耗散型耦合隨機非線性薛定諤方程的隨機共形多辛方法

苗利軍, 黃驛為

(遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116081)

絕大多數偏微分方程的解不能以實用的解析形式來表示,因此,數值方法成為研究方程解析解的重要工具.耗散型耦合非線性薛定諤方程作為一類特殊的偏微分方程,可用于描述許多自然現象的物理過程,在凝聚態物理、生物建模和等離子物理等領域都有重要應用[1-2].對于確定的帶線性耗散項的耦合非線性薛定諤方程,傅浩[1]構造了方程的共形多辛格式和保局部共形動量格式.近年來,構造數值格式來保持受隨機噪聲影響的耦合非線性薛定諤方程的幾何結構越來越受到學者們的關注.Chen等人[3]提出了耦合隨機非線性薛定諤方程的隨機多辛守恒律,并構造了滿足方程離散的隨機多辛格式.受到上述文章的啟發,本論文將構造數值格式來保持由加性噪聲驅動的耗散型耦合隨機非線性薛定諤方程的隨機共形多辛幾何結構.

1 耗散型耦合隨機非線性薛定諤方程

考慮以下加性噪聲驅動的耗散型耦合隨機非線性薛定諤方程

(1)

這里u,v為兩個復振幅,α,σ和β分別表示群速度色散、自相位調制參數和交叉調制系數,耗散系數a>0,ε為噪聲尺度,復值Wiener過程W(t)是定義在給定的賦σ-域流的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的Q-Wiener 過程,并且W有如下Karhunen-Loève展開:

Kdtz+L?xzdt=-aKzdt+?S0(z)dt+?S1(z)dW1+?S2(z)dW2,

(2)

其中,

S1(z)=-ε(s1+s2),S2(z)=ε(r1+r2).

定理1.1[4]方程(2)滿足隨機共形多辛守恒律

dtω(t,x)+?xκ(t,x)dt=-2aω(t,x)dt,

即

命題1.1[4]對任意a>0,下面的等式成立:

dt(e2atω(t,x))+?x(e2atκ(t,x))dt=0.

2 隨機共形Euler box格式

引入微分算子[5]

基于文獻[6],構造耗散型耦合隨機非線性薛定諤方程(1)的隨機共形Euler box格式:

(3)

其中,

定理2.1隨機共形Euler box格式(3)滿足以下隨機離散共形多辛守恒律:

證式(3)對應的變分方程為

(4)

而上面等式左邊的前兩項

左邊的后兩項

因此,

(5)

故

命題2.2對任意a>0,下面的等式成立:

證將式(5)的兩側同時乘以eatn,可得

則

故