coefficient

圖7 不同激勵(lì)幅值下的頻率響應(yīng)曲線Fig.7 Frequency response curves for various excitation amplitude

圖8 不同激勵(lì)幅值下擬周期解的激勵(lì)頻率區(qū)間Fig.8 Range of excitation frequency with quasi-periodic response for various excitation amplitude

4 結(jié)論

以超臨界輸流管道為研究對(duì)象,使用增量諧波平衡法研究其存在2∶1內(nèi)共振時(shí)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。利用多變量Floquet理論分析了響應(yīng)的周期解的穩(wěn)定性和分岔點(diǎn),并研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響。此外,基于時(shí)域圖、相圖、龐加萊截面圖、傅里葉頻譜圖表明了系統(tǒng)的擬周期響應(yīng)。

研究表明,在2∶1內(nèi)共振條件下,超臨界輸流管道呈現(xiàn)出不對(duì)稱的雙跳現(xiàn)象,這種不對(duì)稱性源自系統(tǒng)三次非線性的影響。在2∶1內(nèi)共振條件下,當(dāng)激勵(lì)頻率在第一階固有頻率附近時(shí),系統(tǒng)存在Hopf分岔行為,這導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)出擬周期振動(dòng)等復(fù)雜響應(yīng)行為。分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響表明,增加阻尼會(huì)降低內(nèi)共振引起的模態(tài)間相互作用。增加激勵(lì)幅值,可增強(qiáng)模態(tài)間的相互作用。