高斯色噪聲激勵下四輥冷軋機垂直振動模型的響應分析

陳曉菲， 李 晶， 郭 蓉

（太原科技大學 應用科學學院，山西 太原 030024）

冷軋制過程中伴有的垂直振動問題一直受到國內外科研人員的關注，也是困擾鋼鐵企業生產的重大技術難題[1-2]。四輥冷軋機因其高精度、高產量、生產靈活等優良特點被廣泛應用在航空航天[3]、鋼鐵冶金[4]等行業。近些年來，越來越多研究人員探索了軋機系統的非線性動力學行為。例如，Peng等[5]探索了多重非線性作用下的耦合軋機振動模型的動態分岔特性。Liu等[6]探索了電磁激勵下強非線性的機電耦合主驅動系統的分岔和混沌。此外，Wang等[7]為了抑制磨機的垂直振動設計了一種新型的顆粒減振器，為軋機減振技術的研究提供了一些理論指導。

然而，實際環境中存在各種不可避免的隨機擾動，如熱擾動、陣風等[8-9]，這些隨機擾動對軋機系統和軋制過程的穩定性以及軋制產品質量產生不同程度的影響，因此研究隨機激勵下軋機系統的響應具有理論和實踐意義。對于軋機系統，大多數研究考慮了軋機軋制力、板帶不平度等隨機特性。為了進一步探索真實環境中的隨機動態行為，需要更準確地描述隨機因素。通常研究中所設的噪聲源是高斯白噪聲是因為其在數學上處理更簡單，而通過色噪聲引入的相關時間可以更好地描述實際的環境干擾。到目前為止，軋機系統在色噪聲驅動的動態響應尚未得到很好的解決。因此，為了更好地反映軋機系統在實際工程環境中的動態行為，本文致力于分析高斯色噪聲激勵下四輥冷軋機垂直振動的動力學響應，利用隨機平均法得到穩態概率密度函數，并進一步通過數值模擬發現了在高斯色噪聲激勵下四輥冷軋機垂直振動系統的隨機轉移。

1 模型描述

根據四輥冷軋機結構和軋制過程實際情況，可將軋機簡化為如圖1所示的垂直振動模型。將上下輥系抽象為質量為m的質量塊，k和c分別為支承輥與工作輥的等效剛度和等效阻尼，ΔP為冷軋機的動態軋制力變化量：ΔP=b1x+b2x2+b3x3[10]，b1、b2和b3分別為一次項、二次項和三次項系數，x為垂直方向的振動位移。F′=fsin (Ωt*)是冷軋機的諧波激勵，f和 Ω 分別是諧波激勵的振幅和頻率。

圖1 四輥冷軋機垂直振動模型Figure 1 Vertical vibration model of four-roller cold rolling mill

由圖1可以得到軋機動力學方程為

將ΔP和F′代入方程(1)，方程(1)可以改寫為如下動力學方程

引入以下無量綱變換：

其中，t、A、F、ω分別表示無量綱時間、阻尼、外部激勵幅值和頻率。研究表明，動態軋制力一次項系數b1直接影響軋機的固有頻率。隨著一次項系數b1的減小，軋機系統振動固有頻率增大，系統的振幅減小，即控制b1的大小能有效地實現振動控制。在本文中，我們僅考慮k>b1及α> 0的情況。因此，令=α，方程(1)可以改寫為以下無量綱形式：

考慮軋機所遭受的外部隨機擾動，并假設該系統中的耦合項和非線性非常小，通過引入一個小參數ε(0 <ε?1)，可以建立對應于方程(1)的隨機模型

其中ξ(t)是一種指數相關的高斯色噪聲，具有以下統計特征：

其中E[?]是數學期望運算符，D和t1表示高斯色噪聲ξ(t)的噪聲強度和相關時間。此外，ξ(t)滿足以下微分方程：

這里ζ(t)表示均值和相關性均為零的高斯白噪聲。E[ζ(t)ζ(t′)]= 2Dδ(t-t′)，其中δ( ?)表示狄利克雷函數。

2 理論分析

本節結合攝動法和隨機平均法分別計算給定確定性軋機系統的穩態振幅響應和隨機軋機系統的時間平均均方響應。這里主要考慮軋機系統的主共振情形,即ω*=ω。

首先，考慮到確定性情況(ξ(t)= 0)，然后可以將軋機系統(4)簡化為

假設x0是軋機系統(6)的解，并引入如下范德波變換：

可以得到

其中b0和?0分別是振幅和相位。通過應用標準平均法，將h(x0)代入方程(8a)、(8b)可以得到

然后，我們利用攝動技術研究隨機噪聲對確定性穩態運動的影響。假設噪聲強度很小，設

其中x0表示確定性模型(6)的解，x1表示小干擾。將式(10)代入式(4)并消除x1的高階小項，得到

假設ε很小，引入如下變量變換

將式(12)代入式(11)，可以推導b1(t),?1(t)的隨機微分方程為

然后，利用隨機平均法[11]可以得到以下伊藤隨機微分方程

其中，W1(t),W2(t)為獨立的標準化維納過程，表示ξ(t)在ω1處的功率譜密度值。

顯然，式(14a)不依賴于?1，因此可以得到b1(t)的概率密度函數p(b1,t)，其滿足以下Fokker-Planck-Kolmogorov方程：

根據式(16)，振幅b1的一階矩和二階矩為

此外，結合式(17a)、式(17b)和式(10)，可以推導出均方響應為

從式(18)可以發現均方響應E(x2)是時間t的周期函數。通過對時間t求平均值，可以得到時間平均均方響應[12]如下：

3 數值驗證

本節將驗證所得解析解的正確性，并分析隨機擾動對系統響應的影響。在此模擬中，選擇系統參數ε=

如圖2 (a)所示，我們考慮確定性情況下系統(4)的穩態幅度響應(ξ(t)= 0)，當振幅F=3.85，頻率ω= 1.6時，發現平均法得到的理論解與四階龍格-庫塔得到的數值解吻合較好。有趣的是，當ω或F達到某個臨界值時，穩態振幅響應上會出現多值響應現象，如圖2(a)中的灰色區域所示。實際上，多值響應包含2個穩定解和1個不穩定解，即當ω或F達到某個臨界值時，會發生從上分支/下分支到下分支/上分支的跳躍。顯然，其本質上是高振幅和低振幅振蕩的雙穩態行為。因此，我們認為軋機系統具有的雙穩態行為在很大程度上取決于系統的初始值。圖2(b)給出了隨機情況下的時間平均均方響應，從圖中可以發現由隨機平均法得到的近似解析解與二階龍格-庫塔得到的數值解一致。

圖2 系統(4)的響應Figure 2 Responses of the system(4)

接下來，將進一步研究軋機系統在高斯色噪聲激勵下的隨機轉移現象。圖3分析了噪聲強度和相關時間對穩態概率密度的影響，其中系統(4)的振幅為b(t)=。通過蒙特卡羅可以獲得振幅b(t)的穩態概率密度函數p(b)。如圖3(a)所示，當噪聲強度較小，D= 0.05時，在低振幅振蕩只看到1個峰值。但是，當噪聲強度進一步增加到D= 0.08時，穩態概率密度出現雙峰。此外，當噪聲強度D= 0.4時，穩態概率密度再次趨于1個峰值。相反，當噪聲強度恒定時，隨著相關時間的減少，穩態概率密度會出現雙峰。因此，在圖3(a)中，固定相關時間τ= 0.1，可以觀察到隨著噪聲強度的增加，隨機轉移現象發生得更頻繁。相反，在圖3(b)中，固定噪聲強度D= 0.3，可以看出隨機轉移現象隨著相關時間的減少而更頻繁地發生。這些研究表明高斯色噪聲的噪聲強度和相關時間都會導致雙峰的出現，這意味著高斯色噪聲誘導了隨機轉移的發生。這些由穩態概率密度變化引起的隨機轉移現象可以稱為隨機分岔。

圖3 系統(4)在振幅b的穩態概率密度Figure 3 Steady-state probability densities for amplitude b of the system(4)

根據上述研究可以得出噪聲強度和相關時間都會誘導軋機系統的隨機轉移，從而進一步導致冷軋機性能異常和軋制產品的缺陷，甚至影響軋機的安全使用。

4 結論

本文研究了具有高斯色噪聲和諧波力的四輥冷軋機垂直振動模型的動力學響應。通過理論分析和數值模擬發現：首先，近似解析解與數值求解吻合較好，表明所采用解析法的有效性；其次，隨著外部激勵頻率ω的增大或減小，在達到一定臨界值時會發生突然跳躍；最后，高斯色噪聲的噪聲強度和相關時間會導致軋機系統出現災難性的隨機轉移。