基于示波器的陀螺進動實驗設計

王 悅,孫子堯,王 波,王新義,劉 洋,王亞平

(銅陵學院 電氣工程學院,安徽 銅陵 244000)

引言

進動現象應用十分廣泛,如陀螺儀、中國自主研發的單框架力矩陀螺、地球產生的歲差、自行車的拐彎等科技上和生活中常見現象都與進動相關[1-5]。從廣義上說剛體能繞某一軸持續轉動,同時此軸又繞另一交匯軸轉動的運動就稱為剛體的進動(precession)。工程上經常將繞著固定點高速自轉(rotation)的對稱剛體稱為陀螺。玩具陀螺高速自轉時,可以看成對稱剛體繞定點運動,會出現如圖1和圖2所示的進動現象。陀螺進動的研究多數是單獨計算自轉和進動[6-8],而自傳和進動往往都是同時進行的,此類方式得到的結果誤差較大。少量設計涉及到自轉角速度和進動角速度關系的探討以及驗證,如文獻[9]。

圖1 進動一

圖2 進動二

文獻[9]中利用激光器和光敏電阻設計實驗探究了自轉和進動角速度關系,但由于光敏電阻和激光器相互作用需要反應時間,因而有可能會增大誤差。本文將實驗進行優化,利用示波器,結合法拉第電磁感應定律以玩具陀螺為研究對象,探討陀螺進動時的基本規律。

1 理論分析

1.1 進動一類型

從物理原理上對陀螺的進動現象產生原因做具體分析。圖1中陀螺在直立高速旋轉的過程中如果沒有摩擦力,那么就會一直旋而不倒,因為陀螺豎直狀態下重力和支持力的合力矩為零。但是由于現實中存在摩擦力,陀螺在直立旋轉一段時間后就會因為受到重力而產生傾倒,一旦傾倒,陀螺自轉的軸與豎直方向的軸就會產生一個夾角θ,如圖3所示。重力力矩可以表示為:

(1)

圖3 進動力矩分析

圖4中將角動量和角動量的變化投影到進動繞行的圓周上,可以得到幾何關系

(2)

所以

(3)

圖4 進動角動量分析

同時由定軸轉動定律可知

(4)

所以

mgrsinθ=ω′Jωsinθ

(5)

因而

(6)

1.2 進動二類型

對圖2的陀螺可以進行類似分析,如圖5所示。當陀螺的軸繞著豎直方向的軸在旋轉時,因為有重力力矩的存在就會有一個與角動量垂直的角動量變化,同樣可以把角動量投影到進動運動的圓周上進行分析,可以得到與(5)式相同的結果,從而可以得到與(6)式類似的關系。此關系說明陀螺自轉的角速度為ω,進動的角速度為ω′,滿足乘積為一定值,此定值與陀螺的轉動慣量J相關。

圖5 進動理論分析

2 實驗設計

2.1 實驗測量

為驗證理論分析的正確性設計如下實驗裝置,如圖6所示。為了測出自轉和進動角速度,在陀螺上對稱貼上3個小磁片,如圖7所示,當陀螺高速旋轉并做進動時,3個磁片會隨著陀螺一起旋轉,就會產生周期性變化的磁場,當周期性變化的磁場經過螺線管上方,螺線管內部將產生周期性變化的感應電流,通過示波器可以實時地把電流的變化波形顯示出來。

圖6 實驗裝置

圖7 安裝磁片的陀螺

通過(6)式可以得出

(7)

在(7)式中m為陀螺質量m1與三個磁片3m2之和,r為陀螺質心到豎直繩的距離,實驗中測得m1=44.7 g,3m2=1 g,r=3.6 cm,那么通過上述實驗設計測得自轉的角速度為ω,進動的角速度為ω′,代入(7)式就能算出陀螺的轉動慣量實驗值,實驗測量數據列于表1中。

表1 實驗測量陀螺自轉周期、進動周期、角速度關系及轉動慣量

圖8是通過表1數據擬合出的自轉角速度與進動角動量之間的數量關系,發現自轉角速度與進動角動量滿足反比例關系,所以兩者乘積為一定值。這與前面理論分析相符合。

圖8 自轉角速度與進動角動量數量關系

2.2 誤差分析

圖7中r1為陀螺半徑,r2為陀螺質心到磁片中心的距離,由平行軸定理可寫出陀螺轉動慣量的理論計算式:

(8)

實驗中測得:r1=2.3 cm,r2=1.8 cm,代入(8)式可得

=1.241 2×10-5

(9)

表1中轉動慣量的平均值為1.249 7×10-5kg·m2,由(9)式轉動慣量的理論值1.241 2×10-5kg·m2,相對誤差為

(10)

B類不確定度為

(11)

因此最終可以得到轉動慣量值為

J=(1.2497±0.02)×10-5kg·m2

3 結果討論

本文提出了一種利用法拉第電磁感應定律加上示波器測試陀螺進動的實驗方案。首先,通過理論推導得出有摩擦力的情況下,陀螺進動時其進動角速度和自傳角速度的一般規律。其次,通過設計實驗對比了陀螺轉動慣量的理論值和實驗數值,兩者的相對誤差為0.68%,說明了理論分析的正確性和實驗設計的合理性。本設計的物理原理與實驗裝置,可以應用到其他類似的剛體轉動慣量測量實驗中。