批判性思維與審辨式數學課堂教學實踐

【摘 要】審辨式數學課堂是基于批判性思維，與數學史和生活實踐相關聯的課堂，是習得數學知識、體悟數學思想、培育數學素養的重要路徑。在具體教學中，可采取以下五個方面的數學教學策略：創設問題情境，促進體驗與感知；建構數學模型，促進質疑與假設；自主學習建構，促進推理與論證；尋求深度理解，促進分析與評估；立足問題解決，促進綜合與創造。

【關鍵詞】高中數學；審辨式課堂；批判性思維

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）46-0054-04

【作者簡介】王琳，南京市第一中學（南京，210010）教師，高級教師。

一般認為，批判性思維是為決定信什么或做什么而進行合理的、反省性的思維，包括思維技能和情感態度兩個維度。批判性思維技能主要包括：質疑、闡釋、推理、論證、判斷與評價等。批判性情感態度主要包括：公正性、求真性、開放性、反思性和謹慎性等。審辨式數學課堂就是讓批判性思維浸潤數學課堂教學，建立數學學科核心素養與批判性思維之間的邏輯關聯，讓科學教育的路徑與方法更加明晰具體。

一、審辨式數學課堂教學模型

審辨式數學課堂教學離不開良好的批判性思維環境的支持，包括數學文化、境脈和資源等。數學文化的人文意蘊主要有求真、向善、臻美三個方面。具體來說，數學文化不僅有“求真”的基本屬性，而且具備“向善”的品格和“臻美”的特質：“向善”源于數學文化的內在秩序，作用于人之外顯的品行和格局境界；“臻美”則指向數學語言和符號，是對客觀世界進行抽象概括后所展現的價值追求。在此基礎上，批判性思維浸潤數學教學框架模型如下頁圖1所示，簡稱為“審辨式教學金字塔”，可用數字“一三五”來描述該模型。

“一”是指位于金字塔框架頂點的“元認知”，它強調思維心理結構中的監控結構，發揮思維發展的定向、控制和調節功能。在課堂教學中，教師一方面要引導學生對自己的思維發展進行持續不斷的反思，另一方面也要不斷調試自己的教學方式與策略，與學生思維發展同向而行，實現同頻共振。

[圖1 浸潤批判性思維的數學教學框架]

“三”是金字塔框架中的三條側棱，表示該教學模型的三維度：知識結構、思維技能和情感態度。知識結構是批判性思維的支柱，是在與社會實踐長期的互動中積淀而成的系統化、結構化體系。思維技能是批判性思維的重要內容，主要包括：闡釋、分析、評價、推理、論證、自我評估等能力。積極向上的情感和持之以恒的態度是提升批判性思維的有力保障，所以在數學教學中發展批判性思維需要科學謹慎、敢于求真、實事求是的態度。

“五”是指“五層級”，即批判性思維在數學教學中主要表現為五個進階的維度，從低到高依次為：（1）體驗與感知。創設與課堂主題學習相關的多元化、網絡化數學文化情境脈絡，引導學生親身體驗與感知，運用真實情境來激發學生積極探究的情感。（2）質疑與假設。進行主題式設計，實施問題化驅動，讓學生反復經歷“假設—質疑—推斷”的過程，將新知識融入已有的認知結構。（3）推理與論證。運用邏輯推理，設計實驗論證，培育學生的理性精神。（4）分析與評估。學生在新知和舊知之間有時會產生認知矛盾，要進行不斷的修正和改進假設、證據化思考和協作式研究，形成對數學本質的理性認識。（5）綜合與創造。對所掌握的思維技能與情感態度進行綜合評價，對問題做出合理評估與判斷，進而對所學知識進行意義化建構，遷移解決相關實際問題。

二、審辨式數學課堂教學案例設計與分析

1.創設問題情境，促進體驗與感知

情境是課堂教學的載體，也是培養批判性思維的基礎。在課堂教學中創設探究性、挑戰性的問題情境，融入數學文化，一方面能有效誘發認知沖突，另一方面可以使學生接受數學文化的熏陶，從而激發其探究熱情。

【問題1】《九章算術》中的“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

本題素材源自數學文化，題設較簡單，學生容易入手，題干中已告知數學模型，各節容積成等差數列。只需將問題轉化為：已知等差數列[an]，a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，求a5。這是數列中利用方程組的思想解決基本量的運算問題。本題借力數學文化，制造認知沖突，誘發學生思考，科學引導論證，將數學學習從數學史延伸到現實問題的探索中，讓思維發展發生于文化與生活、新知與舊知、直覺與理性之間，從而促進學生深入思考，建構數學概念。

2.建構數學模型，促進質疑與假設

建立數學模型需要對所研究問題的本質有清晰的認識，對相關影響因素進行分析。教師可改變設問方式，增強問題的開放性，引導學生自主探究，多角度辯證分析問題，潛移默化地培養學生獨立思考與質疑的精神。

【問題2】如下頁圖2，在邊長為1的等邊三角形ABC中，連接各邊中點得△A1B1C1，再連接△A1B1C1的各邊中點得△A2B2C2，……如此繼續下去，則△AnBnCn的面積為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

本題研究各類圖形中的數列問題，通過審題、觀察、歸納，學生可識別出數列模型，即圖中三角形的邊長成等比數列。求△AnBnCn的面積也就是先求出△AnBnCn的邊長（用n表示），再利用等邊三角形面積公式求解。因此，本題可轉化為：記△AnBnCn的邊長為an，則數列[an]是以[12]為首項，[12]為公比的等比數列。此題素材注重過程探究、強調知識綜合，有利于學生進行抽象概括，培養學生發現新問題、獲取新知識、建構新模型、解決新問題的能力。

3.自主學習建構，促進推理與論證

教學中讓學生充分利用已經習得的思維與方法，對新問題進行自主推理與論證，讓新知識深深扎根于舊知識，并在已有認知的“土壤”上不斷“生長”，進而理解新知識的合理性，實現自主建構，這是“求真”的過程，也是發展批判性思維的核心環節。

【問題3】1934年，東印度（今孟加拉國）學者森德拉姆（Sundaram）發現了“正方形篩子”：

4? ?7? ?10? 13? 16? …

7? ?12? 17? 22? 27? …

10? 17? 24? 31? 38? …

13? 22? 31? 40? 49? …

16? 27? 38? 49? 60? …

（1）這個“正方形篩子”的每一行有什么特點？每一列呢？

（2）“正方形篩子”中位于第100行的第100個數是多少？

本題是數陣問題，可用數列知識來解決。教學中教師需要循循善誘，引導學生仔細觀察每一行、每一列的數字的規律，概括歸納出數列模型。學生觀察發現：每一行的數字成等差數列，每一列的數字也成等差數列，每一行的公差也成等差數列。這樣的教學讓學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達事實，自主建構新知識，實現從“解題”到“解決問題”的轉變，提升學生的學習自豪感。

4.尋求深度理解，促進分析與評估

批判性思維是基于事實證據的分析與反思，可以使學生學會分析和甄選證據，對命題或觀點進行有效證實或證偽。在教學中，教師一方面要向學生闡釋論證的重要性，讓學生通過自主探究或者合作學習的方式，尋求證據來支撐自己的觀點；另一方面也可以在對證據進行分析和反思的基礎上，促進學生深度理解數學知識背后蘊含的邏輯美、對稱美。

【問題4】如圖3，從一個正三角形出發，把每條邊三等分，然后以各邊的中間部分[13]的長度為底邊，分別向外作正三角形，再把“底邊”線段抹掉，得到一個“六角星”；再把每條邊三等分，以各中間部分的長度為底邊，向外作正三角形后，抹掉底邊線段。反復進行這一過程，就會得到一個類似于“雪花”的圖形。我們將這種雪花稱為“科赫雪花”。若第一個正三角形的邊長為1，試探求第n個圖形的邊長和周長。

（圖3）

此題素材試圖突破以往教學中知識點割裂化的問題設計，抓住現實生活中常見又值得深入探究的真實問題，用“確定”實踐情境融入“不確定”問題情境，問題設置逐級進階、圖形呈現形式活潑，既考查學生甄別有效信息的能力，凸顯了數學的應用價值，又引導學生學以致用，綜合培養學生的數學關鍵能力。教學中，教師可讓學生自主觀察、歸納圖形的變化規則，得出其邊長成等比，邊數也成等比的結論。

5.立足問題解決，促進綜合與創造

解決實際問題是批判性思維的重要維度，也是培養批判性思維的重要方式。實際問題往往與社會發展、文化生活相聯系，培育學生數學學習的情感態度，有助于增強學生的進取心和責任感。學生在解決實際問題的過程中需要對紛繁復雜的信息進行辨析，需要經歷構建數學模型、分析綜合和論證評估等過程。

【問題5】《九章算術》中有述：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍。意思是：“今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍。”請問當莞長高到長度是蒲的5倍時，需要經過的天數大約是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。（結果精確到0.1。參考數據：lg2=0.30，lg3=0.48）

由題易知蒲和莞每日生長的長度均是等比數列。學生可分析出，蒲每日生長的長度是以3為首項、[12]為公比的等比數列，莞每日生長的長度是以1為首項、2為公比的等比數列。但問題不局限于此，題中莞的長度總和是蒲的長度總和的5倍，也就是說比較的是兩個數列的前n項和的關系而不是通項的關系，這就需要學生進行分析與綜合、比較與分類，搞清楚比較的量是什么。教師可鼓勵學生運用發散性思維來解決問題，使學生在不斷地辨析、比較和優化問題處理的過程中，強化學習思維的自我評估、自我監控，培養其創新精神和創造能力。

三、對審辨式數學課堂教學的反思

1.審辨式數學課堂教學有利于創造能力的形成

建模是描述、認識和解釋客觀世界的一種方法，它可以幫助學生更好地理解和檢驗對相關現象的概括認識和理論闡釋。在審辨式數學課堂教學中，學生依據自己的具身和先前的概念知識和經驗，對所理解的數學模型進行具體體驗、反思觀察、抽象概括和主動檢驗，有效地提升了自身的推理論證、分析綜合和反思評估等批判性能力，有助于理解數學學科本質，認識到科學探索永無止境，培養創新精神和創造能力。

2.審辨式數學課堂教學有利于批判性思維的發展

批判性思維的培養需要根植于具體的生產實踐與文化生活的情境之中，離不開數學文化、數學史證據和普適數學觀的支撐，這些都是審辨式數學課堂教學的研究內容。審辨教學以問題質疑為起點，以獲取證據、推理、分析與綜合為過程，以得出有說服力的結論為旨歸，為發展學生的批判性思維能力提供了豐富的實踐場域。

【參考文獻】

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［4］張紅霞，郁波.從“探究”到“實踐”：科學教育的國際轉向與本土應對［J］.教育研究，2023（7）：66-80.

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點資助規劃課題“基于批判性思維的深度學習實踐模型研究”（R-a/2020/01）階段性研究成果。