類分數階微分系統的能控和能觀性

摘 要： 動態微分系統的能控性和能觀性是現代控制理論的基本問題，緊密聯系著微分系統的極點配置、最優控制和觀測器設計等。能控性是評估系統是否具有通過控制作用支配系統狀態的能力，而能觀性則研究系統測量輸出是否具備推斷系統內部狀態的能力。本文研究了類分數階線性微分系統和矩陣李雅普諾夫微分系統的能控和能觀性問題。首先，應用常數變易法給出類分數階線性系統的解析解，基于解析解導出類分數階線性微分系統能控能觀的充分必要條件；其次，應用相似方法提出了類分數階矩陣李雅普諾夫微分系統能控能觀性的判定準則，同時研究其穩定性問題；最終，通過兩個具體的數值案例，本文提出的理論結果的有效性得到了充分的驗證，從而不僅證實了我們的分析的正確性，而且展示了所提出方法在實際應用中的潛力和價值。

關鍵詞： 類分數階線性微分系統；類分數階矩陣李雅普諾夫微分系統；能控性；能觀性

中圖法分類號： O231.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1000-2324（2024）06-0943-07

能控性和能觀性是從控制和觀測角度表征微分系統結構的兩個基本特性。整數階線性微分系統的經典控制理論提供了通過能控格拉姆矩陣和能觀格拉姆矩陣的秩，檢驗系統能控性和能觀性的基本方法，證明了線性微分系統能觀性和能控性是對偶的。經過幾十年的發展，整數階線性微分系統的能控和能觀性研究已經取得了許多優秀的研究成果［1，2］。然而，有時應用整數階微分系統描述實際問題不夠準確，無法描述出問題的本質，所以誕生了經典分數階微積分理論［3，4］。應用經典分數階微分系統能夠更加準確的描述實際問題的本質，因此經典分數階微分系統理論及應用研究近年來已成為數學、控制等領域的研究熱點［5，6］。經典分數階微分系統的能控和能觀性是分數階控制理論的基本問題，目前存在許多研究成果，如文獻［7］導出了連續時間分數階微分系統能控和能觀矩陣并給出了相應的計算方法，文獻［8］針對多個不同階的分數階微分系統，提出了能控性和能觀性判定準則，其它經典分數階微分系統的能控能觀性問題的研究見［9-11］。