幾類周期性delta 勢的能帶解

陸金成，陳澤歡，王 晨

（1.蘇州科技大學物理科學與技術學院，蘇州科技大學江蘇省微納熱流技術與能源應用重點實驗室，江蘇 蘇州 215009；2.浙江師范大學物理與電子信息工程學院，浙江 金華 321004）

0 引言

在量子力學中，勢能是一個非常常見并且重要的概念，許多基本問題都涉及了對于勢能的討論[1]。在量子力學的教學過程中遇到的最多形式的勢能通常是方勢能。而它的一種理想情況為delta 勢。delta 勢在教學與科研中頻繁使用[2]。而采用了由delta 勢所改進的量子粒子群-反向傳播模型，則顯著提升了BP 算法預測的精準度以及泛化性[3]。相比之前的模型，量子粒子群-反向傳播模型所得到的誤差也越小[4]。同樣的，在研究非互易波二極管以及波的傳播過程中[5]，也通常會將非線性的交界面簡化成一個delta 勢來討論，從而更好的解析得到波函數的表達形式。

在量子力學的教學過程中，接觸過單delta 勢的問題，由于delta 勢所在位置的一階導數不存在，由此推導出了delta 勢所特有的一階導數躍變條件，結合波函數的連續性得到了相應的波函數與能級表達式。本文從固體物理學中一經典例題出發[6]，在單delta 勢的基礎上利用Bloch 波的形式討論了周期性的單delta 勢，Bloch 定理與單delta 勢的解法相結合得到了相應的能帶解析解。在這之后筆者不由想問周期性的雙delta勢。二維周期性的單delta 勢等是否也能通過這樣的方法解析解？于是本文就從推導單delta 勢的解法出發，結合Bloch 定理得到周期性雙delta 勢的能帶解析解，并畫出相應的能帶隨勢能強度，空間位置關系的圖像。從中分析了能帶性質。最后還討論了二維周期性單delta 勢的求解方法，它與一維周期性單delta 勢的解密切相關[7]。

1 周期性的單delta 勢求解

通常定態薛定諤方程的表達式如式（1）所示。

其中當V（x）=δ（x-a）V0時，V（x）δ 這樣的形式就被稱為delta 勢。在教材中解決δ 勢散射問題時通常采用的方法是利用波函數的連續性，以及波函數一階導數的連續性。從而推導出本征解析解。然而δ 勢的勢能所在位置是一個奇點，其一階導數是不連續的。因此在滿足波函數的連續性的時，delta 勢還需要推導相應的導數躍遷條件，才能獲得其解析解。

首先從delta 勢的定態薛定諤方程出發，如式（2）所示。

對于式（2），在一個無窮小的區間[a-?，a+?]中對薛定諤方程做積分，其中?→1，如式（3）所示。

由于delta 函數的選擇性，可以直接得到積分的結果，等式右邊通過積分中值定理也可以化簡得到式（4）。

其中ζ 取值范圍為（a-?，a-?），等式兩邊取極限?→0，可以得到delta 勢的一階導數躍變條件[7]，如式（5）所示。

得到了delta 函數的一階導數躍變條件，就可以結合波函數的連續性求解delta 函數的本征解析解。接下來討論帶有周期性的單delta 勢，如圖1 所示。

圖1 周期性單delta 勢壘

周期性單delta 勢所對應的定態薛定諤方程如式（6）所示。

當x 取值為（0，a）時，V（x）=0，可以得到波函數如式（7）所示。

當x 取值為（-a，0）時，0＜x+a＜a，可以得到式（8）。

由于這個勢具有周期性，可以把這里的波看作是Bloch 波，由Bloch 定理ψ（x+a）=eikaψ（x），如式（9）所示。

引入波函數的連續條件與delta 勢的一階導數躍遷條件。聯立兩個條件式子，如式（10）所示。

并化簡得到k 和q 的關系式如式（11）所示。

從式（11）出發，畫出了不同勢能大小下的周期性單delta 勢能級圖，如圖2 所示。

圖2 周期性單delta 的能帶圖像

其中ka 代表波矢，（qa）2則正比于本征值，可以看出能級圖是一個標準的偶函數。從式（11）看出，當V0=0時，k 與q 的關系是呈線性變化，反應出自由電子的特性。隨著V0的引入，在k=0 附近，由于勢能的影響，能帶和自由電子行為差異很大。能量隨V0的增大而增大。反觀k=π 的附近，V0對能帶行為產生的影響就越來越小。基于表達式，可以試著給出能帶行為的描述，k=0附近時，假設q 的取值也在0 附近，這時式（11）第一項中的（sin q）/q≈1 是一個不可忽略的項。所以這時候V0散射就非常強烈，因此能帶圖像就與自由電子能帶完全不一樣。

2 周期性雙delta 勢求解

現在要考慮具有兩個不同周期性的delta 勢的能帶圖像，兩個delta 勢的空間位置a＞b。在這樣的情況下，薛定諤方程中表達如式（12）所示。

如同單delta 勢的求解過程，我們首先列出不同區間的波函數表達，然后利用delta 函數的連續條件與Bloch 定理進行求解。

當x 的取值為（0，b）時，波函數如式（13）所示。

x 的取值為（b，a）時，波函數如式（14）所示。

x 的取值為（a，a+b）時，基于Bloch 定理，可以得到波函數如式（15）所示。

之后取x=a，x=b 兩個交界面來求解波函數中的能級關系。

在x=b 的界面上，兩邊式子帶入邊界條件。

對式（16）進行化簡，得到B，C 與A 的關系式。同理在x=a 的界面上，用邊界條件也可以得到一組B，C 與A 的關系式，如式（17）和式（18）所示。

聯立兩個邊界條件得到的關系式，并把A 在兩邊約去，得到只包含k，q 的關系式。其結果如式（19）所示。

這就是周期性雙delta 勢波矢與本征值的關系式，可以將得到的結果與周期性單delta 勢的關系式進行比較。當V2≈0 時，式（19）變為式（20）。

發現這與周期性單delta 勢的關系式是自洽的。

3 二維周期性單delta 勢求解

二維周期性單delta 勢，在一維的基礎上利用分離變量法就可以求解。二維周期性單delta 勢的薛定諤方程如式（21）所示。

利用分離變量法可以將哈密頓量進行兩個維度上的分解，如式（22）～式（24）所示。

分離變量法，使兩個維度上的波函數毫不相干，由此可以把一個二維的問題轉化為兩個一維的問題，直接就可以用周期性單delta 勢的求解方法，如式（25）～式（26）所示。

式中：q1=，q2=。

4 結論

本文從固體物理教學中引入了具有周期性的單delta 勢壘，結合delta 勢的解析解法與Bloch 定理得到了相應的能帶解析解。之后設想了一個周期性的雙delta 勢壘，用類似的方法進行了求解，并給出了相應的能帶圖像，并對能帶行為進行了分析。發現在周期性delta 勢場中，當k=0 時，delta 勢的散射對于能帶性質的影響較大。然而k=π 時，delta 勢的散射影響就會變小。最后利用分離變量法解決了二維周期性單delta 勢的問題。