一類帶有臨界指數的分數階Schr?dinger-Poisson系統正解的存在性

廖家鋒,蔣 維

(西華師范大學 a.數學與信息學院,b.公共數學學院,四川 南充 637009)

考慮如下分數階Schr?dinger-Poisson系統

(1)

(-Δ)s代表s階分數階Laplacian算子,根據文獻[1],定義如下:

其中P.V.代表柯西主值,C3,s是與s有關的維度常數。近年來,分數階Laplacian方程被廣泛研究和應用在金融和優化等許多領域中[2-4],因此引起了很多數學家對分數階Schr?dinger-Poisson系統的關注。

近年來,一些文章[5-10]研究了如下帶有臨界指數的分數階Schr?dinger-Poisson系統

(2)

定理1如果條件(V1)(V2)和(F1)—(F4)都成立,則系統(1)至少存在一個正解。

1 預備知識

本文所用到的符號有:

(3)

(4)

方程(4)對應的能量泛函I為

故,對于所有的v∈H,都有

此外,易知能量泛函I的臨界點與方程(4)的解是一一對應的。

2 定理1的證明

1)對所有的u∈H,滿足φu≥0;

引理2如果條件(V1)(F1)和(F2)成立,則

(a)存在ρ,α>0,當‖u‖=ρ時,滿足I(u)≥α;

(b)存在e∈H,當‖e‖>ρ時,滿足I(e)<0。

證明(a)根據條件(F1)和(F2)可知,對所有的ε>0,存在Cε>0,滿足

(5)

令Σρ={u∈H:‖u‖≤ρ},其中ρ>0,根據Sobolev不等式和(V1),可以推出

再根據引理1,對所有的u∈?Σp,可以知道

由于ε足夠小,故可以假設ε∈(0,V0),當ρ>0充分小時,可以推得

故(a)成立。

(b)對任意的t≥0,u∈H{0},有

于是,當t→+∞時,滿足I(tu)→-∞。因此,存在t0>0充分大,滿足‖t0u‖>ρ以及I(t0u)<0。取e=t0u∈H,則(b)也成立。從而,引理2證畢。

定義

(6)

其中

Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,I(r(1))<0}。

利用山路定理,存在序列{un}?H,使得

I(un)→c>0,I′(un)→0。

證明若{un}是泛函I在H上的局部的(PS)c序列,則當n→∞時,滿足

I(un)→c,I′(un)→0。

(7)

可以斷言:{un}是H上的有界序列。事實上,當n足夠大時,根據條件(F4)以及(7)式,有

這說明序列{un}在H上有界。故可知{un}存在子列(不妨仍記為{un})和u∈H,當n→∞時,滿足

(8)

(9)

(10)

再結合(10)式,可以推出

(11)

(12)

讓wn=un-u,根據Brézis-Lieb引理[13-14],有

‖un‖2=‖u‖2+‖wn‖2+on(1)。

(13)

根據Lebegue控制收斂定理和上式,可以知道

(14)

進一步,結合(13)式和(14)式,可知

(15)

同理,可得

(16)

(17)

(18)

(19)

證明由引理2知,當t>0足夠小時,有I(tvε)>0;當t→∞時,有I(tvε)→-∞。又有I(0)=0,因此存在tmax>0,使得I(tmaxvε)=supt≥0I(tvε)>0。由于對所有的ε>0,都存在tε>0,滿足‖tεvε‖=ρ,故由引理2知

0<α≤I(tεvε)≤I(tmaxvε)。

根據I的連續性,可以知道存在ε1>0和T1>0,使得對所有的ε∈(0,ε1),滿足tε≥T1。再根據條件(F1)(F2)和(18)(19)式可知,存在正常數C1,C2和C3,使得當ε>0充分小時,滿足

(20)

因此,存在ε2>0和T2>0,使得對所有的ε∈(0,ε2),有tε≤T2。此外,根據(20)式,可推得

(21)

定理1的證明根據引理2,可以得到泛函I具有山路幾何結構。再結合引理3-4得到,存在序列{un}?H,滿足I(un)→c,I′(un)→0,n→∞。從而序列{un}在H中有界且存在收斂子列(仍記為{un}),且存在u∈H,滿足un→u(n→+∞)。再由山路引理(見文獻[16],定理2.1),可以知道I(u)=c>0,I′(u)=0。因此,(u,φu)是系統(1)的一個非平凡解。又因為

所以有

≥‖u-‖2,