基于理性思維發展的數感培養路徑分析

胡連成 王國強

【摘 要】通過梳理人們對數感內涵解讀的不同視角和結構模型，從教學實踐出發，提出基于理性思維發展的數感培養路徑：以真實情境為基礎、以問題思考為載體、以思維發展為旨歸。通過積極的思維活動，實現對數與數量、數量關系及運算結果的認識和理解，在直觀感悟和理性思考中發展“數字意識”和“數學態度”，實現數感素養的培養；并通過反思質疑、批判創新，提升學生思考問題的意識和能力，實現理性思維的發展。

【關鍵詞】初中數學；核心素養；情境問題；理性思維；數感培養；無理數

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）46-0033-05

【作者簡介】1.胡連成，江蘇省豐縣梁寨鎮梁寨初級中學（江蘇豐縣，221741）教師，正高級教師；2.王國強，江蘇省鹽城亭湖新區初級中學（江蘇鹽城，224002）教師，高級教師，江蘇省教學名師。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）對核心素養的內涵解讀概括為“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。［1］5-6其目的在于培養學生的理性思維，以形成終身發展所需要的核心素養，實現課程育人。其中，“數學的眼光”主要表現為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識，其中抽象能力包含數感、量感、符號意識等。什么是數感？數感具體表現在什么方面？如何培養學生的數感？要厘清這些問題，需要從人們對數感的認識發展歷程中去尋求答案，并從中探尋培養學生數感的路徑。

一、數感的內涵解讀

數感一詞是從“number sense”翻譯而來，這是美國數學家托比亞斯·丹齊克于1954年首次提出，他認為數感是對集合數量變化的辨識能力。后期演變為兩類不同觀點的定義：一類是行為取向觀，關注數感表現的系列外顯行為，認為數感是個體對數和運算的一般理解，并運用其做出數學分析和解決問題情境中的數字及運算問題；第二類是認知取向觀，側重分析數感形成過程中的心理發展變化，把數感內部認知理解為數感外顯行為形成的主要原因。［2］

（一）理解視角

中外學者對數感內涵進行了不同角度的解讀，概括起來大致可分為三種視角：（1）直覺能力視角，認為數感是人腦對數學對象的直覺，是一種“數學感”，是認知心理學中的一種“無意識”加工；（2）活動感悟視角，認為數感是對數的一種感悟，是由外界刺激產生的“感”而后在頭腦中形成“悟”的思維，具有感知和領悟的雙層屬性；（3）態度意識視角，認為數感是一種獨立理解和使用數字的態度和意識，把“數感”理解為“數字意識”或“數學態度”。這三種理解視角存在著一定的內涵關聯性，分別指向了數感的形成基礎、培養過程和目標指向。［3］（見圖1）

[數感] [活動感悟][直覺能力][基礎] [過程] [態度意識][目標]

圖1 數感內涵分析

（二）結構模型

相關專家根據各自對數感內涵的解讀，提出了不同的數感結構模型。如美國數學教育家麥金托什提出了數感的三成分模型結構，認為構成數感的基本成分是數、運算和情境。在此基礎上，山西大學霍雨佳等提出了四面體數感結構模型，認為數感是數、運算、估計和情境組成的整體系統，數、運算、估計是情境中的基本要素，情境使其得到了融合與統一。［2］江蘇省鹽城市初級中學王成剛和江蘇省鹽城亭湖新區初級中學王國強從數感素養培養的角度出發提出了“四基指向為基石、問題指向為載體、思維發展為目的”的數感三層培養模型結構。［4］

二、“情境—問題—思維”視角下的數感培養路徑分析

根據以上分析可以看出人們對數感的認識有著一定的連續性和發展性，均重視在現實情境中發展學生的數據意識和數據觀念。正如新課標中提出：數感培養要在真實情境中理解數的意義，能用數表示物體的個數或事物的順序；能在簡單的真實情境中進行合理估算，作出合理判斷；能夠體會和表達事物蘊含的簡單數量規律。［1］7針對學生數感的培養，本文基于教學實踐，提出了“情境—問題—思維”視角下的培養路徑，強調以真實情境為基礎、以問題思考為載體、以思維發展為旨歸，重視學生核心素養的養成。教學中通過創設問題情境，引發學生的認知沖突，形成數學核心問題，并基于核心問題設計問題鏈，在系列問題的探索中培養學生對數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟和理性思考，以形成用數學的眼光審視問題的意識和態度，并指向學生思維能力和理性精神的提升。下面筆者結合“認識無理數”的教學加以闡述。

“認識無理數”是蘇科版數學教科書七年級上冊“2.2有理數與無理數”的教學內容，本課時教學共分為兩個環節。一是“歸納有理數”，通過分析學生已經學習的整數、分數、有限小數和無限循環小數的關聯，歸納有理數的內涵指向（有限小數和無限循環小數）及形式結構（能夠寫成分數的形式[mn]，其中m、n為整數，且n≠0）。二是“認識無理數”，通過真實的問題情境揭示無理數的客觀存在，并結合分析其“無限不循環”的內涵特征，形成無理數的概念。

（一）在真實情境中引發數學思考

數學源于對現實世界的抽象，是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，以幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律。［1］1如何開展有效的數學教學，以引領學生深度思考，實現對現實世界的認識、理解和表達，是教育工作者應予以關注的重要問題。新課標提出了能引發學生思考的三條教學建議，其一就是“強化情境的設計和問題的提出”［1］87，指出在教學中要圍繞教學任務和學生的認知結構、認知心理，準確定位學生學習最近發展區，據此設計真實情境，學生在情境思考中引發認知沖突，形成數學問題，在激發學習動機同時培養問題意識。

1.教學片段一

問題1：圖2是兩個面積為1的小正方形，你能否拼成一個面積為2的大正方形？

學生獨立思考后小組交流，并展示拼圖成果。（如圖3）

[圖2? 面積為1的正方形][圖3? 面積為2的正方形][1][1][1][1] [a][1][1][1][1]

問題2：小正方形和大正方形的邊長分別是多少？

生1：由于小正方形的面積是1，所以小正方形的邊長為1；大正方形的面積是2，我不知道哪兩個相同的數相乘等于2，所以求不出大正方形的邊長。

2.案例分析

無理數的學習標志著學生的知識結構從有理數范疇拓展到實數范疇，是一次重要的數系擴充。由于學生對數的認識是從現實生活需求出發，遵循“自然數→整數→有理數→實數”的脈絡不斷拓展和豐富。學生對有理數的認識是具象可感的，是可以“數出來”“量出來”的，但無理數是抽象的、“想出來”的，以學生現有經驗的有限性去認識無理數概念的“無限性”［5］，存在理解上的困難。因此，對無理數的認識要從現實需求出發，讓學生直觀感知其客觀存在性。所以筆者設計上述問題情境，讓學生在實驗操作中引發思考，當原有的有理數知識無法給出答案時，產生了認知沖突，生成了核心問題“面積為2的正方形的邊長是多少”，實現了問題對探究的引領和思維的啟迪。

（二）在問題思考中培養數感素養

數感素養的培養需要在情境問題的思考中，通過感知、估算與判斷理解數的意義和數量的關系，體會其間蘊含的數學規律，感知數學表達的簡潔與精確。教師在教學中要基于認知沖突形成的核心問題，利用遞進、變式、類比、引申、逆變等方式，以相應的數學思想為指導，構建具有邏輯關聯和開放度、生長性的問題鏈［6］，使得學生對問題深度思考與思維充分表達的過程中，實現對數感素養的培養。

1.教學片段二

問題3：面積為2的正方形的邊長a是整數嗎？

生2：由于1×1=1、2×2=4，所以面積為2的正方形的邊長應該介于1和2之間，不是整數。

問題4：a是分數嗎？

學生出現思維困境，師生討論后形成如下思考路徑。

（1）從特殊化思考

因為[32]×[32]=[94]＞2，所以a≠[32]；因為[43]×[43]=[169]＜2、[53]×[53]=[259]＞2，所以a≠[43]、a≠[53]；因為[54]×[54]=[2516]＜2、[64]×[64]=[32]×[32]＞2、[74]×[74]=[4916]＞2，所以a≠[54]、a≠[64]、a≠[74]。

…………

猜想：a不是分數。

（2）一般化證明

令a=[mn]（m、n是沒有公因數的整數，且n≠0），則a·a=[mn]·[mn]，又知a·a=2，所以[mn]·[mn]=2，故m·m=2n·n，所以m為偶數。設m=2s，則2s·2s=2n·n，2s·s=n·n，可知n也為偶數，則m、n存在公因數2，與已知相矛盾；故a≠[mn]（m、n是沒有公因數的整數，且n≠0），所以a不是有理數。

問題5：a有多大？

生3：根據前面分析可知，1＜a＜2。

師：是否可以更精確些？

生4：因為1.4×1.4=1.96、1.5×1.5=2.25，所以1.4＜a＜1.5。

師：利用這位同學的方法是否可以得到更精確的近似值？

生5：因為1.41×1.41=1.9881、1.42×1.42=2.0164，所以1.41＜a＜1.42。

…………

師：我們利用逐漸逼近的方法可以得到a≈1.414213562373…，它是一個無限不循環小數。我們把這樣的數稱為無理數。

2.案例分析

認識無理數，不但需要用直觀刻畫抽象，讓學生在真實情境中認識其客觀存在性；還需要用具體刻畫一般、近似刻畫精確，讓學生體會到有根據的數的“感覺”?！敖虒W片段一”解決了第一個問題，“教學片段二”就要回答第二個問題。所以上述教學從兩方面開展問題探索，一是根據從特殊到一般的思維發展路徑揭示了a的不可公度量性，說明其不是有理數，二是利用逼近的思想得到a的動態近似值，說明其具有無限不循環特性。教師在教學中要關注學生在問題引領下的積極思維活動，在真實的思維加工中實現對無理數的認識從“感覺”到“感悟”再到“理性分析”的抽象建構過程。在真實情境中的合理估算與理性判斷，既有定性分析也有定量刻畫，既有直觀感知也有抽象分析，讓學生在感悟與思考中形成積極的“數字意識”和“數學態度”，實現數感素養的提升。

（三）在數感培養中發展理性思維

數感培養的目的在于通過思考問題的過程發展學生的理性思維。理性思維是一種注重反思質疑、批判創新、追求自覺的思維方式。具體表現為：（1）數學的思維，理解和掌握基本的數學思想和方法，能運用數學的方式觀察、思考和表達實際問題；（2）尚真的追求，重視事實和證據，具有主動的實證意識、嚴謹的尚真態度和不懈的探索精神；（3）理性的自覺，重視問題意識的培養和反思能力的養成，在問題思考中通過主動的審視與反思、自我的監控與調整，達成由具體的數學知識和方法的學習拓展到一般性思維策略的提升，實現理性的思維自覺。在這三方面的維度中，“數學的思維”是基礎，“尚真的追求”是保障，“理性的自覺”是旨歸，三者互融共生，在積極的問題思考中使得理性思維的發展得以實現。

基于數感培養的理性思維發展需要通過在真實情境的問題思考中，合理運用直觀思維與邏輯思維，以認識事物的本質、規律和關系。在“認識無理數”的教學中，筆者利用數學情境中邊長的計算引發認知沖突，形成核心問題，激發學生求真的追求，實現思維的定向。面對核心問題“面積為2的正方形邊長是多少”，通過回顧有理數的內涵和形式，有針對性地開展問題鏈探索。通過從特殊例子到一般思考、從數學歸納到代數推理，結合夾逼思想的定量刻畫過程，在實現數感素養發展的同時達成一般性思維策略的提升。（見圖4）

基于數感素養培養的數學問題情境教學需要在課堂活動中適度“留白”與和諧“容錯”，在問題的積極引領下，學生通過“靜靜思考”和“充分表達”的過程，完成思維的內化與外顯。［6］在思維的定向、內化和外顯的三部曲中，學生對無理數的認識實現從模糊到清晰、從感性到理性的提升，在發展數感素養的同時形成基于自我理解的態度和意識，并通過對問題解決過程的回顧和反思，實現知識建構、方法融合、思想領悟和思維的自覺，借助“數學的思維”過程實現“通過數學學會思維”的目的［7］，達成理性思維的發展。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］霍雨佳，郭威，楊新榮.國外數感研究評析及啟示［J］.課程·教材·教法，2015，35（2）：117-121．

［3］肖婧鈺.七年級學生數感培養現狀的調查研究［D］.合肥：合肥師范學院，2022：8-9.

［4］王成剛，王國強.三層結構：初中生數感培養的新路徑［J］.數學教學通訊，2021（5）：3-4，18.

［5］王紅權.怎樣教好無理數［J］.數學通報，2018，57（6）：18-22.

［6］胡連成.基于“情境—問題—思維”視角的數學深度教學［J］.中學數學月刊，2022（6）：9-12.

［7］鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：162.

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點資助課題“初中生數感培養的障礙成因及對策研究”（B-a/2020/02/59）、徐州市教育科學“十四五”規劃課題“深度學習視域下問題情境教學的實踐研究”（GH14-21-L495）階段性研究成果。