基于優化方法的燃料組件簡化梁模型材料參數等效研究

馮璇, 郭嚴, 李康橋, 梁國鵬, 肖長江,盧夢凱, 管官, 梅躍

(1.大連理工大學 a.工程力學系; b.船舶工程學院,遼寧 大連 116024;2.中廣核研究院有限公司,廣東 深圳 518031; 3.寧波大學 機械工程與力學學院,浙江 寧波 315211)

0 引 言

堆芯燃料組件是核反應堆中的重要部件,在運行過程中受堆內輻照和高溫影響,其材料呈現出復雜的非線性力學行為,使得燃料組件產生軸向、彎曲和扭轉等宏觀變形,給反應堆的安全運行造成一定影響。另一方面,整個堆芯內常有上百個燃料組件,每個燃料組件內部的結構數量繁多且相互裝配關系復雜,若直接采用三維實體精細化建模方法對全堆芯進行仿真分析,則計算規模大且非線性程度強,很難得到收斂解。為此,研究一種快速高效且具有一定精度的計算仿真模型具有重要意義。

國內外許多學者提出很多燃料組件簡化模型方案[1-9],如單梁模型、二梁模型、三梁模型、四梁模型等,但大多只給出簡化建模方案和驗證,并沒有給出具體的材料參數等效方法或者給出的等效方法較復雜。其中,JEON等[7]研究的半精細化四梁模型的材料參數直接采用相關金屬材料的屬性,對梁模型僅進行幾何截面的等效。雖然此方法可使全堆芯模型的建模和分析得到一定程度的簡化,但因四梁模型本身內部結構相對復雜,將其直接應用到全堆芯建模和分析中仍費時費力。

在全堆芯尺度的計算中,往往更關注組件與組件之間的相互作用關系,因此可考慮將組件簡化為建模更加簡便的單梁模型。然而,直接從實體模型等效簡化為單梁模型十分困難,故考慮從四梁模型到單梁模型的簡化。

本文以文獻[7]所研究的四梁模型為目標等效模型基礎,建立更簡化的單梁模型來等效整組件。主要考慮靜力學等效剛度和動力學方面等效振動模態頻率的方法,基于一定的假設、簡化和優化方法算法,實現從相對復雜的二維半精細化四梁模型到三維簡化單梁模型的材料參數等效,最后研究單梁模型之間的關系,建立單梁小堆芯模型。

1 簡化建模

1.1 二維半精細化四梁模型

為盡可能地體現各主要零部件之間的相對關系,以提高計算結果的精確性,二維半精細化四梁模型建模主要考慮以下零部件:上管座、下管座、結構格架、燃料棒和導向管及其連接部件等。假設二維半精細化四梁模型長3 537.7 mm,寬141.5 mm,共建立8層結構格架,每層格架與導向管和燃料棒之間采用間隙單元與彈簧單元進行連接,以模擬實體模型中格架彈簧、剛凸等零部件。模型共包括122個節點、226個單元。二維半精細化四梁模型的結構及邊界條件見圖1。

圖 1 二維半精細化四梁模型的結構及邊界條件

圖1中,最外側2根縱梁為實體模型中所有燃料棒的等效結構,內側2根縱梁為實體模型中所有導向管的等效結構,橫梁為每層結構格架的等效結構。其中,各梁單元幾何截面均采用自定義型幾何截面,通過計算不同部件三維實體幾何模型截面面積、慣性矩等參數,賦予對應梁截面幾何屬性。

1.2 三維簡化梁模型

在二維半精細化四梁模型的基礎上,考慮到全堆芯模型建模的復雜性,建立盡可能簡化且合理的三維模型。因此,有必要建立等效的單梁模型代表1個燃料組件。

為了方便建模,在對二維半精細化四梁模型到三維簡化單梁模型進行材料參數等效時,暫不考慮組件與組件、組件與圍板之間的碰撞。采用Timoshenko梁單元建立單梁模型,簡化模型的結構和約束條件見圖2,其長度和約束條件與二維半精細化四梁模型一致,截面采用矩形截面,尺寸與三維實體組件外圍尺寸一致。

圖 2 三維簡化單梁模型的結構和約束條件

2 優化算法

通過優化算法,迭代計算出一致的加載點位移和振動頻率特征值,來確定三維簡化單梁模型材料等效參數。其靜力平衡方程為:

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F=Ku

(1)

式中:F為外力;K為剛度矩陣;u為位移矢量。

振動方程為:

Kφ-w2Mφ=0

(2)

式中:w為固有頻率;φ為特征向量;M為質量矩陣。

由于通過直接求解法很難找到最優解,因此本文將其轉化為一個優化問題:即二維半精細化四梁模型與三維簡化單梁模型在載荷邊界條件一致的條件下,找到最佳的彈性模量E和密度ρ,使得2個梁模型有最接近的位移解和1階振動頻率特征值,其優化的數學模型如下:

(3)

(4)

式中:ut為目標位移值;u為位移矢量;K為剛度矩陣;M為質量矩陣;f1和f2為目標函數。

為求解該優化問題,首先輸入未知彈性模量參數的初始假設值,通過有限元法求解式(1),獲得加載點撓度值,評估目標函數是否最小化;不斷更新迭代,直到目標函數小于公差,輸出彈性模量值;給定初始密度假設,并輸入上一步輸出的彈性模量值,通過有限元法求解式(2),獲得振動頻率特征值,評估目標函數是否最小化。如果目標函數最小化,那么輸出計算結果;如果沒有最小化,那么采用內點法更新優化變量。重復上述過程,直到目標函數小于公差,輸出密度值。具體求解路線見圖3。

圖 3 求解路線

3 算例分析

3.1 三維簡化單梁模型剛度等效

在已建立的二維半精細化四梁模型和三維簡化單梁模型的對應位置處施加相同載荷,并按照實體模型的材料參數對二維半精細化四梁模型的對應部件賦予參數。提交計算二維半精細化四梁模型的位移,輸出加載點位移數值作為優化參數。給定三維模型一個初始的剛度值,通過自編的優化程序不斷迭代計算,直到求解出三維簡化單梁模型剛度的最優解,并寫入模型輸入文件。將該輸入文件提交計算,計算結果見圖4。

(a)二維半精細化四梁模型

由圖4可知,三維簡化單梁模型使用等效出的彈性模量值進行計算,在加入相同的載荷邊界條件后,2個模型的幾何變形和位移數值基本一致,即三維簡化單梁模型等效的剛度可取。

3.2 三維簡化單梁模型密度等效

按照實體模型的材料參數,對二維半精細化四梁模型的對應部件賦予參數。將第3.1節得到的剛度值結果賦予三維簡化單梁模型,并給定三維簡化單梁模型一個初始密度值。通過自編的優化程序不斷更新三維簡化單梁密度值并迭代計算,直到使三維簡化單梁模型與二維半精細化四梁模型有效質量較大的模態特征值差別最小。

模態有效質量是按照模態質量歸一化后求得的模態參與因子的平方和,系統第i階模態的模態有效質量[10]

(5)

式中:Li為模態參與因子。Li=φTMr,φ為結構模態特征值向量,M為質量矩陣,r為位移變換向量。

一般來說,結構模態越低階,模態的有效質量越大。計算本文目標模型的1階模態,其有效質量可達88.64%。因此,本文主要優化密度,使得2個模型的1階模態特征值之差最小。在迭代計算得到最小1階模態特征值之差時,輸出三維簡化單梁模型的密度最優解,并寫入模型輸入文件。將此輸入文件提交計算,計算結果見圖5。

圖 5 1階模態特征值云圖

由圖5可知,在相同邊界條件下,三維簡化單梁模型使用等效出的密度值進行計算,得到的1階模態特征值與二維半精細化四梁模型的1階模態特征值基本一致,即三維簡化單梁模型等效的密度可取。

3.3 誤差分析

定義相對誤差

(6)

式中:λ3D為三維簡化單梁模型使用優化得到的剛度和密度計算得到的加載點位移或1階模態特征值結果;λ2D為二維半精細化四梁模型計算得到的加載點位移或1階模態特征值結果。

代入數值進行計算,得到二維半精細化四梁模型和三維簡化單梁模型加載點位移誤差(見圖6)及1階模態特征值誤差(見表1),二維半精細化四梁模型和三維簡化單梁模型位移隨高度變化見圖7。

圖 6 加載點位移誤差

表 1 1階模態特征值及誤差

圖 7 位移隨高度變化比較

由圖6、7和表1可知,三維簡化單梁模型使用優化得到的剛度和密度計算得到的最終加載點位移和1階模態特征值結果與二維半精細化四梁模型的等效目標結果誤差均不超過1%。對于分析燃料組件的某些力學行為,三維簡化單梁模型即可實現,大大降低建模的復雜性和計算量,對于全堆芯的建模及計算具有重要意義。

4 小堆芯有限元模型建立

在完成單組件簡化梁模型等效分析的基礎上,考慮到在實際運行中相鄰燃料組件或燃料組件與堆芯圍板的碰撞現象[11-12],本文進行單梁模型梁與梁之間聯系的研究。燃料組件結構格架部分存在結構彈簧且組件之間的格架存在一定的小間隙,因此在建立小堆芯模型時考慮彈簧單元和間隙單元,見圖8。圖中,K和C分別為格架外剛度和阻尼;N為格架質點,為方便建模,本文取距格架外圍1/4格架寬度建點;g表示間隙。

圖 8 格架碰撞模型

按照本文方法進行3×3小規模燃料組件堆芯等效梁有限元建模,每根梁代表1個燃料組件,見圖9。

圖 9 3×3小規模堆芯模型示意

建模完成后,對其進行適當的邊界條件設置并在格架節點處施加x方向載荷,得到x方向的位移計算結果,見圖10。由圖10可知,對小規模燃料組件堆芯簡化梁模型中的1個節點施加載荷后,載荷可以通過間隙單元和彈簧單元進行傳遞。結合單梁模型算例,本文方法在調整剛度等參數后,可以有效模擬全堆芯燃料組件,為全堆芯建模分析及簡化模型等效參數設置提供新的思路。

圖 10 小規模堆芯模型加載后x方向位移云圖,mm

5 結 論

采用有限元軟件對二維半精細化四梁模型和等效的三維簡化單梁模型,進行靜力及模態分析對比,并開展小堆芯模型建立和試算,得出以下結論:

(1) 提出的優化方法能較準確地等效出燃料組件三維簡化單梁模型的剛度、密度等材料參數。

(2) 對于全堆芯模型的建立和分析,采用單梁模型及碰撞連接模型建模更簡單,能實現載荷傳導和完成合理分析,為復雜模型的等效分析提供參考。