關于丟番圖方程x(x+1)(x+2)(x+3)=68y(y+1)(y+2)(y+3)

林麗娟

(重慶化工職業學院 通識教育學院,重慶 401228)

引言

數論是研究整數性質的一個數學分支,丟番圖方程是數論中的一個十分重要的課題。對于丟番圖方程Mx(x+1)(x+2)(x+3)=Nyy(y+1)(y+2)(y+3),n∈N+,當M=1時已有不少研究工作。1971年Cohn[1]證明了N=2時僅有正整數解(x,y)=(5,4),1975年Ponnudurai[2]找到了N=3時的解的情況,1982年宣體佐[3]給出了N=5時的解的情況,1991年和2001年羅明[4,5]分別給出了N=7,6時的解的情況。總體上看,對于N<100時的正整數解的研究得到了一些結果[6-12],但由于丟番圖方程求解的困難性,仍然還有一些情況沒有解決。本文利用Pell方程基本解性質、遞推序列、同余思想以及二次剩余,研究不定方程

x(x+1)(x+2)(x+3)=68y(y+1)(y+2)(y+3)

(1)

N=68時的情況,證明了該方程僅有2組非平凡整數解。

1 預備知識

先將方程(1)化為

(x2+3x+1)2-68(y2+3y+1)2=-67

(2)

易知方程X2-68Y2=-67的全部整數解由以下兩個結合類給出[13]:

(2y+3)2=±4yn+5,n∈Z

(3)

容易驗證下列關系式成立:

un+1=66un-un-1,u0=1,u1=33

(4)

vn+1=66vn-vn-1,v0=0,v1=4

(5)

yn+1=66yn-yn-1,y0=1,y1=37

(6)

u2n=2un2-1,v2n=2unvn

(7)

yn=un+vn

(8)

un+2kh≡(-1)k(moduh),vn+2kh≡(-1)kvn(moduh)

(9)

yn+2kh≡(-1)kyn(moduh)

(10)

2 定理證明

2.1 當(2y+3)2=-4yn+5時

引理1-4yn+5是平方數僅對n=0成立。

證明 當n≠0時,yn>1,故-4yn+5<0,即(2y+3)2<0,不可能是一個平方數;當n=0時,-4yn+5=1是平方數。

2.2 當(2y+3)2=4yn+5時

引理2若4yn+5是平方數,則必須n≡0,-1(mod23×3×5)。

證明 采用對序列{4yn+5}取模的方法分三步來證明,先證明n≡0,-1(mod5),再證明n≡0,-1(mod3),最后證明n≡0,-1(mod8)。

步驟1 先取mod4421,可得n≡0,1,4(mod5),取mod4289,可排除n≡1,6(mod10)即排除n≡1(mod5),故得n≡0,-1(mod5)。

步驟2 要證n≡0,-1(mod3),只需排除n≡1(mod3),等價于排除n≡1,4,7,10,13,16,19,22(mod24)。取mod824231,可排除n≡1,7,13,16,19(mod24),再取mod1451,可排除n≡10,22(mod24),剩下n≡4(mod24)等價于n≡4,28(mod48),再取mod79即可排除。故得n≡0,-1(mod3)。

步驟3 取mod11,可得n≡0,2,3(mod4)等價于n≡0,2,3,4,6,7(mod8)。再取mod7,可排除n≡6(mod8),可以得n≡0,2,3,4,7(mod8),再依次取mod79,119983,可排除n≡2,3,4,10,11,12(mod16),得n≡0,7,8,15(mod16),等價于n≡0,-1(mod8)。

綜上所述,n≡0,-1(mod8×3×5)。

引理3設4|n,n>0,則

引理4設n≡0(mad23×5),則僅當n=0時,4yn+5是平方數。

證明 當n=0時,4yn+5=32是一個平方數。若n≡(mod23×5)且n≠0時,則可令n=0+2×5×k×2t,t≥2,k為奇數,若取m為2t,5×2t之一,則由(8)、(9)、(10)得

4yn+5≡4un+4vn+5n≡±4v2m+5(modu2m)

{5um±4vm}對mod143的剩余序列周期為12,而{2t}對mod12的剩余序列周期為2。

引理4得證。

引理5設n≡-1(mod8×3×5)則僅當n=-1時,4yn+5是平方數。

證明 當n=-1時,4yn+5=112是一個平方數。若n≡-1(mod8×3×5)且n≠-1時,則可令n=-1+2×k×3×5×2t,t≥2,k≡1(mod2),取m為2t,3×2t,5×2t,3×5×2t之一,則由(10)可得

4yn+5≡-4y-1+5≡-111(modum)

因為um≡1(mod8),um≡1(mod3)所以

{um}對mod37的剩余序列周期為38,而{2t}對mod38的剩余序列周期為18。

令

則有表1:

表1 t,m,um對應表

定理證明:

證明由引理1得(2y+3)2=1,即y=-1,-2;由引理4得(2y+3)2=32,即y=0,-3;由引理5得(2y+3)2=112,即y=4,-7;將y代入方程(1)可得全部18組整數解,其中包括16組平凡解使得(1)式兩端都為0,有2組非平凡解,即(x,y)=(14,4),(14,-7)。