數控系統中S型曲線加減速控制算法研究

劉遠凱

(深圳眾為興技術股份有限公司,廣東 深圳 518052)

0 引言

在數控運動控制系統中,加減速控制算法直接影響著運動控制系統的實時性、穩定性與加工精度等。可通過加減速控制算法對待加工軌跡段位移、速度、加速度和加加速度曲線進行合理規劃,實現在啟動、停止、加速和減速運動階段對系統的柔性控制,避免系統產生失步、震動、超程等現象,保證系統高速平穩運行。

對于柔性加減速控制算法,國內外學者已經進行了探討。郭新貴等[1]利用三角函數構建加減速曲線,減少了在進給過程中的柔性沖擊問題;冷洪濱[2]建立了五次多項式的加減速控制模型,具有速度曲線、加速度曲線和加加速曲線均連續的特性;李明等[3]利用切比雪夫多項式逼近正弦函數方法,構造了一種加加速連續的加減速算法。上述的算法研究與S型加減速曲線相比,具有更高階的連續性,但速度規劃的復雜程度卻大大提升,有些甚至都不能實現。因此這些加減速算法在實際工程應用中并不多。

S型加減速控制算法因其速度曲線和加速度曲線均具有連續性,成為當前數控系統中使用較多的一種速度控制算法[4-6]。S型加減速因其實用性,也受到了很多學者的關注,目前主要的研究熱點在于其高效通用的求解模型。ALTINTAS[7]給出了7段式S型加減速模型,但未給出S型加減過程中的求解方法;石川等[8]將S型加減速歸納成8種情況,采用解析式和二分迭代的方法對其進行求解;尹國梁[9]將S型加減速曲線17種不同類型的速度劃分為3類,再利用二分法進行求解;朱明等[10]利用拉格朗日法構造二次方程來逼近無理方程求解,但精度卻無法保證;楊亮亮等[11]將S型加減速中的五元非線性方程轉化成二元非線性方程組和一元線性方程組,再用牛頓迭代法和迭代修正的方式求解。由于S型加減速算法的表達式是分段表達式,上述研究都不能將方程式轉化成一個類似于二次方程求根的公式,只能采用二分迭代法、牛頓迭代法以及擬合法等數值解析的方法求解。

綜上所述,一種7段式S型加減速控制算法的解析式方法是目前國內數控系統所缺乏的。本文提出了一種7段式S型曲線加減速控制算法及其解析式的求解方法,研究基于給定的軌跡長度與臨界長度對比進行分類的方式,將其轉換成一元二次方程、一元三次方程或一元四次方程來求解各段運行時間,最后在自主開發的多軸運動控制器上進行驗證。

1 7段式S型曲線加減速控制模型

S型曲線加減速的名稱由系統在加減速控制階段的速度曲線形狀呈現出S型而得來。如圖1所示,正常情況下S曲線加減速的運行過程可分為7段:加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段。

圖1 7段S型加減速示意圖

圖1中:T1表示加加速段的運行時間;T2表示勻加速段的運行時間;T3表示減加速段的運行時間;T4表示勻速段的運行時間;T5表示加減速段的運行時間;T6表示勻減速段的運行時間;T7表示減減速段的運行時間;j表示加加速度曲線;a表示加速度曲線,v表示速度曲線,s表示位移曲線;Vs表示初速度;Ve表示末速度;Vm表示最大驅動速度;L表示實際路徑長度。

設電機加速度曲線從0達到最大值和從最大值到0所用的時間相等,此時間定為系統的一個特性時間常數tm,圖1中,Amax=Dmax。

在目標運動過程中,A表示最大加速度;J表示最大加加速度。當加速度能夠達到最大值時,T1=T3=T5=T7=A/J=tm;當加速度無法達到最大值時,T1=T3,T5=T7。

7段式S型加減速控制模型中加加速度j(t)的計算公式為

(1)

加速度a(t)的計算公式為

(2)

速度v(t)的計算公式為

(3)

位移s(t)的計算公式為

(4)

式中:令k=1,2,…,7;tk表示各個階段的過渡時刻;τk表示局部時間坐標,即以各個階段的起始點作為零點的時刻;Tk表示各個階段的持續運行時間。

勻速段的運行時間T4的計算公式為

(5)

加速區具體包括加加速段、勻加速段、減加速段,加速區的路徑長度Sa的計算公式為

(6)

減速區具體包括加減速段、勻減速段、減減速段,減速區的路徑長度Sd的計算公式為

(7)

則加速區的路徑長度與減速區的路徑長度的總和Sall的計算公式為

Sall=Sa+Sd

(8)

當初速度可達末速度時,則加/減速段長度也可表示為[9]

La(Vs,Ve)=Ld(Ve,Vs)=

(9)

式中:La(Vs,Ve)表示從初速度Vs加速度到末速度Ve的路徑長度;Ld(Ve,Vs)表示從末速度Ve減速到初速度Vs的路徑長度。

2 S型曲線加減速具體控制算法

2.1 計算臨界長度

典型的S型加減速控制算法由7段組成,但由于初速度、末速度、實際路徑長度等限制,并不能保證每次速度規劃都存在完整的7段。可以將所有的速度規劃類型分為3大類:僅存在加(減)速度類型、有勻速段類型和無勻速段類型。由式(10)可求得第一臨界長度

L1=La(Vs,Ve)=Ld(Ve,Vs)

(10)

第二臨界長度

L2=La(Vs,Vm)+Ld(Vm,Ve)

(11)

式中:La(Vs,Vm)表示從初速度Vs加速至最大驅動速度Vm時的路徑長度;Ld(Vm,Ve)表示從最大驅動速度Vm減速至末速度Ve時的路徑長度。

若實際路徑L≤L1時,僅存在加(減)速度類型,則說明從初速度Vs不能加(減)速到達末速度Ve;若實際路徑L≥L2時,有勻速段類型,則說明從初速度Vs可加速到最大速度Vm,再從最大速度Vm減速到末速度Ve;若L1

2.2 僅存在加(減)速度類型

當實際路徑L≤L1僅存在加(減)速時,判斷是否存在勻加速段或勻減速度段可分為4種情況討論。其中:S13為當T1=T3=A/J,T2=0,T4=T5=T6=T7=0時運動過程的路徑長度;S57為當T1=T2=T3=T4=0,T5=T7=A/J,T6=0時運動過程的路徑長度。

1)當L≤L1且Vs≤Ve,若(Ve-Vs)>(A2/J)且L>S13時

該段規劃從初速度Vs加速到末速度Ve可達到最大加速度,即存在勻加速段,則可確定目標運動過程僅包括加加速度段、勻加速段、減加速段,并得到T1=T3=A/J=tm,T4=T5=T6=T7=0。

根據目標運動過程和式(6)得到第一方程

(12)

最后,利用一元二次方程的求根公式求解第一方程,舍去T2的非可行解即可。

2)當L≤L1且Vs≤Ve,若(Ve-Vs)≤(A2/J)或L≤S13時

該段規劃從初速度Vs加速到末速度Ve不能達到最大加速度,即不存在勻加速段,則可確定目標運動過程僅包括加加速度段、減加速段,并得到T2=T4=T5=T6=T7=0。

根據目標運動過程和式(6)得到第二方程

(13)

最后,利用一元三次方程的盛金公式求解第二方程,舍去T1的非可行解即可。

3)當L≤L1且Vs>Ve,若(Vs-Ve)>(A2/J)且L>S57時

該段規劃從初速度Vs減速到末速度Ve能達到最大加速度,即存在勻減速段,則可確定目標運動過程僅包括加減速段、勻減速段、減減速段,并得到T1=T2=T3=T4=0,T5=T7=A/J=tm。

根據目標運動過程和式(7)得到第三方程

(14)

最后,利用一元二次方程的求根公式求解第三方程,舍去T5的非可行解即可。

4)當L≤L1且Vs>Ve,若(Vs-Ve)≤(A2/J)或L≤S57時

該段規劃從初速度Vs減速到末速度Ve不能達到最大加速度,即不存在勻減速段,則可確定目標運動過程僅包括加減速段、減減速段,并得到T1=T2=T3=T4=T6=0。

根據目標運動過程和式(7)得到第四方程

(15)

最后,利用一元三次方程的盛金公式求解第四方程,舍去T5的非可行解即可。

2.3 有勻速段類型

當實際路徑L≥L2有勻速段時,可根據加速段和減速段是否能達到最大加速度來分為4種情況進行討論。

1)當L≥L2,若(Vm-Vs)>(A2/J)且(Vm-Ve)>(A2/J)時

該段規劃的加速段和減速段都可達到最大加速度, 可確定目標運動過程包括加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段,根據目標運動過程得到第五方程

(16)

2)當L≥L2,若(Vm-Vs)≤(A2/J)且(Vm-Ve)≤(A2/J)時

該段規劃的加速段和減速段都不能達到最大加速度,則可確定目標運動過程僅包括加加速段、減加速段、勻速段、加減速段、減減速段,根據目標運動過程得到第六方程

(17)

3)當L≥L2,若(Vm-Vs)≤(A2/J)且(Vm-Ve)>(A2/J)時

該段規劃的加速段不能達到最大加速度,減速段能達到最大加速度,則可確定目標運動過程僅包括加加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段,根據目標運動過程得到第七方程

(18)

4)當L≥L2,若(Vm-Vs)>(A2/J)且(Vm-Ve)≤(A2/J)時

該段規劃的加速段能達到最大加速度,減速段不能達到最大加速度,則可確定目標運動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、減減速段,根據目標運動過程得到第八方程

(19)

2.4 無勻速段類型

當L1

1)當L1(A2/J),若L>S12357(S12357表示當T1=T3=T5=T7=A/J=tm,T4=T6=0,T2=(Ve-Vs)/A時運動過程的路徑長度)且(Vm-Ve)>(A2/J)時

該段規劃從初速度Vs加速到末速度Ve存在勻加速段,并且實際路徑L>S12357以及(Vm-Ve)>(A2/J),說明從新的最大驅動速度V′m減速到末速度Ve可達最大加速度,即存在勻減速段,則可確定目標運動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、勻減速段、減減速段,可得到

T2=(Ve-Vs)/A+T6,T1=T3=T5=T7=A/J=tm

(20)

根據目標運動過程和式(8)得到第九方程

(21)

最后,利用一元二次方程的求根公式求解第九方程,舍去T6的非可行解即可。

2)當L1(A2/J),若L≤S12357或(Vm-Ve)≤(A2/J)時

該段規劃從初速度Vs加速到末速度Ve存在勻加速段,并且實際路徑L≤S12357或者(Vm-Ve)≤(A2/J),說明從新的最大驅動速度V′m減速到末速度Ve不能達到最大加速度,即不存在勻減速段,則可確定目標運動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、減減速段,則可得到

(22)

根據目標運動過程和式(8)得到第十方程

(23)

最后,利用費拉里法求解關于T5的一元四次方程,舍去T5的非可行解即可。

3)當L1

該段規劃從初速度Vs加速到新的最大驅動速度V′m, 再減速到末速度Ve都不能達到最大加速度,即不存在勻加速段和勻減速段,則可確定目標運動過程僅包括加加速段、減加速段、加減速段、減減速段,可得到T1=T3,T5=T7,T2=T4=T6。

根據速度曲線公式和式(6)得到

(24)

(25)

根據式(24),可得:

(26)

將式(26)代入式(25)中,可得

(Vs+Ve)·(T1+T5)+J·T1·T5·(T1+T5)=L

(27)

令

(28)

由式(28)及式(24)可得

(29)

將式(29)代入式(27)可得第十一方程

(30)

然后,利用費拉里法求解關于m的一元四次方程得到可行解,最后,根據式(28)和式(26)即可求解T1、T5。

該段規劃可確定目標運動過程僅包括加加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據目標運動過程利用第十一方程求解即可。

5)當L1(A2/J),若(Vm-Ve)>(A2/J)且S1357

該段規劃可確定目標運動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據目標運動過程利用第十方程求解即可。

6)當L1(A2/J),若(Vm-Ve)>(A2/J)且L>S12357時

該段規劃可確定目標運動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、勻減速段、減減速段,根據目標運動過程利用第九方程求解即可。

7)當L1(A2/J),若(Vm-Ve)≤(A2/J)且L≤S1357時

該段規劃可確定目標運動過程僅包括加加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據目標運動過程利用第十一方程求解即可。

8)當L1(A2/J),若(Vm-Ve)≤(A2/J)且L>S1357時

該段規劃可確定目標運動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據目標運動過程利用第十方程求解即可。

3 S型曲線加減速控制算法實驗驗證

基于三軸正交的數控系統實驗平臺如圖2所示。主要包括PC機、ADT8989H1高性能運動控制卡、步進電機以及正交工作臺。圖2中,ADT8989H1高性能運動控制卡處理器選用某公司XC7Z010-1CLG400I4334, 用于計算各坐標軸所需信息。所研究的7段式S型曲線加減速控制算法均在該處理器中實現,可用于多軸運動控制。將上述總共24種參數不同的情況通過PC機下發到ADT8989H1高性能運動控制卡,經過S型加減速控制處理,采集并分析ADT8989H1高性能運動控制卡實際輸出的位移、最大速度和最大加速度以驗證提出的S型曲線加減速控制算法的有效性。

圖2 三軸正交的數控系統測試平臺

3.1 S型曲線加減速控制算法實現

S型加減速控制算法實現流程圖如圖3所示。

圖3 S型加減速控制算法實現流程

S型加減速控制算法實現要有3個步驟:1)讀取S型曲線加減速控制所需要的運動信息;2)根據加減速類型判斷,計算S型曲線加減速7段所對應的時間;3)根據S型曲線加減7段對應時間以及系統參數,實時計算各軸每個周期的輸出量,直至整段軌跡加減速控制完成。

3.2 實驗驗證與分析

設置系統參數:插補周期1ms,24種不同參數的運動軌跡參數如表1所示,對每組軌跡分別進行S型曲線加減速控制。

表1 24種不同參數的S型運動軌跡

表2為采用24種不同參數的S型曲線加減速控制后實際輸出的位移、最大速度和最大加速度統計結果。由表2可知,所提出的S型加減速控制算法能正確規劃出不同軌跡參數下的速度變化曲線,在加速階段、勻速階段以及減速階段,達到的實際最大速度和最大加速度均小于設定的最大驅動速度和最大加速度,說明所提出的S型曲線加減速算法可保證最大速度及最大加速度不超限。由表2可知,24組實際輸出的位移與對應給定的位移誤差最大值為第15組和23組的1.3×10-14mm,說明計算輸出的實際軌跡長度與給定軌跡長度相等。

表2 24種不同參數的S型曲線實際輸出參數

3.3 加工實例

在所搭建的基于三軸正交的數控系統實驗平臺上,進行單段圓弧加工實驗驗證。設置系統參數:插補周期為1ms,各軸最大速度為300mm/s,各軸最大加速度為800mm/s2;設置運動軌跡參數:插補起點速度和終點速度為0mm/s,最大插補驅動速度為200mm/s,最大插補加速度為500mm/s2,最大插補加加速度為2 000mm/s3,圓弧軌跡起點終點均為坐標原點,圓弧半徑為60mm。圓弧加工輸出的位移合成軌跡、兩軸位移軌跡、速度、加速度分別如圖4—圖7所示。

圖4 兩軸位移曲線合成軌跡

由圖4和圖5可知,x軸和y軸輸出位移曲線相互協調,同時到達各自指定的終點位置,兩軸合成的位移曲線為給定的整圓軌跡;由圖6和圖7可知,兩軸的速度曲線平滑過渡,加速度曲線連續,并且兩軸速度曲線、加速度曲線以及合成的速度曲線、加速度曲線的最大值都未超過設定的最大值。

圖5 兩軸位移曲線

圖6 速度曲線

圖7 加速度曲線

4 結語

為了解決數控系統中所缺乏的7段式S型加減速控制算法的解析式方法,本文利用給定的路徑長度與第一臨界長度和第二臨界長度進行對比,將所有的S型曲線的加減速控制劃分成24種情況,并歸納為11種情況的一元二次、一元三次或一元四次方程求解的形式,再利用求根公式即得到S型7段對應的時間。實驗結果表明:所提出的S型曲線加減速控制方法計算時間短、精度更高,能很好地滿足加工要求,減少了機床運動的沖擊和震動,特別適合高精加工,提高了機床的加工精度和效率。