把握關鍵節點，實現數感銜接

摘"要：數感是一種感覺，這種“感覺”不僅需要經過長期的訓練，通過感受和領悟逐漸變成自身具有的能力，更要把握好學習的關鍵節點，從而實現數感發展從“確定”到“不確定”、從“真實”到“虛擬”、從“絕對”到“相對”的銜接，形成“數”認識的完整體系，逐步解析數的內涵，完善數的意義，拓展數的領域。

關鍵詞：小學數學；數感；“種子課”

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課標”）的頒布，核心素養表現中的“數感”再一次成為小學數學界的討論重點。數感是一種感覺，這種“感覺”不僅需要經過長期的訓練，通過感受和領悟逐漸變成自身具有的能力，更要把握好學習的關鍵節點。梳理小學數學中數概念的相關內容（如圖1所示）后，筆者以為，數感發展有三個關鍵節點——確定到不確定、真實到虛擬、絕對到相對，需要做好銜接工作。

一、解析數的內涵，實現“確定”到“不確定”的銜接

小學階段有關數的認識是從自然數開始的。在低年段時，學生通過對1個蘋果、2張桌子等這樣的數量的抽象得到自然數1—9，又通過數小棒、正方體等產生更大的自然數。這些自然數都是描述確定的具體數量。此外，學生也經常遇到4個蘋果是1個蘋果幾倍的問題，這是對數量關系的抽象，“4倍”依然是描述一個具體的、確定的數量關系。由此可見，自然數在表示數量和數量關系時指向的都是確定的量。那么，正分數、正小數是不是也像自然數一樣呢？確實是一致的，它們實際上是自然數的拓展，當然也就表示一個具體的、確定的數量或數量關系，只是它們用來表示比計數單位“1”更小的數量。因此，這一階段學生的數感習得，可能都停留于“確定的、具體的”，都是一一對應的點對點關系。

而到了四年級認識近似數時，數描述的不僅是一個點，而是拓展到一個范圍。數感由原來的一個點向一條線或一個面進階，因此，我們不妨把這部分內容作為“種子課”，它是數內涵的進一步深化。在教學時，教師要在具體的數和一個范圍的數之間搭起一座橋梁，讓學生對數的理解更全面、更立體。不過，此時的數依然是確定的，只是變成了一個取值范圍。

而數感從確定到不確定轉變的重要節點在《字母表示數》一課，此時的數具有了不確定性——它存在“未知”的特點，是一個會根據相應的信息而變化的量，或因情境信息的不同確立不同的量與量之間的數量關系。在此課的學習中，有些教師會側重“怎么用字母表示數”，這是不夠的。如果要實現學生的數感從確定到不確定的順利銜接，“字母表示不確定的數”“字母表示量與量的數量關系”“為什么要用字母表示數”等問題都是值得被關注的。從一個數表示具體的數量或數量關系，到一個字母或含有字母的式子表示一個數量或數量關系，學生是存在一定的理解障礙或疑惑的。因此，《字母表示數》一課教學，我們需要抓住“關系”做文章，讓學生體驗到字母雖然是不確定的，但也是“確定”的——它們能概括一組關系，通過它就能發展數量的特征與關系。這也就是數學的簡潔性的重要體現，同樣也真正完善了對數感不確定性的詮釋。

由此，有關數的內涵，我們在這一階段需要完成從確定到不確定的過渡和銜接（如圖2所示），讓學生從確定的數量和數量關系發展到不確定的變量，形成一個較為完善的數感體系。

二、完善數的意義，實現“真實”到“虛擬”的銜接

課標特別把“百分數的認識”這部分內容劃歸至統計與概率學習領域，這意味著從統計的視角認識數也十分必要。而《平均數》一課是把數與統計量關聯起來的“種子課”，也就是要讓學生領悟到平均數是一個虛擬數，而前面學習的自然數、正分數、正小數、近似數等都是真實的數。那么，如何從真實的數過渡到虛擬的數便成為第二個關鍵節點。因此，在教學《平均數》一課時，我們需要讓學生從現實生活中收集數據、分析數據，進而體驗數據的變化和奧秘。

例如，教師設計了“記數大王”游戲作為課堂導入環節，帶領學生感受數據的變化，體驗數產生的真實性。而平均數卻有可能不在這些現實數據中，它是“勻”出來的，所以具有虛擬性；它不僅受最大值和最小值的影響，還可能因為數據的差異性而使得它與其他數據“格格不入”。玩了5次后，其平均數是6，那么第6次的數據也將影響這6次的平均數。因此，無論是用移多補少、取長補短，還是先合后分，其本質是一致的，都是把原有的數進行均分，從而“勻”出一個數，用來描述具有代表性的一般水平，是為了滿足統計和分析問題需要。

當然，這種虛擬性并不是憑空捏造的，而是依據數據的特征，分析數據的關聯，根據現實需求，找到一個合適的“數”來代表一組數量的水平。它可能在這組數中，也可能不在這組數中；可能是整數，也可能是小數。其實，要讓學生完成從原來真實的數到虛擬的數的轉變并非易事，學生會有這樣的疑問：數應該是確定的，為什么在這里又變成虛擬的了？是的，如果作為統計量那應該就是變化的、虛擬的。玩5次的平均數是6，那下一次能確定一定是6嗎？顯然是不能確定的，這就需要教師在教學設計中創建任務讓學生去體驗，他們才能真正地理解。此外，平均數是針對一組統計量的，它應該是對整體數據的描述，不是點對點的，也不是點對面的，那么這樣的數可能就不是真實存在的，它是需要虛擬得到的。

三、拓展數的領域，實現“絕對”到“相對”的銜接

無論是自然數、正分數、正小數、近似數、字母表示的數，還是平均數，這些數都具有絕對性。這些數為什么是絕對的呢？因為它們都是表示具體的數量的多與少，或者描述一個量的整體情況，并未反映出數相對性的一面。只有《負數》一課的出現，才真正地讓學生體驗到數的相對性——正與負是相對的，描述的是一種“狀態”。因此，《負數》一課就是實現從絕對到相對銜接的“種子課”。當然，負數的產生具有必然性，它是拓展數概念域的需要。由正到負，不僅能拓寬學生對數概念的認知范圍，還能讓學生體會相對、相反的現象，以及事物的兩種不同的狀態。因此，本課教學一般從生活中的溫度等模型切入，讓學生基于生活中的冷熱現象等領會到“相對性”，從而抽象出“正數”與“負數”這一數學模型。當學生從具體描述多少的數，走向表示相對狀態的數，這一跨越便融通了學生對數的固有認識：數只能表示數量的多少。從正到負，也滿足了學生對現實生活的表達，現實生活中不僅有“黑”，也有“白”。課標提出，要會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界，那么，負數的產生就是對現實世界的表達，同樣促進了學生用數學的眼光審視現實世界，從而有關數的相對性表述的必要性便一覽無遺。所以，這是學生建立完整的數感體系的一個重要支點。

由此，負數是小學階段認識數的一個重要分水嶺，無論是鏈接初中的數軸與絕對值等知識，還是體現其在生活中的廣泛運用，都有舉足輕重的作用。它是學生建立完整的數概念的重要組成部分，也是學生數感結構化、整體化和關聯化的重要支撐。

從確定到不確定，從真實到虛擬，從絕對到相對，不斷地拓展數的內涵、意義和領域，學生數感的發展也就能循序漸進，一步一個腳印，從孤立的點，發展成線、面，再到立體的結構。這便是課標中最為突出的要求，即結構化的內容，促進結構化的思維的生成，推動結構化的數感的形成。上好“種子課”，把握數感發展的關鍵節點，讓學生的素養發展真正落地。