中學數學教材中圓周率內容的教育價值與教學建議*

摘要：現行初高中數學教材中的圓周率內容主要有劉徽“割圓術”、布豐投針試驗、圓周率的估算以及圓面積和周長的計算等，分布在多個知識領域（主題），主要分布在閱讀材料和習題中。這些內容蘊含極限和遞推思想、統計與概率思想、微分思想、求實精神、創新精神、統一美、簡潔美、奇異美等。教學時要注意：梳理數學發展脈絡，讓整體感知與深度探究相結合；開展數學主題教學，讓橫向聯系與縱向貫通相結合；優化內容表征形式，讓顯性呈現與隱性滲透相結合。

關鍵詞：中學數學；圓周率；教育價值；數學史；主題教學

圓周率（圓的周長與直徑之比）是數學中最重要的一個常數，與數學多個分支中的眾多內容有著豐富的聯系。人類對圓周率的認識與探索，有著悠久的歷史和漫長的過程，積淀了厚重的數學文化。學生在小學高年級的數學學習中初步認識了圓周率后，在中學的數學學習中還會進一步認識圓周率。本文嘗試在梳理現行初高中數學教材中圓周率內容的基礎上，剖析其教育價值，給出相應的教學建議，供中學數學教學參考。

一、 中學數學教材中的圓周率內容

現行初高中數學教材中圓周率內容的分布如下頁表1所示。由此可知，圓周率內容主要有劉徽“割圓術”、布豐投針試驗、圓周率的估算以及圓面積和周長的計算等，分布在圖形與幾何、幾何與代數、數與代數、函數以及統計與概率等知識領域（主題），具體涉及正多邊形和圓、弧長和扇形面積、空間圖形的表面積和體積、實數、求導法則及其應用以及用頻率估計概率、事件的概率等知識內容；同時，主要分布在閱讀材料性質的欄目中，少數分布在習題性質的板塊中。

二、 圓周率內容的教育價值

（一） 思想價值

1. 蘊含極限和遞推思想

多版教材都以閱讀材料的形式介紹圓周率，闡述圓周率估算的發展過程。其中，劉徽創立的“割圓術”是非常重要的方法，蘊含了深刻的數學思想，可歸結為兩個方面：

一是極限思想。“割圓術”用圓內接正多邊形的面積來逼近圓的面積（如圖1所示），從而計算圓周率的近似值。其中，蘊含了化歸（化圓為方）和極限（不斷逼近）的思想。相對而言，極限思想在中學數學內容中體現得比較少。其實，極限是數學的重要思想。在中學教學中滲透極限思想，能充分拓展學生的想象空間，讓學生體會有限與無限的意義及轉化，在有限中認知無限，從而認識量變到質變的過程，感受數學的嚴謹性。

……

二是遞推思想。劉徽從圓的內接正六邊形出發，對每邊做二分，以此計算正多邊形的面積。如圖2所示，設圓的半徑r=1，AB、AC分別為圓內接正n邊形和正2n邊形的邊長，且AB=an，AC=a2n，則AP

=12an，PC=1-OP=1-1-14a2n，a2n=AP2+PC2=2-4-a2n，最終求得面積S2n=12nan（n=3×2m，m=1，2，3，…）。

可見，圓內接正多邊形的面積是借助邊長的遞推公式獲得的，這體現了遞推的思想。

因此，不必計算每個正多邊形的面積，這顯著地加快了正多邊形面積對圓面積的逼近速度。理論上，利用“割圓術”能將π的近似值計算到任意精度。

2. 蘊含統計與概率思想

在圓周率估算的發展過程中，數學家還創造性地采用了統計與概率的方法。其中，“布豐投針試驗”是用幾何形式表達概率問題的首例，開創了用隨機數據處理確定性數學問題的方法。該試驗實際上是求投針與平行線相交的概率。如圖3所示，在畫有間距為a的兩條平行線的白紙上隨意扔一根長度為l（llt;a）的針，記落下后針的中點為M，M與最近的平行線距離為x，針與此線的夾角為φ，則0≤x≤a2，0≤φlt;π。要使針與此線相交，需要x≤l2sin φ。作出x與φ關系的圖像，如圖4所示。利用幾何概型概率計算公式，可以求得概率p=2aπ∫π0l2sin φdφ=2lπa。由此可以推出π=2lpa。那么，當兩條平行線的間距a和針的長度l確定后，只要利用頻率估計概率，就可估算出π的值。在試驗過程中，學生能感受到頻率的穩定性：隨著試驗次數增多，頻率在概率附近擺動的幅度會減小。

此外，人教版和蘇科版初中數學教材還介紹了一種新的求π近似值的方法：如圖5所示，隨機撒一把米在畫有一個正方形及其內切圓的白紙上，統計落在圓內的米粒數m和落在正方形內的米粒數n，計算頻率mn從而估算π的值。這種方法也體現了統計與概率的思想。

3. 蘊含微分思想

人教B版高中數學教材中的一個閱讀材料，介紹了“利用導數由圓的周長得到圓的面積”的方法。如圖6所示，設半徑為r時圓的面積為S，半徑增加Δr時圓的面積增加ΔS。當Δr足夠小時，ΔS近似地等于長2πr、寬Δr的矩形的面積，即ΔS≈2πrΔr，故ΔSΔr≈2πr。令Δr→0，可得S′=2πr。又（πr2）′=2πr，可得S=πr2。這個方法揭示了圓的周長和圓的面積的實質性聯系。它實質上是微元法，即取對象的微小變量來處理；蘊含著微分的思想，能有效解決曲線問題（化曲為直）。

（二） 精神價值

1. 蘊含求實精神

圓周率估算的發展過程（如下頁圖7所示）

凝聚了數學家的求真務實精神。從我國現存最早的數學典籍《周髀算經》記載的“周三徑一”到古希臘托勒密的改進；之后劉徽創立“割圓術”，最初算到192邊形，得到近似值3.14，認為不夠精確，最終算到3072邊形，得到近似值3.1416；祖沖之繼續運用“割圓術”，更是求得3.1415926lt;πlt;3.1415927，并得到兩個近似分數，即約率227和密率355113；再后隨著數學的發展，π的估算越來越精確。可以說，正是由于數學家的求真務實精神，才有了璀璨的數學文化。

2. 蘊含創新精神

數學是一門富有創造性的學科。數學家通過發現新的數學定理和解決復雜的數學問題，展示人類的創新能力。圓周率估算的發展過程可以分為四個時期。實驗法時期，人們憑借生活經驗，發現圓的周長總是其直徑的3倍多。幾何法時期，阿基米德利用內接正多邊形與外切正多邊形“內外相夾逼近”計算圓周長，從而獲得圓周率；劉徽首創“割圓術”，將圓與正多邊形結合起來，用直線解決曲線問題，揭開了無限世界的神秘面紗；祖沖之在此基礎上計算到小數點后7位。分析法時期，數學家用微積分方法把圓周率表示成無窮級數、無窮乘積、連分數的形式，進而計算圓周率。計算機的出現使圓周率的計算進入新階段，成為檢驗計算機精確性和可靠性的手段。追溯這一發展過程，可以發現，每一次突破都經歷了思維的創新。

（三） 美學價值

1. 蘊含統一美

自然界原本就是統一的。無論怎么畫圓，圓的周長與直徑的比不變，統一于π；π是無限不循環小數，數值在不斷延伸，卻又永遠無法被完全表示。歐拉公式eiπ+1=0將數學中看起來不相關的重要常數（自然對數的底、虛數單位、圓周率以及1、0）統一起來，同時將指數函數的定義域擴大到復數域，建立了三角函數和指數函數的聯系，被譽為“數學中的天橋”。數學中這種完美的統一激發了人類思維的極限。

2. 蘊含簡潔美

圓周率計算方法的不斷優化，充分體現了對簡潔美的追求，例如遞推方法的引入。此外，在不斷探索中，人們認識到圓周率是無限不循環小數。然而，在用符號π專門表示之前，其名稱和數值都沒有統一，表示和計算顯得異常煩瑣；不同時期所選的符號及表示的含義也不盡相同，很不利于國際交流。1706年，英國數學家威廉·瓊斯首先使用符號π表示圓周率。［1］之后，在歐拉的倡導下，π成為國際通用符號。圓周率符號的確立，使圓的周長和面積公式有了更簡潔的表達方式。

3. 蘊含奇異美

圓周率計算方法（表示方式）的不斷更新，還充分體現了數學的奇異美，激發著人們的探索欲，使人們對圓的性質有了更深的認識。除了各種無窮的表達式，最典型的莫過于統計與概率方法。相傳，布豐曾拿出一張預先畫有多條等距離平行線的紙，抓起一大把長度是平行線間隔一半的小針，邀請客人把這些小針一根一根地往紙上投，并記錄小針與平行線相交的次數。最后，他宣布：“共記錄投針2212次，其中與平行線相交704次。2212與704的比值3.142是圓周率π的近似值！”客人無不感到不可思議而大聲贊嘆。

三、 圓周率內容的教學建議

（一） 梳理數學發展脈絡，讓整體感知與重點探究相結合

教材中的圓周率內容比較分散，不利于學生理解，尤其是不利于學生感悟其中的思想價值、精神價值和美學價值。因此，教師要系統地梳理圓周率知識的發展脈絡（如圖8所示），引導學生在整體感知的基礎上，有重點地進行深度探究。整體感知，主要是高效地再現或重構歷史，讓學生經歷類似的探究過程，感受知識產生與發展的自然性和必要性。重點探究，主要是充分地挖掘教材中的相關內容，發揮不同版本教材的編寫優勢，必要時借助課外書籍、信息技術等進行拓展和優化，從而加深學生對重點內容的理解和感悟。

（二） 開展數學主題教學，讓橫向聯系與縱向貫通相結合

教材中的圓周率內容主要分布在閱讀材料和習題中，與主干知識聯系較弱。這常導致教師在教學中對圓周率內容不夠重視或“雖然重視，但是不會使用” ［2］。對此，教師可從主題教學的角度統整教學內容，融合主干知識與拓展內容，從而既注重橫向聯系，也強調縱向貫通。具體地，可以采取多種整合方式，如：從古到今，追尋圓周率知識的發展過程；從現實、熟悉的問題出發，回溯發展過程中的重要人物與事件；以關鍵人物或事件為線索，分析相關數學概念以及數學思想的演變。［3］例如，以“圓的面積”為主題展開教學：如下頁圖9所示，從割補法入手，整體感知化歸思想；介紹劉徽的“割圓術”，在遞推求面積

以及圓周率的計算中感受數學的嚴謹，滲透極限

的思想；類比推導圓的面積公式和扇形面積公式；利用導數求圓的周長和面積，感悟微分的思想，運用于球的表面積和體積公式推導［4］。

（三） 優化內容表征形式，讓顯性呈現與隱性滲透相結合

教材中的圓周率內容主要以文字形式出現（附少量圖片），不利于學生理解內容（知識），感悟價值（文化）。文化價值具有內隱的特征，需要滲透在外顯的知識內容中。教學中，教師要對知識內容進行優化表征和裁剪重組，以更具有情境性和問題性、更生動和活潑的形式呈現，與學生的認知基礎和思維特點相契合，讓學生在學習活動中體悟文化價值。例如，冀教版初中數學教材中的“投針試驗”內容以數學文化為背景，對原有情境進行改編，可操作性較強。在教學過程中，可以創設問題情境引發學生深度思考：為什么要設置間隔相等的平行線？如何提高π估算的精度？在分析環節，要與其他“π的估計”試驗對比，借助幾何畫板動態呈現頻率與概率的關系（如圖10所示），從而促進學生深度理解與感悟。

參考文獻：

［1］ F.Cajori.A History of Mathematical Notations：Vol.2［M］.La Salle：The Open Court Publishing Company，1951：913．

［2］ 羅圣潔，楊新榮.2019版高中數學必修教材的中國元素比較研究——以人教A版、北師大版、蘇教版和湘教版為例［J］.中學數學月刊，2023（1）：4046.

［3］ 李明振，龐坤.數學史融入中學數學教材的原則方式與問題［J］.數學通報，2006（3）：2325.

［4］ 李習凡，朱勝強.類比思想引路，數學軟件輔助——“球的表面積和體積公式”的探究教學［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2021（8）：9092.