以“元指導”推動學生思維進階的四路徑

【關鍵詞】思維進階；元指導；思維之道

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）46-0087-03

數學思維有“道”可循，有“導”可依。元指導是為了有效幫助學生發現問題、分析問題和解決問題，從數學基本原理、規律、要素等出發，對學生數學學習的基本內容、基本方式、基本過程進行指導的教學方式。本文所提“元指導”主要涉及四個方面：一是揭示思維的原理與規律；二是揭示思維的緣由與依據；三是揭示思維的策略與方法；四是揭示思維的路徑與節點。

1.揭示思維的原理與規律

“從宏觀到微觀”是一種重要的學習邏輯，先總體認識再局部細化，具有進階取向。在數學內部，無論是認識空間幾何體，還是認識圓錐曲線，都遵循這樣的學習邏輯。因此，教師在教學中要避免向學生“兜售”零件，應強化“整車”思維，“從宏觀到微觀”促進學生思維發展。

以人教A版高中數學（下同）必修一“n次方根與分數指數冪”的教學為例，需要經歷提出問題、猜想結論、驗證結論、完善結論、形成觀念的數學思維活動。教學時，教師可先從an運算的三種形式入手，讓學生從整體上把握知識的結構，然后再探究解方程：xn=a（n＞1，n∈N*）。鑒于學生在初中已經知道a-n=[1an]（a≠0，n∈N），教師在教學時自然可以提出問題：指數冪中的指數的范圍能否再拓展？2[12]有意義嗎？引導學生列表呈現2的整數指數冪與指數之間的關系，觀察相鄰三個整數指數冪之間的關系，進而發現當中間指數是左右指數的平均數時，它所對應的冪是左右指數對應冪的乘積的算術平方根。從直覺到邏輯，設想依據整數指數冪運算法則，可以得到a[mn]=[amn]（a≥0，m，n∈N*，n＞1）和a[-mn]=[1amn]（a＞0，m，n∈N*，n＞1）。通過不同學段數學知識同構式探究的體驗，引導學生形成數學一般觀念：在不改變原來的運算法則的基礎上把原有的數推廣到新的數，新產生的數之間、新產生的數與原有的舊數之間的運算，要采用原有的、擴充前的運算法則。

2.揭示思維的緣由與依據

數學教學應揭示思維的緣由與依據，幫助學生理清一種事物是如何指示或預示另一種事物的，從而形成循證、明理、合乎邏輯的思維品質和理性精神。

例如，選擇性必修二“等比數列的前n項和公式”可采用以下教學方式展開。

第一，錨定目標。教師引導學生觀察等差數列前n項和公式，發現等比數列前n項和公式也應用首項、末項、公比等盡可能少的已知項或值來表示，即用a1、an、q等少數項或值表示a2、a3…an-1等中間項的和，形成“化多為少，簡化求和”的一般觀念。第二，明晰依據。等差數列前n項和公式的推導方法是倒序相加法，即m+n=p+q（m，n，p，q∈N*） am+an=ap+aq。類比這種“構造相同項，化多為少”的算理，等比數列前n項和公式推導的思路和方法也應從等比數列的定義和性質，即an=qan-1，[a2a1]=[a3a2]=…=[anan-1]=q出發，探索解決問題的途徑。第三，構建聯系。從項的關系走向和的關系，通過合比定理建立條件[a2a1]=[a3a2]=…=[anan-1]=q和目標Sn=a1+a2+…+an之間的聯系，可解得Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1）。第四，以形析數。等差數列前n項和公式的幾何背景是梯形的面積公式，觀察希爾賓斯基三角形（見圖1），可以發現分形的最大特點是“自相似”，即客觀事物的局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有相似性。由幾何直觀引發代數直觀，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+a3+…+an-1）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），其中Sn和Sn-1具有相似性。由此可得Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1）。第五，回溯本質。從Sn=a1+a2+…+an變為Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1），實質上是將中間項的和用a1、an、q來表示，也可以通過構造相同項，消去中間項，至此錯位相減法自然生成。

探究解決問題的路徑和方法，應關注直覺背后的邏輯和證據。教師應引導學生把握事物之間的聯系，形成理據充分、邏輯自然的思維方式。

3.揭示思維的策略與方法

優化問題解決的過程關鍵在于靈活運用思維策略與方法，有效地引導、點撥和完善學生的思維。數學思維的策略與方法有很多，比如，以數學定義本身為切入點、以條件與結論之間的差異為切入點、以事物的本源為切入點，等等。

以選擇性必修一中“點到直線的距離公式”教學中的一組問題的設計為例。

【問題1】已知△ABC三邊長分別為a，b，c如何求其面積呢？

【問題2】已知，A（1，2），B（-1，-1），C（-3，3），如何求△ABC的面積？

【問題3】如何求點C點到AB的距離？

【問題4】設點P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時為0），請推導點P到直線l的距離。

【問題5】對P到直線l的距離，除了看成是點P與垂足H間的距離，它還有其他的“身份”嗎？（見圖2）

【問題6】對這張圖你還有何想法？（見圖3）

以上6個問題構成思維進階的6個層次。問題1“喚醒”學生已有的知識、方法及解題經驗。在解決問題1的基礎上，以點的坐標形式變換學習條件，呈現問題2，激發學生探索新的解決方法，從數學概念的外延（三角形的高）自然轉向數學概念的內涵（點到直線的距離）。問題3以特例的形式給出求點到直線距離的示范性樣本。為了探尋一般性結論，進而提出問題4。首先，解決A=0和B=0的特殊情況；其次，當A≠0，B≠0時，設過點P且與點P垂直的直線方程為y-y0=[BA]（x-x0），與直線l的方程Ax+By+C=0聯立，可解得x=[B2x0-ABy0-ACA2+B2]，[y=-ABx0-A2y0+BCA2+B2]；最后，利用兩點間的距離公式求得[（x-x0）2+（y-y0）2]=[Ax0+By0+CA2+B2]。反思求解過程，運算的煩瑣與復雜引發學生的思維沖突，進而產生尋求簡化之道的內在需求。此時教師對求解目標深度追問：求x，y的值方便嗎？如果改成求x-x0，y-y0的值會不會簡單一些呢？能否直接求出（x-x0）2+（y-y0）2的值呢？啟發學生嘗試整體化處理問題。問題5另辟蹊徑，引導學生多角度理解點到直線的距離，構建并完善知識網絡結構。問題6引出教材的處理方法，讓學生自然地發現面積法解決問題。

在解決問題中抓住恰當的時機，介入合適的思維策略和方法，有助于學生完善思維結構，提升思維能力，進而由具體事例中的處理經驗遷移為解決一般問題的方法論。

4.揭示思維的路徑與節點

教師開展單元教學的過程中，應強化整體化的思維教學，探索問題解決的一般思路和基本路徑，揭示數學發展的內在邏輯。

例如，必修二“平面向量及其應用”單元主要包括四個方面的內容：向量的概念、向量的運算、向量的定理以及坐標表示、向量的應用。提出研究向量問題、構建向量概念時，教師可圍繞“向量是一種怎樣的數學工具”這一大任務，引導學生探究向量的特征、表示及性質，明晰用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑。對于向量的運算，教師可在“如何借助代數運算刻畫幾何對象”這一大任務的驅動下，揭示幾何直觀與代數運算之間關系。向量加法的平行四邊形法則為平面向量基本定理提供依據，教師可圍繞“如何表示平面內任意向量”這一大任務，給出用代數方法論證幾何關系的數學方法。對于向量的應用，教師可圍繞“用向量法解決問題”這一大任務，構建向量模型解決幾何問題、物理問題、三角問題等，將數與形融為一體。

數學教學應引導學生明晰知識發展的基本路徑，理解認知環節之間的相互聯系和影響，在基于具體事例的真實情境中體驗思維持續、進階的演變過程。

（作者單位：江蘇省宜興市丁蜀高級中學）

本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃2022年度重點課題“學習進階理論下高中數學單元學習元指導研究”（B/2022/03/65）、江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題“大概念視角下的高中數學單元整體教學實踐研究”（B/2021/02/28）階段性研究成果。