提供表達(dá)的支架，創(chuàng)造表達(dá)的機(jī)會(huì)
——以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”一課為例

江蘇省常州市新北區(qū)三井實(shí)驗(yàn)小學(xué) 王紅菊

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的三大核心素養(yǎng)，其中之一便是會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。鄭毓信教授指出，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)表達(dá)有益于人們?nèi)粘１磉_(dá)的改進(jìn)或表達(dá)能力的提升。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)表達(dá)的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)即“有條有理，有根有據(jù)”，教師應(yīng)努力讓課堂上的數(shù)學(xué)表達(dá)，做到言之有物，言之有序，言之有理，言之有情。筆者將結(jié)合五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”一課的課堂教學(xué)，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力的一些做法。

一、在豐富的操作中學(xué)會(huì)表達(dá)的方法

學(xué)習(xí)是一個(gè)探索未知的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在操作中進(jìn)行體驗(yàn)，在體驗(yàn)中進(jìn)行表達(dá)，從而有效地學(xué)習(xí)核心概念。通過(guò)操作等活動(dòng)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，不僅可以訓(xùn)練語(yǔ)言的條理性和準(zhǔn)確性，而且也可以進(jìn)一步把形象思維轉(zhuǎn)化為抽象思維。在引入“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念中，筆者借助“擺”長(zhǎng)方形的過(guò)程，把圖形與算式有機(jī)結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生掌握概念。

【教學(xué)片段一】

導(dǎo)入：今天的學(xué)習(xí)我們從拼長(zhǎng)方形開(kāi)始。這里有12個(gè)同樣大的正方形，你能用這12 個(gè)正方形擺成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？

1.你準(zhǔn)備怎么擺？有幾種不同的擺法呢？

先想一想，把你的想法記錄在學(xué)習(xí)單上（如圖1），并用乘法算式表示出來(lái)。

圖1

完成的同學(xué)和同桌說(shuō)一說(shuō)你的擺法以及如何列乘法算式。

2.學(xué)生介紹。

學(xué)生回答：3 種擺法及3 個(gè)乘法算式。（語(yǔ)言表達(dá)完整，每排擺幾個(gè)，擺幾排，乘法算式是……）

追問(wèn)：大家想的擺法和他的擺法一樣嗎？有不同的可以補(bǔ)充。

（課件根據(jù)學(xué)生介紹，分別呈現(xiàn)6 幅圖3 種擺法）

聚焦：每排擺4 個(gè)、擺了3 排與每排擺3 個(gè)、擺了4 排其實(shí)是同一種擺法，都可以用乘法算式4×3=12 來(lái)表示。

下面的這兩個(gè)也是同一種擺法，乘法算式：6×2=12，12×1=12。

3.揭示概念：同學(xué)們，我們一起來(lái)看，以4×3=12 這道乘法算式為例。

介紹：根據(jù)4×3=12，就可以說(shuō)4 是12 的因數(shù)，3 也是12 的因數(shù)，12 是4 的倍數(shù)，12 也是3 的倍數(shù)。

師：請(qǐng)你也像我這樣，說(shuō)說(shuō)這幾個(gè)數(shù)的關(guān)系。

根據(jù)（ ）×（ ）=（ ），就可以說(shuō)（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）的倍數(shù)。

提煉：你們會(huì)說(shuō)了嗎？根據(jù)乘法算式4×3=12，也可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成4 和3 都是12 的因數(shù)，12 是4 的倍數(shù)，也是3 的倍數(shù)。

【評(píng)析】從12 個(gè)同樣大的正方形拼成長(zhǎng)方形的操作活動(dòng)出發(fā)，學(xué)生在“思考—操作—觀察—對(duì)比”的過(guò)程中，找出得數(shù)是12 的乘法算式，體會(huì)到所有的乘數(shù)都能被12 整除。以4×3=12 這個(gè)乘法算式為例，觀察拼成的長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)擺3 行4 列或4 行3 列，正好把12 個(gè)正方形拼完，也就得到了對(duì)應(yīng)的乘法算式，從而揭示“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念，即根據(jù)乘法算式得出，乘數(shù)是積的因數(shù)，積是乘數(shù)的倍數(shù)（這里的數(shù)一般指非0 自然數(shù)）。學(xué)生經(jīng)歷“擺正方形”的操作過(guò)程，明晰了數(shù)與數(shù)的關(guān)系，并能在大腦中想出相應(yīng)的“長(zhǎng)方形”，根據(jù)乘法算式，熟練表達(dá)“因數(shù)和倍數(shù)”的概念。

二、借助多層資源對(duì)比凸顯表達(dá)的意圖

課堂教學(xué)要把學(xué)生、教師和教學(xué)資源有機(jī)結(jié)合，從而打造高效的課堂。而教學(xué)資源的有效利用，是教師教和學(xué)生學(xué)的有力載體。每節(jié)課的教學(xué)資源往往都是比較豐富的，教師如何對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行選擇和呈現(xiàn)，都將直接影響教學(xué)質(zhì)量，從而也直接體現(xiàn)了教師的教育理念和目標(biāo)，反映教師對(duì)教材的理解與應(yīng)用。

【教學(xué)片段二】

提問(wèn)：大家已經(jīng)能根據(jù)乘法或除法算式，說(shuō)清楚兩個(gè)數(shù)之間倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。那你們能找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)嗎？

1.找出36 的所有因數(shù)。

你準(zhǔn)備怎樣找36 的因數(shù)？（列出等于36 的乘法算式，或被除數(shù)是36 的除法算式）

2.你有辦法找出36 的所有因數(shù)嗎？

別急，請(qǐng)看幾個(gè)小提醒：

（1）想一想：怎樣找才能一個(gè)不漏，也不重復(fù)。

（2）寫一寫：找到之后按從小到大的順序?qū)懴聛?lái)。

（3）說(shuō)一說(shuō)：和同伴介紹你的方法。

3.資源交流。

（1）呈現(xiàn)3 份學(xué)生資源，他們的方法你們都能看懂嗎？（乘法、除法、無(wú)序）

（2）這幾種尋找36 的因數(shù)的方法，有什么相同之處？（從1 開(kāi)始，有序地找，一對(duì)對(duì)地記錄）

（3）對(duì)于他們的方法，你還有什么建議嗎？（記錄的方法）

（4）介紹方法：為了更方便地寫出36 的所有因數(shù)，我們可以從1 想起，根據(jù)乘法算式或除法算式，一對(duì)一對(duì)地進(jìn)行記錄。

板書(shū)呈現(xiàn)：從兩端往中間寫：1，2， …，18，36。

追問(wèn)：為什么不寫5？

4.集合圈表示：我們找到了36 的所有因數(shù)，也可以這樣記錄。

板書(shū)呈現(xiàn)：36 的因數(shù)集合圈。

5.剛剛，我們根據(jù)等于36 的乘法算式，或被除數(shù)是36 的除法算式，有序地找出了36 的所有因數(shù)。那你們能快速并有序地找到6 和15 的所有因數(shù)嗎？

活動(dòng)要求：

（1）想一想：怎樣快速找到6 和15 的所有因數(shù)。

（2）寫一寫：把6 和15 的所有因數(shù)有序地記錄下來(lái)。

（3）說(shuō)一說(shuō)：觀察幾個(gè)例子，說(shuō)說(shuō)一個(gè)數(shù)的因數(shù)有什么特點(diǎn)，和小組成員交流。

借助資源介紹，你是怎么快速并有序地找到6 和15的所有因數(shù)的？

交流：一個(gè)數(shù)的因數(shù)有什么特點(diǎn)？（板書(shū)：最小是1，最大數(shù)是本身，個(gè)數(shù)有限）

【評(píng)析】在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”的概念后，在理解概念的基礎(chǔ)上，嘗試尋找36 的所有因數(shù)，學(xué)生就會(huì)收集不同的資源。大部分學(xué)生都會(huì)根據(jù)“因數(shù)”的概念，利用乘法算式或者能整除的除法算式，找出36 的因數(shù)，但是尋找的過(guò)程往往不一樣，結(jié)果也不同。有的學(xué)生依據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能有序地進(jìn)行探究；有的學(xué)生則直接根據(jù)概念想算式，從而無(wú)序地探究；也有的學(xué)生知道有序?qū)ふ遥瑓s出現(xiàn)了重復(fù)或者遺漏。

這些都是學(xué)生最原始的資源。課堂上，教師要進(jìn)行資源的交流與對(duì)比，讓運(yùn)用每種方法的學(xué)生，說(shuō)出自己的思考過(guò)程：為什么這么找？同學(xué)們是否能看懂？接著，就要進(jìn)行資源的并列對(duì)比，尋找它們的相同之處，盡管學(xué)生們的方法和結(jié)果不同，但是思考的過(guò)程是否有相同之處呢？最后，教師可以充分發(fā)掘不同資源背后的思考過(guò)程，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的思路，在觀察對(duì)比中，提煉尋找“因數(shù)”的方法。

掌握尋找“因數(shù)”的方法后，學(xué)會(huì)有序記錄，成對(duì)書(shū)寫，從而及時(shí)應(yīng)用，尋找出6 和15 的所有因數(shù)。在進(jìn)一步的觀察對(duì)比中，學(xué)生逐步感知一個(gè)數(shù)的因數(shù)有怎樣的特點(diǎn)。通過(guò)練習(xí)、感悟，到小組內(nèi)的思維碰撞，最終完整地進(jìn)行“因數(shù)”特點(diǎn)的表達(dá)。

三、設(shè)計(jì)趣味化的練習(xí)強(qiáng)化表達(dá)的思路

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維，思維的本質(zhì)是推理，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是思維的工具，而思維又離不開(kāi)語(yǔ)言。學(xué)生在一節(jié)數(shù)學(xué)新授課中，是否真的掌握了知識(shí)，就要看其在練習(xí)中是否能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把思維表達(dá)清晰，能否把推理思考過(guò)程用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述。因此，有效的練習(xí)設(shè)計(jì)，在一節(jié)課中尤為關(guān)鍵。

【教學(xué)片段三】

練習(xí)：小明把一個(gè)數(shù)的因數(shù)和另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，按從小到大的順序?qū)懺诹丝ㄆ?，如果只翻其中的一張卡片，就能猜出這個(gè)數(shù)是多少，你準(zhǔn)備先翻哪張卡片？

（1）（ ）的因數(shù)：□、□、□、□、□。

最后一張：一個(gè)數(shù)的因數(shù)最大是自己。

中間2 張：因數(shù)個(gè)數(shù)是6 個(gè)，說(shuō)明中間2 張因數(shù)相乘就是原來(lái)的數(shù)。

追問(wèn)：為什么不翻第一張？第一張一定是1。

（2）（ ）的倍數(shù)：□、□、□、□、□…

第一張：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是自己。

追問(wèn)：翻其他的卡片，能猜出原來(lái)這個(gè)數(shù)嗎？如果第二張翻出來(lái)是14，你知道這個(gè)數(shù)是多少嗎？你是怎么想的？

總結(jié)：只要熟練掌握找一個(gè)數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的方法，了解因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，就能很順利地完成任務(wù)。

接下來(lái)，我們一起來(lái)完成一項(xiàng)每個(gè)人都不一樣的任務(wù)。

根據(jù)自己的學(xué)號(hào)，寫出學(xué)號(hào)所對(duì)應(yīng)的所有因數(shù)以及對(duì)應(yīng)的倍數(shù)。

（1）找兩名學(xué)生介紹，因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，倍數(shù)我們一般找5 個(gè)比100 小的數(shù)，也就是說(shuō)，超過(guò)100 可以不寫了。

（2）大家都找到了自己學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的所有因數(shù)，大膽猜一猜，哪個(gè)學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的因數(shù)最少？哪個(gè)學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的因數(shù)最多？（看來(lái)，不是數(shù)字越大因數(shù)就越多）

（3）知識(shí)拓展：“完美數(shù)”

請(qǐng)學(xué)號(hào)為6 的同學(xué)起立，介紹一下6 的因數(shù)。

師：知道我為什么要找“6”這個(gè)號(hào)碼？因?yàn)閿?shù)字6在數(shù)學(xué)上還有個(gè)非常好聽(tīng)的名字。瞧，它的所有比自己小的因數(shù)相加（1+2+3=6），和仍然是6。這樣的數(shù)，數(shù)學(xué)家們稱它為“完美數(shù)”。

還有哪些同學(xué)的學(xué)號(hào)是“完美數(shù)”呢？同學(xué)們可以試著算一算哦。

【評(píng)析】練習(xí)設(shè)計(jì)，不僅要符合一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，還要能突出教學(xué)的重難點(diǎn)，好的練習(xí)設(shè)計(jì)，往往可以幫助學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合、提升。通過(guò)“玩”來(lái)進(jìn)行練習(xí)，學(xué)生在不知不覺(jué)中就把知識(shí)進(jìn)行了融合與應(yīng)用。

“翻卡片”的游戲，就是結(jié)合因數(shù)和倍數(shù)的特征設(shè)計(jì)的練習(xí)，通過(guò)翻一張卡片，來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是多少，學(xué)生需要對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的概念有很深的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，結(jié)合因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行思考和判斷。在練習(xí)中，不僅是“翻卡片”，更主要的是通過(guò)“翻卡片”表達(dá)自己的思考過(guò)程：為什么翻這一張？根據(jù)翻出的卡片，又是如何判斷出原來(lái)的數(shù)的？這些問(wèn)題就是把所有的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行靈活應(yīng)用，學(xué)生在推理的過(guò)程中，進(jìn)行表達(dá)，從而外顯思維。

找“學(xué)號(hào)”的因數(shù)與倍數(shù)的練習(xí)，則是讓學(xué)生在對(duì)比中加深對(duì)“因數(shù)和倍數(shù)”的應(yīng)用，通過(guò)尋找自己學(xué)號(hào)的因數(shù)和倍數(shù)，達(dá)成本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，會(huì)找任意一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)。同時(shí)，在尋找的過(guò)程中，逐步感知，并不是數(shù)字越大，因數(shù)就越多。在探究一個(gè)數(shù)的因數(shù)的過(guò)程中，進(jìn)行知識(shí)的拓展，認(rèn)識(shí)“完美數(shù)”。

學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，不是一朝一夕就能形成的，而是一個(gè)序列化的系統(tǒng)過(guò)程。教師在培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力的過(guò)程中，要有清晰的目標(biāo)，多樣的策略；持續(xù)的指導(dǎo)，把數(shù)學(xué)表達(dá)滲透在每節(jié)課中，充分利用每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行思維的表達(dá)；在操作、對(duì)比、練習(xí)的過(guò)程中，逐步形成規(guī)范、完整、有條理的表達(dá)。